341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если какое-либо из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Считается, что диаметр шарика Х вЂ” случайЙт+ гг ная величина, распределенная по закону М ~, ст (с(г — 4) где параметр ст (О < ст < 1/2) определяет точность изготовления шариков. Определить вероятность того, что шарик будет забракован. з 3. Случайные векторы 85 18.371 (продолжение). В условиях предыдущей задачи определить, какую точность изготовления следует установить (т.е. каким следует выбрать параметр а), чтобы брак составлял не более 2Я всей продукции? 18.372. Случайная величина Х подчиняется закону Л (1, а).
Известно, что Р(Х < 2) = 0,99. Вычислить М [Х2] и Р (Х2 > 2). 18.373. Случайная величина Х распределена по закону ф(т а). Вычислить Р = Р (Х > хп2) Рт = Р (~~2 < Х < хп2) где хел и х„2 — точки перегиба кривой плотности распределения вероятностей. 18.374в* (продолжение). Пусть (а, 6) — интервал, не содержагций т„. В условиях предыдущей задачи определить, при каком а вероятность Я (а) = Р (а < Х < б) будет наибольшей? 18.375 (продолжение). В условиях задачи 18.373 вычислить дервый абсолютный центральный момент М ([Х вЂ” гпх[).
18.376. Случайная величина Х распределена по закону Ж( — 1, 1). Вычислить ах и е„. 18.37Т* (продолжение). Для случайной величины Х из предыдушей задачи найти М [Х ] и М [Х ]. 3 3. Случайные векторы 1. Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов. Пусть для данного эксперимента определены случайные величины Хг = Х2 (ы), Х2 = Х2(ы), ..., Хо = Х„(в2), ы Е й. Каждому элементарному событию ы можно поставить в соответствие и-мернгай случайный Вектор (п-мернув случайную величину) Х (ы) = (Хы Х2, ..., Х, ), задающий отображение Й -2 к". Функцией раепределенил п-мерного случайного вектора нли функцией совместного раепределенил случайных величин Хы Х2, ..., Х„ Вазыввется неслучайная функция п действительных переменных х1., хэ, ..., х„(функция точки (хы х2, ..., х„) в и-мерном евклидовом пространстве И"), определяемая как вероятность совместного выполнения и неравенств х'х(х) = охо хе.,,,х (х! ~ х2 1 хо) = Р (Х1 < хы Х2 < х2~ ° ° ° 1 Хо < хн) В частном случае, для двумерного случайного вектора (Х, У), имеем по определению о (х,у) — Р(Х<х, У<у).
Гл. 18. Теория вероятностей 86 Функция распределения Г» „(х, у) обладает следующими свойствами 1, !!щ Г»»(х, у) = !пп Г». „(х, у) = О. »-~-СО и-» — ОО 2. !пп Г» „(х, у) = Г,(у), 1пп Г»»(х, у) = Г»(х). »-+~-со ' у-»-~-со 3. !пп Г, „(х, у) =1. »->-~-сю в -».~" ОО 4. Функция Г»,(х, у) — неубывающая функция своих аргументов. 5. Функция Г» „(х, у) непрерывна слева по каждому из аргументов.
Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных компонент двумерного случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения зтих компонент. Вероятность попадания случайной точки на плоскость (Х, У) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, может быть вычислена с помощью функции распределения по формуле Р (х1 < Х < хт, у1 < У < уг) = — Г»,1 (хы у!) + Г»,1 (хз~ у2) Г»,»(хы у2) Г», г(хз~ у1) ° Двумерный случайный вектор (Х, У) называется случайным вектором дискретного типа (сокращенно С. В.
Д. Т.), если множество его возможных значений С (х, у) не более чем счетно. Перечень возможных значений пар компонент ((х;, уу) ~ (х;, уз)) Е е С (х., у)) и соответствующих каждой такой паре вероятностей рВ=Р(Х=хо У=у), удовлетворяющих условию ЕЕ где суммирование распространяется на все возможные значения индексов ! и у, называется законом распределения С. В. Д. Т. Одномерные законы распределения отдельных компонент С.
В. Д. Т. выражаются через вероятности совместных значений ро, по формулам р'=Р(х=х')=Еру р =Р(У=ух)=Кр'. (Ц где суммирование распространяется на все возможные значения индексов ! или у1 Пусть (Х, У) — двумерный случайный вектор дискретного типа, С (х, у) — множество его возможных значений. Условным законом распределения случайной компоненты Х при условии, что компонента У приняла определенное значение уз, называетсн совокупность (х, (х, Е е С(х, у )) возможных значений компоненты Х и соответствующих з 3. Случайные векторы угим з начениям условных вероятностей Р (Х = х;/1' = уу), определяегых равенством (см. З 1, формула (6)) Р(Х=х„У=у ) р; 2 Р(Х=х,/У=у ) — — . ( ) Если (Х У) — С.В.Д.Т.
и С вЂ” произвольная область на плосКОСТИ, ТО Р ((Х, У) б С) = ~ ~р, ),, ос)со Двумерный случайный вектор (Х, У) называется случайным вектором непрерывного тица (сокращенно С. В. Н. Т.), если функция распрел Г (х у) непрерывна на всей плоскости и существует такая деления», » (, п е елах по неотри отрицательная интегрируемая по Риману в бесконечных пр д. каждой из координат функция «» „(х, у), называемая плотностью ра- »» ) ~ с нрсделенол вероятностей случайного вектора (Х, У), что уютность распределения вероятностей обладает следующими свойствами: 1. «, (х, у) > О, (х, у) ч В~. +со Есо 2.
дв «»» (в, Г) г(Г = 1 (условие нормировки). 3. Если (х, у) — точка непрерывности плотности «» „(х, у), то дтР (. ) дх ду 4. П о ности распределения вероятностей отдельных компонент слулт сти: чайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотно т: .)-оо -)-со «»(х) = «».»(х, у)ду~ «»(у) = «».»(х1 у)г(х (4) Если (Х, У) — С.
В. Н. Т., то вероятность попадания случайной точки В произвольную квадрируемую область С на плоскости определяется по формуле Р ((Х, У) б С) = «» „(х, у) Вхду. (б) Гл.18. Теория вероятностей 88 Пусть (Х, У) — двумерный С.В.Н.Т. Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты Х при условии, что компонента У приняла определенное значение у такое, что 1«(у) ) О, называется неотрицательная функция у«(х/у) действительной переменной х, определяемая при всех х б К следующей формулой умножения длл плотностей: з, („,,) Л:,«(х,у) (6) Аналогично, при всех у б К и всех х б К таких, что у«(х) ) О, з«. г (х~ у) .у (х) Случайные величины Хы Хз, ..., Х„называются независимыми (в совокупности), если для любого набора событий (Х; б В), 1 = = 1, 2, ..., и, где Вы Вз, ..., „— подмножества числовой прямой, выполняется равенство Р (Х1 б Вы Хз б Вз, ..., Х„б В„) = = Р(Х~ б В1) Р(Хз б Вт) ...
Р(Х„б В„). Теорема. Случайные величины Хы Хз, ..., Х„нсзависимьь тогда и только тогда, когда в любой точке х б К" имеет место равенство Р«(х) = Р«,,«,.. «„(хы хг, ..., х„) = Р«,(х1)Г«,(хз) . Р«„(х„). Из втой теоремы, в частности, следует, что для независимости компонент случайного вектора непрерывного типа (Хы Хз, ..., Х„) необходимо и достаточно, чтобы в любой точке х б К" ,у«(х) =,~«1 «ь .. «(хы хз,..., хь) = з«(х1) З«(х2) ... З«(хь).
Если же (Хы Хз, ..., Х„) — С.В.Д.Т., то соответствующее условие независимости его компонент записывается в виде Р(Хг = хы Хз = ха, ..., Хп = х„) = Р(Х1 — — хг) Р(Хз — — хг) ... Р(Х„= х„) для всех (хы хз, ..., х„) б К". Для двумерного случайного вектора (Х, У) вводятся следующие числовые характеристики.
Начальным моментом порядка 1с + в случайного вектора (Х, 1' ) называется действительное число аь „определяемое формулой сгь,, = М [Х~1'*] = если (Х, У) — С. В. Д. Т. хьу'у«, (х, у)дхду, если (Х, У) — С.В.Н.Т., Э 3. Сл чайные векторы 89 Начальный момент сяь,, существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, сьь о = м М [Ха], оо,, = М [У'] — соответствующие начальные моменты отдельных компонент. Вектор с неслучайными координатами (т», т,) = (сь1 о, ао ~) называется математическим ожиданием случайного вектора (Х, У) или центром рассеиванил. Центральным моментом порядка к+ в случайного вектора (Х, У) Называется действительное число рь „определяемое формулой рж я (х, — т )ь(у — т„)'рчн если (Х, У) — С.В.Д.Т.
(х — т» ) ь(у — т»)*/»» (х, у) дх ду, если (Х, У) — С. В. Н. Т. Центральный момент ць, существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства абсолютно сходится. В частности, уьэ,о — »»»~ И0,2 — )»» Центральный момент рд| называется ковариаиией и обозначается К»». Таким образом, по определению К»» = рц1 — — М[(Х вЂ” т») (У вЂ” т„)] = М [ХУ] — т т„. К»» Нормированная ковариация р»„= —, называется коэффициентом ц»о» корреллнии двух случайных компонент Х и У случайного вектора. Коэффициент корреляции удовлетворяет условию (р,( < 1 и опрелеляет степень линейной зависимости между Х и У. Случайные величины, для которых р»„= О, называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и У вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).
Пусть (Х, У) — С. В. Д. Т. Условным математическим ожиданием рлучайной величины Х при условии, что у приняла одно из своих воз4южных значений у, называется действительное число уу, обозначаемое также М [Х/1' = у ] и определяемое формулой у =М(Х/У=у]=~ хР[Х=х/У=у), (7) Яде Р [Х = х,/У = у ) — условная вероятность, определяемая формуЛой (2), а суммирование в правой части распространяется на все возМожные значения индекса г. Гл.
18. Теория вероятностей 90 Условным математическим ожиданием случайной величины Х при условии У называется случайная величина У, обозначаемая такж< М [Х/У], возможные значения которой у определяются формулой (7), а соответствующие вероятности равны Р[У=у,]=В[У=у,). Имеет место следующая формула полного математического ожида- М[Х] = М[М[Х/У]] = ~Ц М[Х/У = уу]Г[У = у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
