341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 22
Текст из файла (страница 22)
» (х, у), вычислить вероятность события А = ((х, у) Е С), где область С вЂ” треугольник с вершинами в точках ( — 1, 0), (О, 1), (1, 0). 18.415. Случайный вектор (Х, У) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках ( — 1, 0), (1, 2) и (1, 0).
Вычислить центр рассеивания данного распределения. 18.416. Случайный вектор (Х, У) равномерно распределен в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат. Установить, зависимы или независимы его компоненты. 18.417 (продолжение). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора из предыдущей задачи и выяснить, коррелированы или некоррелированы его компоненты. 18.418 (продолжение).
Для случайного вектора из задачи 18.416 21 вычислить вероятности р1=Р(ХУ > О) и рв = Р ч(Х + У < — ~ 4) 18.419. Точка М наудачу ставится в круг С = ((х, у) ~ х~+ уй < < а~). Исследовать вопрос о коррелированности или некоррелиРованности, а также зависимости или независимости случайных координат Х и У точки М, Гл. 18. Теория вероятностей 102 18.420. Функция совместного распределения двух случайных величин Х и У имеет следующий вид: О, если пцп(х, у) < О, Е»,, (х, у) = пцп(х, у), если 0 < ппп(х, у) < 1, 1, если ппп(х, у) > 1.
Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости. 18.421. Случайные величины Х и У независимы и распределены следующим образом; Х вЂ” по закону Ех(2), У вЂ” по закону Л( — 2, 2). Найти вероятности следующих событий: А = = ((Х, У) Е Р~), В = ((Х, У) Е Рз), где Р~ — — ((х, у) ~ 0 < х < < 2, 0 < у < 1), Рэ = ((х, у) / у > х — 2).
18.422. Случайные величины Х и У независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно Л~ и Лэ. Найти Р (Х > Лэ ~, У > Л~ ~). 2. Нормальный закон на плоскости. Говорят, что двумерный случайный вектор (Х, У) распределен по нормальному (гауссовскому) закону, если совместная плотность распределения вероятностей случайных компонент имеет внд 1 1 (х — т»)э у» „(х, у) = ехр — (-. —,:)~,''- 2р»„(х — т») (у — т„) (у — т») о»о» о, где (т», т„) — центр рассеивания, ох, ог — среднеквадратичные отклонения случайных компонент вектора (Х, У), р„„— коэффициент корреляции. Для нормального закона справедливо следующее правило: Если компоненты двумерного нормального вектора некоррелированы (р„„= О), то они и независимы, так как в этом случае (х, у) = ехр — + = У„(х) У,(у).
(11) Прн этом осн координат Ох и Оу называются главными осями рассеивания. Если к тому же о» = ог = о, то рассеивание называется круговым. В общем случае (р»„~ О, о» ф о„) эллипсом рассеивания называется эллипс, в каждой точке которого плотность имеет одно н то же постоянное значение. Эллипс, в точках которого плотность постоянна н равна 1 ( .г», » (х, у) = сопэс = ехр 1— 2по» о» 1 — р~» „( 2 (1 — рг „) 1 З 3. Случайные векторы описывается уравнением (х — т») 2р„„(х — т») (у — т„) (у — т„) ат а,о„ ага С помощью преобразования поворота системы координат плотность нормального распределения всегда может быть приведена к каноническому виду (11) с злавнььм эллипсом рассеивания, описываемым уравнением ( — .)' (у- .)' + а» аг Пример 7.
Случайный вектор (Х, 1») подчиняется каноническому нормальному распределению с параметрами т„= тп„= О, а», аг. Вычислить вероятность попадания случайной точки (Х, 1') в область Р», ограниченную главным эллипсом рассеивания с полуосями а=Ли„, Ь=Ло',. а Уравнение эллипса хэ уэ 2 + 2 1 (Ла»)т (Ла„)э Р ((Х, Р) б Рл) = У», г (х, у) ь(х ду. Для вычисления интеграла перейдем к полярной системе координат: х = а»г сову, у = а,г выл ьр. Якобиан этого преобразования 1 = а„а„г. При этом уравнение эллипса преобразуется в уравнение окружности радиуса Л. Поэтому Р ((Х, 1') Е Ра) = — / ьььр~ ге ' 1~ ььг = 1 — е а 1~.
с> 2т .I о о Пример 8. Двумерный случайный вектор распределен по нормальному закону с совместной плотностью вероятностей, определяемой формулой (10). Найти безусловную плотность вероятностей компоненты Х, условную плотность 1„(у/х) и условное математическое ожидание МГУУХ = х). а По формуле (4) 1»(х) = 1» „(х, у) ььу, Гл. 18.
Теория лхерехгностей 104 где/ к (х, у) опрепеляется формулой (10) 1лелаемзамену переменных: х — т у — тк обозначим длллрат) ости р р . Гог х/2пк ' х/2п„ 1 / иг /х(х) = ехр1 — х к х/2 тпк х/ 1 — Рг 1 2рии к) х ехр — — иг + — ] хеи. , гк] Дополняя до полного квадрата в показателю евспоненты под знаком ин- теграла, получим интеграл Пуассона: 1 г 1 ( (х тк) ) ехр( — и ) = — ехр ~— х/2п пк ек к/2х 1, 2пг ) Условную вероятность находим по формуле (б) /, , (х, у) 1 ~ 1 / (у/х)— 7 )*) „)г~')- Ф, ) 2)1 — Р „) г и„ х у -ахя — р„,. — (х — тк) пк Это значит, что /„(у/х) представляет собой гауссовскую плотность с па- раметрами, имеющими смысл условного математического ожидания и условной дисперсии: пк М ]1к/Х = х] = тк + Ряк — (х — т„), пк г) (1 /Х вЂ” х] — п~ (1 Рг,)' (12) Уравнение (12), определяющее условное математическое ожидание как функцию х, называется уравнением клинейной) регрессии 1' на Х.
г 18.423. Случайная точка на плоскости (Х, у) распределена по каноническому нормальному закоыу с центром рассеивания (тх, т ) = (О, 1) и среднеквадратичными отклонениями и„= = 1, п = 2. Вычислить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами ( — 1, 1), (2, 1), (2, 3) и ( — 1, 3). 18.424. Случайная точка на плоскости (Х, У) распределена по круговому нормальному закону (рхк = О, пх = пг = и = 1) 3 3. Случайные векторы 105 с центром рассеивания в начале координат.
Вычислить вероятности следующих событий: А = (У > Х), В = (~У~ > Х), С=(У <ЗХ). 18.425 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычислить вероятность событий В = ((Х) < Ц и Е = (Х < 1, У < 2). 18.428. Координаты точек на плоскости независимы и распределены по законам Л (а, о) и М(6, и).
Найти радиус круга с центром в точке (а, 6), вероятность попадания в который равна 0,997. 18.427. Случайная точка (Х, У) распределена по круговому нормальному закону с параметрами т» = гяк = О, и» = ок = 2. Найти вероятности попадания случайной точки в области С;, 1 = = 1, 2, где С1 —— ((г, ~Р) ~ 0 < г < 2, 0 «Р < †1 (сектор), (т, ~Р)— б> полярные координаты точки, Сз((х, р) ~ 4 < х~+р~ < 9) (кольцо).
18.428 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности попадания случайной точки в область Сз = ((х, у) ~ ! (х! + (у! < 3) (квадрат). 18.429*. Случайная точка на плоскости (Х, У) распределена по круговому нормальному закону с параметрами т» = тг = О, и» = о„= 1. Найти вероятности попадания случайной точки в области С;, г = 1, 2, где С1 — треугольник с вершинами (О, 0), (1, 0), (1, 1), Сг — треугольник с вершинами (О, 0), (1, 1), (2, 0). 18.430 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности попадания случайной точки в области Сз — трапеция с вершинами (1, 0), (2, 0), (2, 2), (1, 1), С4 — треугольник с вершинами (2, 0), (2, 2), (1, 1).
18.431. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора: гп» = — 2, гяг = 3 и ковариационная матрица (12 25) ' Записать выражение для плотности распределения вероятностей у» г (х, у) и вычислить вероятность попадания в главный эллипс рассеивания с полуосями а = 2о», 6 = 2о, 18.432 (продолжение). В условиях предыдущей задачи написать уравнение регрессии У на Х. 18.433. Случайный вектор (Х, У) подчиняется нормальному распределению с параметрами т» = — 1, тк = 1, о» = 1, ог = 2, Р»г —— О. Написать уравнение главного зллипса, ограничиваюгцего область С, вероятность попадания случайной точки (Х, У) в которую равна 0,9.
Гл. 18. Теория вероятностей 106 18.434. Закон распределения двумерного случайного вектора описывается плотностью распределения вероятностей следующего вида; -(х'+гхр.кзх'уг ц Записать выражение для безусловной плотности у»(х) и указать значения основных параметров совместного распределения. 18.435. Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели, зона поражения которой представляет собой круг радиуса г с центром в начале координат. Рассеивание точки попадания снаряда — нормальное круговое с параметрами т» = тг = О, и» = = о„= 2г.
Сколько выстрелов надо произвести, чтобы поразить цель с вероятностью, не меньшей 0,95? 34. Функции случайных величин 1. Числовые характеристики функций случайных величин. Если Х— дискретная или непрерывная случайная величина с известным законом распределения и У = ~р(Х), где р — неслучайная функция, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины У в случае, если онн существуют, могут быть найдены по формулам ~р(хк) Р(Х = хк), если Х вЂ” С.В.Д.Т., к I .~. СО (1) у(х) у»(х) Их, если Х вЂ” С. В, Н, Т,; т„= М[У) = ~',(Р(хк) — т„) Р(Х = хк), если Х вЂ” С, В, Д,Т,, (~Р (х) т~ ) ух(х) дх, если Х вЂ” С.
В. Н, Т, в„= м(Р] = Аналогичные формулы имеют место н для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины 1', которая является неслучайной функцией Х. Таким образом, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции случайной величины не надо знать закона распределения зависяшей от Х случайной величины У, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента Х.
Сформулированное правило естественно обобшается на функции от большего числа случайных переменных. Например, если й 4. Функции случайных величин 107 Е=ч (х, У),. ~р(х„у„) Р (Х = х!, У = у.), если (Х, 1') — С. В. Д. Т., , =М[г] = р (х, у) ух „(х, у) дх ду, если (Х, !') — С.В.Н.Т. Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства математического ожидания и дисперсии: 1. Длл любых случайных величин Хе (Ь = 1, 2,..., ц) ~ о о М ~~ аехь + 6~ = ~~! аем [Хе] + 6 (свойство линейности).
е=! ь=! 2. Если Х > О, то М [Х] > О. 3. Если Х >0 им[Х]=0, тоР(Х=О] = 1. 4. Длл любых случайных величин Хе (1с = 1, 2, ..., и) п в и Р ~Яаьхь + 6~ = ~~! аз!В[Хе]+ 2~~! а!а.КО, =! к=! а у=! где Кц —— М [Х;11]. В частности, Р [аХ + ЬУ + с] = а Р [Х] + Ь Р [У] + 2аЬК !г. б. М [ХУ] = М [Х] М [У] + К„„. 6. М [ХУ] ( М [Ха]М [Уз] (неравенство Коши — Бунлковсного). 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
