341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 26
Текст из файла (страница 26)
»1 Согласно условию плотность распределения вероятностей случайного вектора (Х, У) имеет вид 1 — если (х, у) Е Ра, ,(», т (х~ у) = О, если (х, у) (с Р„ где Р, = ((х, у)~ х~ + у < ат). Найдем сначала функцию распределения случайной величины Е. По определению, учитывая формулу (4), находим Е»(х) = Р(Я < х) = Р~ — < з = у»»(х, у)с(хау, (5) ( 1' '.( х с. где 6, = ((х, у) ~ у/х < х) — область на плоскости, зависнщан от значений действительной переменной з. Для фиксированного значения з вта область показана на рис. 12 и 13 штриховкой.
Рис. 12 Рис. 13 Учитывая, что (»» (х, у) отлична от нули только в круге Р„из (5) находим Е,( ) = — И~Му = — Мха = — Я(К,), с, г~о. где К, — один из секторов, составляющий область С, П Р„выделенную иа рис, 12 и 13 двойной штриховкой. Так как в случае х > О площадь сектора Я (К,) = — ~ — + а) а = — ~ — + агссдх~ а, 2~2 ) 2~2 Гл. 18.
Теория вероятностей 126 то получаем 1 7Г т Г,(я) = — ~агсгбя+ — ) при я > О. 2) Аналогично, при я ( О, как видно из рис. 13, 1 гя Гя(Я) = — ~ — + агссбв) . я ~2 Дифференцируя функцию распределения по я, получаем независимо от знака я отв (я) 1 1 Яя) = т 1+я2' что соответствует закону распределения Коши. ~> 18.514. Случайный вектор (Х, У) дискретного типа распределен по закону, определяемому таблицей Описать законы распределения случайных величин (у = (У вЂ” Х! и У = Уз — Хз, 18.515. Случайные величины Х и У независимы и подчиняются одному и тому же индикаторному распределению В(1, р). Описать законы распределения случайных величин Я = Х + У и У =ХУ.
18.516. Вычислить функцию распределения случайной величины Я = ХУ, если случайный вектор (Х, У) распределен по закону, определяемому таблицей З 4. Функции случайных величин 127 18.517. Случайные величины Х и У независимы и одинаково распределены по закону Л (О, 1). Найти плотность распределения сдучайной величины Я = У/Хг. 18.518. Случайный вектор (Х, У) распределен по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей (х+ у) при О < ж < 1, О < д < 1, /х, (* ь') О в остальных случаях. Найти плотности распределения вероятностей функций Е = = Х + У, 1У = ХУ. 18.519 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти Плотность РаспРеделениЯ веРонтностей де к(и, и), где У = Хг, Уг 18.520. В круг радиуса т наудачу ставится точка. Описать закон распределения расстояния от этой точки до центра круга. 18.521. Случайные величины Х и У независимы и одинаково распределены по закону М(О, и). Установить, по какому закону р р ь в ° - ° л=,х.~~. 18.522. Случайные величины Х и У являются стандартизованными и независимыми нормальными величинами. По какому закону распределена случайная величина Я = Х/У? 18.523. Случайная точка (Х, У) распределена по нормальному закону с параметрами тх —— тг = О, ох > О~ ог > О, рхг = = О. Написать плотность совместного распределения вероятностей полярных координат точки (Л, Ф).
18.524*. Пусть Х и У вЂ” две независимые случайные величины непрерывного типа. Доказать, что случайные величины Х" и У" (1$ Е ГЭ) также независимы. 18.525*. Случайные величины Х и У независимы и одина- йово распределены с функцией распределения Р (х). Найти функции распределения случайных величин У = гшп(Х, У) и У = с шах (Х, У). 18.526 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти совместную функцию распределения Ге и (и, о). 18.527в. Случайные величины Х и У независимы и распределены каждая по закону Л(а, б).
Найти плотность /е к (и, о) совместного распределения вероятностей случайных величин су = ~ гшп (Х, У), 1' = шах (Х, У1. Гл.18. Теория вероятностей 128 4. Задача композиции. В одном из важных частных случаев функциональной зависимости Я = ~о(Х, У) = Х + У возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент. Если, например, (Л, У) — С. В. Н. Т.
с известной плотностью совместного распределения компонент ух» (х, р) и л = Х + У, то Ух(х) = Ух» (х, 3 — х) дх = Ух» (а — Р, Р) Йц. (6) Если (Х, 1') — С.В Д.Т., то закон распределения С.В.Д.Т. х, = = Х + 1' записывается в виле Р(г = зь) = '> ~ Р(Х = т,, Р = „у), где суммирование распространяется на все значения индексов 1 и у, для которых выполняется условие х, + уу = гь.
В частности, если (Х, У) — С.В.Д.Т, с независимыми компонентами, то Р(Я = зь) = ~~~ Р(Л = ац) Р(У = хь — ац). (7) Если (Х, У) — С. В. Н. Т. с независимыми компонентами, то формула (6) приводится к свертке двух плотностей: ух(х) = Ух (х) у (- х) пх = ух (х У) у»(У) яр. (8) Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин носит название задачи композиции. Описанные выше формулы (7) и (8) дают непосредственное решение задачи композиции. Формулу (8) удобно применять в тех случаях, когда плотности распределения вероятностей компонент описываютя одной формулой на всей оси (что, например, справедливо для нормального закона, закона Коши и т.д.). Другой подход к решению задачи компоаиции основан на применении свойств 4 и 6 характеристической функции.
Так как Ех(г) = = Ях(1) Е„(1), то, найдя Е,(1), можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины х (согласио свойству 6). Закон распределения И' определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины Х и У подчиняются закону распределения данного вида, следует. З 4. Функции случайных величин 129 что их сумма Х+ У подчиняются закону распределения И~ того же вида (см, определение вида распределенин иа с. 117). 18.528.
Х и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону, определяемому таблицей Описать закон распределенин суммы Я = Х + У. 18.529. Х и У вЂ” две независимые случайные величины, подчиняющиесн одному и тому же закону геометрического распределения (см. задачу 18.330) с параметром р. Найти закон распределения их суммы Я = Х + У. 18.530. Доказать композиционную устойчивость закона Пуассона и найти тх и Хуа, где Я = Х + У, Х и У вЂ” независимые пуассоновские случайные величины с параметрами соответственно Лд и Лг 18.531.
Доказать композиционную устойчивость закона В (и, р) при фиксированном р. 18.532. Доказать композиционную устойчивость нормального закона Ф(т, о.). 18.533*. Решить задачу композиции двух равномерных распределений на отрезке [-1, Ц. Найти плотность распределения вероятностей суммы и указать, какому закону она соответствует. 18.534. Известно, что Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с функцией распределения Рх(т), У вЂ” независимая от Х случайнан величина, подчиняющаяся закону распределения В(а, 6). Найти плотность распределения веронтностей случайной н г=Х+У. 18.535*. Измеряетсн некоторая физическан величина Х, равномерно распределенная на отрезке [ — 3, 3[.
Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от Х помехи У, распределенной по нормальному закону с параметрами тг — — О, ог = 2. Написать плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины Я = Х + У. 18.536. Решить задачу композиции двух показательных рас,пределений с параметрами, равными соответственно Л1 и Лт. Найти плотность распределения веронтностей суммы х' = Х+ У непосредственно, вычислив сначала функцию распределении, а затем плотность. 18.537 (продолжение).
В условинх предыдущей задачи найти плотность распределения вероятностей я, используя аппарат хаРактеристических функций. Гл. 18. Теория вероятностей 130 18.538* (продолжение). В условиях задачи 18.536 найти плотность распределения вероятностей Е в частном случае Л1 = Лг = Л (композиция двух одинаковых показательных распределений).
Случайная величина Х непрерывного типа распределена по закону Эрланеа и-ев порядка (и б И) с параметром Л > О, если ее плотность распределения вероятностей описывается формулой О, если х(0, и! Из решения задачи 18.538 вытекает, что композиция двух одинаковых показательных распределений с параметром Л есть распределение Эрланга первого порядка. 18.539*. Показать, что композиция и одинаковых показательных распределений с параметром Л есть распределение Эрланга (и — 1)-го порядка с параметром Л. 18.540*. Доказать композиционную устойчивость распределения Хг(и).
В частности, показать, что сумма двух независимых распределений Х соответственно с и1 и иг степенями свободы есть г снова распределение Х с и1 + иг степенями свободы. у г 18.541о. Случайная величина Я представима в виде Я = ~> Хы ь=1 где Хь — попарно независимые случайные величины, одинаково распределенные по показательному закону с параметром Л, а У подчиняется геометрическому закону распределения с параметром р. Указать закон распределения случайной величины Я. 35. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 1. Закон больших чисел.
Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел. Если случайная величина Х имеет конечный первый абсолютный момент М [[Х[], то яе > 0 Р ([Х) > с) (( В частности, если Х > 0 и существует тп„, то Р(Х >в) ( — ~ в (первое неравенство Чебышева). у 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 131 Если существует М [Хз], то при любом е > О справедливы второе неравенство Чебышева в нецентрированной форме; Р (Х > е] ( з М [Хз] и второе неравенство Чебышева в центрированной форме: РЦХ вЂ” ~~~ >е) < —. 1)х Последовательность случайных величин Хе, Хз, ..., Х„,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
