341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найти вероятности слелующих событий: А = (одно попадание в «десятку» и одно в «девятку»), В = (ровно два попадания в «десятку»). 18.347 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = (будет набрано не менее 29 очков). 18.348.
Каждый из лесяти аспирантов группы случайным образом и независимо от остальных выбирает один из четырех дней наступающей недели (понедельник, вторник, среду или четверг) лля работы в библиотеке в отделе текущей периодики. Найти вероятность следующих событий: А = (в понедельник в библиотеку Гл. 18. Теория вероятностей 80 нвится один аспирант, во вторник — два, в среду — три, в четверг — четыре аспиранта), В = (в понедельник появятся 3 аспиранта, а во вторник 7). 18.349 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (пятеро из аспирантов появятся в библиотеке в первые два дня недели и питера — в следующие два дня), Р = (в понедельник и вторник не появится ни один аспирант).
18.350. Два равносильных шахматиста играют матч из 12 партий. В каждой партии возможно три исхода: а»1 = (выиграл первый игрок (проиграл второй)), ыз = (ничья), ыз = (выиграл второй (проиграл первый)). Пусть Р (~ы1) = Р (ыз) = 0 2, Р (олз) = 1 — Р («а1) — Р (ыз) = 0,6. Найти вероятности следующих событий: А = (первый игрок выиграл 3 партии, проиграл 3 партии и остальные свел вничью), В = (один из игроков выиграл 4 партии и проиграл 3 партии). 18.351 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = (сыграно 2 результативные партии).
л -л Р(Х=к)= — е ~. »с! (10) Характерной особенностью распределения Пуассона является совпадение математического ожидания н дисперсии, причем т„= О Распределение Пуассона может быть получено из бнномиального распределения путем предельного перехода прн я -+ оо, р — > 0 при условии пр = Л = соцзС и в эхом случае интерпретируется как закон «редких» явлений. Если п достаточно велико, а р мало, то формулу Пуассона (10) часто используют в качестве приближенна вместо точных биномнальных формул для вероятностей к успехов в и испытаниях.
В таблицах ПЗ и П4 приведены вероятности распределения Пуассона и суммарные вероятности для распределения Пуассона соответственно. Пример 6. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для к студентов данного факультета? Вычислить указанную вероятность для значений?с = О, 1, 2, 3.
а Так как и = 500 » 1 и р = Р (родился 1 сентября любой нз 1 студентов факультета) = — « 1, то можно считать, что случайное 365 3. Распределение Пуассона. Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона с параметром Л > О, если ее возможные значения равны О, 1, 2,..., а соответствующие вероятности определяются формулой 2. Случайные величины 81 число студентов Х, родившихся 1 сентября, поздвиняется закону распрезелення Пуассона с параметром Л = 1,36986. Поэтому по формуле (10) р — Р (Х = 0) = е л 0,2541. Далее находим рекуррентно: Р(Х=1) = — е =Лр вв0,3481, л л Р(Х = 2) = —,е = — р1 ж 0,2385, Р(Х = 3) = — рз 0,1089.
Л Рз = Рз = ) Считаем, что в задачах 18.332 — 18.337 соохветсхвующвя случайная величина имеет распределение Пувосоив. Значения искомых вероятностей, соответствующих биномнвльному распределению В(500, 1/365) и вычисленных с четырьмя верными знаками после запятой по рекуррентной формуле задачи 18.327, таковы: ро = 0 2537 рз = О 3485 рз = О 2389 рз = 0 1089 ~> 18.352 2). Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р = 5 10 4. Найти вероятности следующих событий: А = (за время Т откажет ровно 3 элемента), В = (за время Т откажет хотя бы один элемент), С = (за время Т откажет не более 3 элементов). 18.353. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, ровно 120.
Найти вероятности следующих событий: А = (за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова), В = (за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов). 18.354 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (за одну секунду на АТС поступит ровно три вызова), П = (за три секунды на АТС поступит нс менее трех вызовов). 18.355. Случайная величина Х вЂ” число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени 1, Л вЂ” среднее число электронов, испускаемых в единицу времени. Определить вероятности следующих событий: А = (за время 11 число испускаемых электронов будет меньше т, т Е И), В = (за время 12 вылетит четное число электронов). 18.356. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток.
Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа. 18.357. Радиостанция ведет автоматическую передачу цифрового текста в течение 10мкс. Работа ее происходит при наличии Гл. 18. Теория вероятностей 82 хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду составляет 10~. Для срыва передачи достаточно попадание двух импульсов помехи в период работы станции, Вычислить вероятность срыва передачи.
18.358. Число элементарных частиц, регистрируемых прибором, случайно и образует пуассоновскую случайную величину со средним значением и частиц. Каждан регистрируемая частица может нести заряд с вероятностью р и быть нейтральной с вероятностью 1 — р. Определить закон распределения числа заряженных частиц, регистрируемых прибором, и найти среднее значение и дисперсию полученного распределения. 18.359. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна р = 0,01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью р = 0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.
18.360 (продолжение). Ответить на вопрос предыдущей задачи, если требуется, чтобы указанный эффект наблюдался не менее двух раз. 4. Нормальный закон распределения. Случайная величина называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами т Е К и о > О, если плотность распределения вероятностей имеет внд 1 ( (х — т)г) (»(х) = ехр ~ — ), — оо < х < +со. (11) «у2 '( 2ог ) ' Параметры т и сь совпадают с основными характеристиками распределения: т=т, а=а = «IВ». Для краткости говорят, что случайная величина Х распределена по закону М (т, о), если ее плотность вероятностей записывается в виде (11).
Если Х распределена по закону )«ь(0,1), то она называется стандартизованной нормальной величиной. Функция распределения стандартизованной гауссовской величины Ф(х) = — / ехр ~ — — ) д1 «(2к к./ ( 2 ) называется функцией нормального распределенил С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения Ж(т, т): Р (х1 < Х < хг) = Ф вЂ” Ф 3 2. Случайные величины 83 Значения функции Ф (х) приведены в приложении (таблица П1). При ешении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции нормального распределения.
Поскольку для этой функции справедливо соотношение Ф( — х) =1 — Ф(х), достаточно иметь табличные значения функции Ф (х) только для положительных значений аргумента. Для вероятности попадания на симМетричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула Р(~Х вЂ” т,~ < е) = 2Ф ( — ) — 1. Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению а„.„э=(н+1)атд„, я=0,1,2,, (12) ()тсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны пулю (так как р1 — — 0). Пример 7. Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала.
Случайные ошибки измерения Х подчиняются нормальному распределению со стандартным отклонением 10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм. О Так как по условию систематические ошибки отсутствуют, то т» = ж Омм. аСтандартное отклонениеа — это другое название для средневвадратического отклонения, часто используемое на практике. Поэтому р = 10мм. Для искомой вероятности попадания в симметричный интервал используем формулу Р ()Х) < 15) = 2Ф ( — ) — 1 = 2Ф (1,5) — 1. /151 По таблице П1 находим Ф (1,5) е 0,9332.
Таким образом, Р ((Х! < 15) в 0,8664. ~> 18.361. Случайная величина Х нормально распределена с паРаметрами т = 1, о = 2. Выразить ее функцию распределения через функцию Ф (х). 18.362. Случайная величина Х распределена по закону )»'(т, и).
Пользуясь таблицей функции нормального распределения, вычислить вероятность рь того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины Ы (ответ полу«ить для трех значений й = 1, 2, 3). 84 Гл. 18. Теория вероятностей 18.363. Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону распределения Ф (10,5).
Найти симметричный относительно т„интервал, в который с вероятностью р попадет измеренное значение. Рассмотреть следующие числовые значения: а) р = 0,99?4; б) р = 0,9544; в) р = 0,50. 18.364. Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1,84г/см . В результате статистических нсз пытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86).
Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0,01 г/см . з 18.365. В нормально распределенной совокупности 15 % значений х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения. 18.366. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10мм. Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением о. Считая, что для данной технологии о = 5 и Х нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат. 18.367 (продолжение). В условиях предыдущей задачи выяснить, какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98? 18.368.
Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г? 18.366е. Деталь изготавливается на станке. Ее размер Х представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и стандартным отклонением 0,2 ем. Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95? 18.370. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик проходит через отверстие диаметра дг, но не проходит через отверстие диаметра 4 < Ыг, то шарик считается годным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
