341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1 Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно. исперсией случайной величины Х называется неотрипательное число 0 Х] = Р „, определяемое формулой (хь — т„) ры если Х вЂ” С. В. Д. Т. х (х — т„) 1»(х) дх, если Х вЂ” С. В. Н. Т. Р» = М [(Х вЂ” т»)г] = з 2. Случайные величины 59 хь рь, если Х вЂ” С. В. Д. Т., х~~„(х) с1х, если Х вЂ” С.
В. Н. Т. о =М[Х ]= Центральным моментом т-го порядка распределения случайной величины Х (если он существует) называется числа,и, определяемое по формуле (хь — т») ры (х — т») у»(х) дх, если Х вЂ” С. В. Н. Т. если Х вЂ” С. В. Д. Т., р =М[(Х т ) ]= Из определений моментов, в частности, следует, что Н э г но=до=1, т»=оь, Н»=о =рг=сьг — т„. Отметим еше две важные характеристики распределения, связанные с моментами высшего порядка: рэ а» = — (коэффициент асимметрии или ьскотенностиь распрео»э деления), И4 е» = —, — 3 (коэффициент эксцесса или «островершинносгпиь о» Распределения).
Квантилью порядка р (симметричной квантилью порядка р) распределения случайной величины Х непрерывного типа называется действительное число гр (действительное число гр), удовлетворяюшее урав- дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится. Неотрицательное число о„= ~/З„называется среднеквадратичным опьклонением случайной величины Х. Оно имеет размерность случайной величины Х и определяет некоторый стандартНый среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину о„иногда называют стандартным отклонением.) Если величина Х = сопвс (т.е.
Х не случайна), то Р [Х] = О. Случайная величина Х называется центрированной (обозначается Х), если т» = О. Случайная величина Х называется стандартизованной, если т» = О и о„= 1. Начальным моментом т-го порядка (т = О, 1, 2, ...) распределения случаиной величины Х (если он сушествует) называется действительное число сь, определяемое по формуле Гл. 18. Теория вероятностей 60 нению Р(Х<зр)=р (РЦХ~<1р]=р). В частности, из определения медианы следует, что А» = го 3. Критической точкой порядка р (симметричной критической точкой порядка р) распределения случайной величины Х непрерывного типа называется действительное число ир (мр), удовлетворяющее уравнению Р (Х > мр) = р (Р (!Х! > Угр) = р).
Квантиль и критическая точка одного и того же распредечения связаны простым соотношением: згр — — 21 р (згр — — 11 р). П р и м е р 1. Трижды подбрасывается правильная монета. Случайнак величина Х вЂ” число выпавших гербов. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики т„ 12» и й».
а Очевидна, что Х вЂ” С. В. Д, Т., причем ее возможные значения составляют множество (О, 1, 2, 3). Для вычисления вероятностей событий (Х = я) воспользуемся тем, что случайная величина Х является функцией, определенной иа множестве элементарных исходов случайного эксперимента. В данном случае можем записать О = (221йзРз, о212222о23, о~1и22~ ~з, ' ~1ь22и23, о'1~ ~за'3, ь21222и'3, о21| ~2ыз, и21ь22~ 13), Где ь/ю = (при 1-м подбрасывании монеты выпал герб), 1 = 1, 2, 3. Заметим, что У(О) = = 23, что соответствует схеме выбора с возвращением и упорядочиванием.
Очевидно, что в силу независимости исходов отдельных подбрасываний Р(Х = О) = Р(221ьь22223) = Р(221) Р(222) Р(223) = —. 1 8 Для вычисления вероятности события (Х = 1) используем аксиому сло- жения и формулу умножения для независимых событий: 1 Р (Х = 1) = Р (ы1 о22ьь23 + 221222руз + ьь21ьузь23) = 3 8 Аналогично находим 3 Р (Х = 2) = Р (м1ь22ь23 + ь21оззо23 + о2!и12ьь23) = 8 Наконец, 1 Р(Х =-3) = Р(ь11ь22ыз) = —. 8 3 2.
Случайные величины 61 Для большей наглядности закон распределения случайной величины может быть представлен следуюшей таблицей: Вычислим функцию распределения. Согласно определению Г~(х) = Р (Х < х) = ~ Р (Х = хь) = ~~~ Р(Х = /с). Подставляя сюда найденные выше вероятности, находим О, если х < О, 1/8, если О < х < 1, 1/2, если 1 < х < 2, 7/8, если 2 <х< 3, 1, если 3<х. Г„(х) = Найдем среднее значение тл и дисперсию Р» заданного распределения, По определению математического ожидания С.
В. Д. Т, т„= ~ пР(Х = и) = 3/2. в=о Дисперсию удобнее вычислять через второй начальный момент, используя формулу (см. задачу 18.257) Р„= от — тт . Имеем аз = '~ и~Р (Х = и) = 3 н, таким образом, 9 3 Р =3 — — =— л 4 4 Из таблицы распределения усматриваем, что сушествуют два значении хз — — 1 и хз — — 2 таких, что Р (Х = хт) = Р(Х = хз) = шах Р (Х = хь). ь Таким образом, данное распределение бимодально. с Гл,18. Теория вероятностей 62 О, если х < -1, Гх(х) = ахэ+Ьх+с, если — 1 < х < 1, 1, если х > 1. Однако входящие в правую часть числовые константы а, Ь и с не могут быть произвольными. Они должны быть такими, чтобы выполнялись все свойства функции распределения.
Согласно определению С. В. Н. Т. функция распределения должна быть непрерывна на всей оси. В нашем случае для этого достаточно потребовать выполнения условий непрерывности Г„(х) в точках х = — 1 и х = 1, что приводит к системе уравнений < Гх(-1+ 0) = а — Ь+ с = Гх( — 1 — 0) = О, Гх(1 — 0) = а+ Ь+ с = Г„(1+ 0) = 1. 1 1 Из этой системы следует, что Ь = —, а = — — с, с Е Н. Так как функ- 2' 2 ция Г„(х) дифференцируема всюду на интервале ( — 1, 1), то требование монотонного неубывания ее на всей оси эквивалентно условию /х(х) = Г,'.(х) > 0 при х Е ( — 1, 1), т.е. условию 1 (1 — 2с) х+ — > 0 при х Е (-1, 1).
Последнее условие, как нетрудно убедиться, выполняется лишь при 1 3 4 4 — <с< —. Таким образом, функция распределения случайной величины принадлежит однопараметрическому семейству вида если х < — 1, О, с 2 ( 2 — — с( х + — х+ с если — 1 < х < 1 Гх(х/с) = если х>1, где 1/4 < с < 3/4. Пример 2. Случайная величина Х непрерывного типа может принимать ненулевые значения только на отрезке ( — 1, 1], причем функция распределения вероятностей имеет квадратичную зависимость от х на этом отрезке. Написать выражения для Гх(х) и /„(х). а Согласно условию задачи и свойству 2 (с. 56) функция распределения вероятностей должна иметь вид 5 2.
Случайные величины 63 Так как производная функции Г» (х/с) существует всюду, кроме точек х = — 1 и х = 1, где оиа терпит разрыв первого рода, то полагаем О, если х < — 1, /„(х) = " = (1 — 2с)х+ —, если — 1 < х < 1, дР» (х/с) 1 дх 2' если х > 1, причем 1/4 < с < 3/4. Нетрудно убелиться (проверьте!), что все свойства функции плотности распределения в этом случае выполняются.
О 18.257. Доказать, что для дисперсии о2» случайной величины Х справедлива формула 2 2 Нх = СГ2 Гях. 18.258. Закон распределения случайной величины Х дискретного типа задан следующей таблицей: Найти ят» и Р (Х > 2). 18.259 (продолжение). Для случайной величины из предыдущей задачи найти Р» и д». 18.260 (продолжение).
Для случайной величины из задачи 18.258 построить график функции распределения Р;(х). 18.261. Производится один опыт, в результате которого событие А может появиться с вероятностью р и не появиться с вероятностью о = 1 — р. Пусть Х вЂ” индикаторная случайная величина — принимает значение 1, если событие А произошло, и значение О, если событие А не имело места. Описать закон распределения случайной величины Х, функцию распределения, вычислить математическое ожидание. 18.262 (продолжение). Для случайной величины из предыдушей задачи найти дисперсию, третий центральный момент и Определить значение вероятности р, при котором дисперсия максимальна. 18.263.
В условиях примера 2 найти константу с, если плотность распределения вероятностей непрерывна в точке х = 1, и Изобразить график функции распределения Г» (х) . Вычислить для ПолУченного РаспРеделениЯ тх и )2». 18.264 (продолжение). Для случайной величины из прсдыду2цей задачи вычислить Р (Х > О) и Р( — 1/2 < Х < 1/2). 64 Гл. 18. Теория вероятностей 18.265.
Функция распределения случайной величины Х дискретного типа имеет следующий вид: О, если х< 2, О 3, если 2 < х < 3, г»(х) = 0,5, если 3<х<4, 1, если х > 4. Вычислить Р (Х > 3,5) и Р <(Х( < 2,5). 18.266 (продолжение). Описать закон распределения случайной величины Х из предыдущей задачи и найти т». и Р„. 18.267. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень.
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка ры для второго р2. Случайная величина Х вЂ” суммарное число попаданий в мишень в данном зксперименте. Описать закон распределения данной случайной величины и найти т» и Р». 18.268. Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайнан величина Х принимает значение 1, если хотя бы на одной игральной кости выпадет цифра шесть; принимает значение О, если шестерка не выпала ни на одной грани, но хотя бы на одной из граней появилась цифра 5, и принимает значение — 1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины Х, вычислить функцию распределения и найти математическое ожидание и моду распределения. 18.269.
Случайная величина Х распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида с сов х, если — я/2 < х < я/2, У»(х) = О, если )х) > гг/2. Найти константу с, вычислить Р ()Х) < х/4), т» и Р». 18.270 (продолжение). Квантилью какого порядка длн данного в предыдущей задаче распределения является точка х = х/4? 18.271. Функция распределения С, В.
Н. Т. Х задана в виде О, если х<0, Р»(х) = х~/4, если 0 < х < 2, 1, если х > 2. Вь,числить Р (Х > Ц, т», 6~, Р . 18.272. Производнтсн последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Надежность каждого из приборов равна р. Каждый следующий прибор испытывается только 5 2. Случайные величины 65 в том случае., когда предылущий оказался надежным. Описать закон распределения случайной величины Х вЂ” числа испытанных в данном эксперименте приборов — и вычислить Нх и т„. 18.273. Выразить центральный момент я-го порядка через начальные моменты и-го и меньших порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
