341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если Х и У независимы, то Р[ХУ] = Р[Х]Р[У]+т'„В[У]+ ',Р[Х]. Свойство 1 может быть записано в более общей форме в матричных обоаначениях: 1*. М[АХВ+ С] = АМ[Х]В+ С, где Х.— случайный н-мерный вектор-столбец, М[Х] — неслучайный н-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны математическим ожиданиям случайных компонент вектора Х, А, В и С вЂ” постоянные матрицы порядков соответственно т х и, и х р и т х р. (Свойство 1 является частным случаем свойства 1е при т = р = 1.) Гл. 18. Теория вероятностей 108 Пример 1.
На вход измерительного прибора поступает случайный вектор (Х, У) со слелующими характеристиками: ти, = — 1, тт = 1, ок лл 2, о„= 3, р», = 0,5. На выходе прибора измеряется величина Я = = (Х вЂ” У)2. Определить математическое ожидание случайной вели- г. з Воспользуемся свойствами 1 и 5 математического ожидания: МЯ = М[Х2+ У2 — 2ХУ] = М[Х2]+ М[У2] — 2М[ХУ] = Рк + тя„+ Рт + тй — 2 (тнктт + Ккт) = 11 (> Пример 2.
На окружность радиуса г наудачу ставятся две точки, которые затем соединяются между собой и с центром окружности. Найти математическое ожидание площади полученного треугольника. з Так как в данном опыте важно лишь взаимное расположение точек на окружности, то можно считать, что первая точка имеет фиксиронанные координаты (т, 0).
Тогда положение нторой точки, случайно постанленной на окружности, полностью определяется случайным углом Ф между положительным направлением оси Ох и радиус-вектором, проведенным во вторую точку, как показано на рис. 11. Поскольку нее значения угла Ф равновозможны н пределах от 0 до 2я, то можно считать, что случайная величина Ф распределена по закону Л (О, 2я). Поэтому О, если р ~ (О, 2я), А (Р) = 1 — если у Е (О, 2х). 2тт ' При фиксированных точках А и В плошадь треугольника ОАВ записывается в виде т2 Я = — ]э1п Ф]. 2 По формуле (1) для С.В.Н.Т, имеем 2» 1 У, 1 т У, т' М[Я] = — т / ]вша] — Йр = — / а|п~рйр = —. > 2 ,/ 2х 2х „I и 18.436.
Один раз брошены две игральные кости. Случайная величина Я вЂ” сумма выпавших очков. Вычислить среднее значение и дисперсию случайной величины Я. э 4. Функции случайных величин 109 18.437. Случайные величины Х и У независимы и имеют следующие характеристики: гпх = 1, т,, = 2, ох = 1, сг,.
= 2. Вычислить математические ожидания случайных величин (У = Х + г + 2Уг ХУ 4Х+ У+4 У (Х+У 1)г 18.438. Случайная точка (Х, У) характеризуется центром рас- / 3 — 21 сеивания ( — 1, 1) и ковариационной матрицей [ ] . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Я = = 2Х вЂ” 4У+ 3. 18.439. В прямоугольник с вершинами (О, 0), (2, 0), (2, 1) и (О, 1) наудачу ставится точка.
Обозначим (Х, У) случайные координаты этой точки. Вычислить М [Х ~ У], М [Х + Уг] и М [ХУ]. 18.440 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычислить Р [Х ~ У] и П [ХУ]. 18.441. Случайные величины Х и У независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием т и дисперсией цг. Найти коэффициент корреляции случайных величин У = сгХ + ДУ и Г = сгХ вЂ” ДУ.
18.442 (продолжение). Показать, что случайные величины Я = = Х+ У и И' = Х вЂ” У, где Х и У описаны в условии предыдущей задачи, некоррелированы. 18.443. Случайная величина Х дискретного типа распределена по аакону, определяемому таблицей Найти коэффициент корреляции между Х и Хг. 18.444. Случайные величины Х и У независимы и распределены: Х по закону Л(0, 2), У вЂ” по закону И (1, 2). Вычислить 0 [Х вЂ” У] и М [ХУг + Хг У]. 18.445.
Случайная величина Х распределена по закону гЧ( — 1, 2), а не зависимая от нее случайная величина У распределена по закону В( — 1, 3). Вычислить М[Я] и В[Я], где Я = = Х+ У вЂ” ХУ. 18.446а. Случайная величина Х распределена по закону гЧ(1, 1). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора У = (Х, Хг, Хз), 18.447*. Случайная величина Ф вЂ” угол поворота азимутального лимба прибора — может принимать конечный набор значе- 110 Гл. 18. Теория вероятностей 2х ний ~рь = и — (й = О, 1, 2, ..., и) с равными вероятностями.
На п выходе прибора измеряется случайная величина У = а1пФ. Найти М[У] и 11[У]. 18.448. Случайная величина Ф принимает дискретные значеlсн ния ~рь = — (к = О, 1, ... ) с вероятностями, убывающими в гео- 2 метрической прогрессии. Найти М [У] и О [У], если У = а1пФ. 18.449 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М [Я] и 11 [Я], если Я = сов Ф 18.450. На окружность радиуса г наудачу ставятся две точки.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной длины Л хорды, соединяющей эти точки. 18.451. На отрезок АВ длины 1 наудачу ставится точка М и проводится окружность радиуса АМ. Найти М [Х ] и 0 [Ь], где Ь— длина окружности. 18.452 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М [Я] и Р [Я], где Я вЂ” площадь круга. 18.453. На отрезок [О, 1] наудачу ставятся две точки А и В.
Найти М [Я], где Я вЂ” плошадь квадрата со стороной Л = [АВ[. 18.454 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти М[Л! и О[В]. 18.455. На экране индикатора радиолокационной станции кругового обзора отраженный импульс от цели представляется в виде светящейся точки с координатами (х, у).
При поиске очередной цели светящаяся точка появляется случайным образом в любом месте круга радиуса а. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния В от точки до центра экрана. 18.456. На смежные стороны прямоугольника со сторонами а и 6 (а ) 6) наудачу и независимо ставится по одной точке. Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата расстояния гг~ между ними.
18.457. Шарики для подшипников изготовляются из стали с плотностью р = 7,8 г/см . Они считаются годными, если прохоз дят через отверстие диаметром Нг = 10,1 мм и не проходят через отверстие диаметром с11 = 9,9мм. Технология изготовления шариков такова, что диаметр шарика можно считать нормально расИ1+ 1г пределенной случайной величиной с параметрами тх = 2 с)г — А нх = . Найти математическое ожидание массы шарика Я 5 с тремя верными знаками после запятой. Э 4.
Функции сл чайных величин 18.458 (продолжение). В условиях предыдущей задачи допустим, что диаметр шариков распределен равномерно в пределах поля допуска (по закону Л(А, Ыэ)) с теми же значениями 4, Ыэ и р. Найти математическое ожидание массы шарика Я с тремя верными знаками после запятой.
18.459. Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной р. Случайная величина Я вЂ” относительная частота успехов в и испытаниях. Вычислить М [Я] и Р [Я], выразив Я через сумму индикаторов успеха в одном испытании и воспользовавшись свойствами операций математического ожидания и дисперсии. 18.460в. Автоматическая линия производит детали, удовлетворяющие стандарту с вероятностью о и не удовлетворяющие стандарту с вероятностью р = 1 — д. Перестройка линии производится после получения к нестандартных деталей.
Случайная величина Я вЂ” число деталей, сошедших с автоматической линии между двумя перестройками. Вычислить тг и Рю 18.461". Проводятся последовательные независимые испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной р. Назовем «серией успехов» такую конечную цепочку последовательных испытаний, в которой каждое испытание закончилось успехом, а испытание, предшествующее цепочке, и испытание, следующее за ней, — неудачей. Пусть ߄— число серий успехов в и испытаниях. Найти М [Я„].
18.462*. Случайная величина Я представима в виде где Хь (А = 1, 2, ...) — попарно независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием т и дисперсией я~, а У вЂ” С. В. Д. Т., множество значений которой есть (1, 2, ..., М) (Ф конечно или бесконечно) с известными вероятностями их реализаций рь = Р [У = Ц, к = 1, 2, ... Показать, что справедливы следующие формулы для моментов М [Я] и М [Яэ]: М [Я] = т ,'~ пр„, М [Яэ] = ~~ р„(поз + пэтэ). 18.463*.
Бросается игральная кость. Пусть выпало й очков. После этого та же кость подбрасывается к раз. Случайная величина У вЂ” сумма выпавших при этом очков. Найти М [Я] и Р Д. 112 Гл. 18. Теория вероятностей г 18.464*. Пусть Я = ~~~ Хь, где Хь, й = 1, 2, ..., подчиняются ь=! закону Ф (т, о) и независимы в совокупности, У распределена по геометрическому закону с параметром р.
Вычислить гав и Оя. 18.465. Пусть для случайной величины Х существует начальный момент 4-го порядка, т.е. М [Х4]. Используя неравенство Коши — Буняковского, доказать, что тогда существуют и начальные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков. 18.466, Показать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса не зависят от начала отсчета н масштаба при линейном преобразовании, т.е. если У = Л (Х вЂ” а), то аг = ах, ех = е„. 18.46У*. Пусть Хы Хэ, ..., Մ— стандартизованные случайные величины, одинаково коррелированные между собой (т.е. рн —— 1 = р для всех 1 ~ у).
Показать, что р >— и — 1 18.468*. Пусть Х и У вЂ” две стандартизованные случайные величины с коэффициентом корреляции р„г = р. Доказать, что 1 < М [шах(Х~, У~)] < 1+ ~/1 — рэ. 18.469*. Опыт состоит в том, что точка Х~ наудачу выбирается из отрезка (О, 1), затем точка Хэ наудачу выбирается из отрезка (Хы 1), ..., точка Х„наудачу выбирается из отрезка (Х„м 1). Найти М [Хв] 18.470. Два равносильных шахматиста договорились сыграть между собой матч на следующих условиях. Общее число партий не ограничивается, за каждую выигранную партию победитель получает одно очко, за ничьи очки не присуждаются. Выигравшим матч считается тот, кто первый наберет б очков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
