341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Определить среднее число партий, сыгранных в данном матче, если вероятность выиграть очередную партию любому из игроков равна р (р < 1/2), а вероятность ничейного исхода равна 1 — 2р. < Обозначим Х числа партий, сыгранных в матче, Хь (1г = 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных от (й — 1)-й победы кого-либо из участников до Й-й победы кого-либо из участников (последпее — включительно), Я (т = 1, 2, ..., 11) — число партий, сыгранных до достижения т-й результативной партии включительно. Очевидна, Я = ~ Хы Так как вероятность результативной партии равна 2р, то Хв в=1 (при любом й) подчиняется геометрическому распределению (см. задачу 1 18.330) с параметром 2р, поэтому М[Хь] = —.
Согласно свойству 1) 2р 3 4. Функции случайных величин 113 т атематического ожидания М[Яы] = ~ М[Хь] = —. Обозначим У а=1 2 р ~ело результативных партий, сыгранных в матче. Множество возможсх значений случайной величины У: (6, 7,..., 11). Очевидно, собыие (У = 6+ )с) ()е = О, 1,..., 5) означает, что один из участников пгграл матч, набрав 6 очков при общем числе результативных парий б+ к. Таким образом, Р(У = 6+ Ц = Р (матч выиграл первый частник при общем числе результативных партий 6+ Ц + Р (матч выиграл второй участник при общем числе результативных партий 6+Ц = м 2Р (составить наудачу (б+ й)-буквенное слово из алфавита с двумя буквами (П, В) (П вЂ” выиграл первый,  — выиграл второй), причем ь Сье„ адово должно содержать 6 букв П и оканчиваться буквой П) =— 25 ее (» = О, 1, ..., 5).
Найдем условное математическое ожидание М [Х/У = 6+ й] = М [Я ! = — . 6+ )с 2р йо формуле (8) з 3 полного математического ожидания М [Х) = М [М [Х/У]] = = ~ Р (Р = б+ Ц М [Х(Р = 6+ й] = ~ -1т-" Со „6+ )с 4,6465 2"+ь 2р р а=о а=о Поскольку воаможные значения Х вЂ” натуральные числа, то в качестве М [Х] нужно взять ближайшее натуральное число, не меньшее чем 4,6465 1 .
Например, при р = — имеем М [Х] = 19. > р 4 18.471а. В я почтовых ящиков, установленных в данном районе города, случайно и независимо опускают по одному письму в течение длительного времени. а) Найти математическое ожидание М [Х„] общего числа писем, опущенных до момента, пока не останется пустых ящиков. 6) Получить числовые значения при п = 2; 5; 10; 100. 2 Характеристические фунвции елуча1пгых величин.
Если Я = Х + 1У вЂ” комплекснозначная случайная величина, где Х и У вЂ” действительные случайные величины, то М Д = М [Х] + г М [У]. Характеристической фуккиией Е„(1) случайной величины Х наывается комплекснозначная неслучайная функция действительного ар- Гл. 18. Теория ве оятиостей 114 гумента 1, определяемая равенством ~ е"*' Р (Х = хь], если Х вЂ” С. В. Д.
Т., енл ух(х) Ых, если Х вЂ” С. В. Н. Т. Е»(1) = М(епх] = Свойства характеристической функции: 1. Е (О) = 1, !Е (1)] < 1. 2. Если Е» (1) — характеристическая функция случайной величины Л и У = аХ + Ь, то йьЕ (1) =1 сел, где аь=М(Х], )с=1,2,...,т. ь ~=о и 4. Если У = ~~~ Хы причем (Хь) (к = 1, 2, ..., я) независимы «=1 в совокупности, то Е«(1) = Е«(г) Е, (г) ... Е» (1). 5. Е»(1) = Е«( — 1) = Е «(1), где черта означает операцию комплексного сопряжения. В частности, отсюда следует, что если Е»(1) — действительная функция, то она обязательно четная. 6.
По характеристической функции Е„(1) однозначно восстанавливается функция распределения Е»(х). Если же Х вЂ” С. В. Н. Т.(т.е. длв нее существует плотность) и функция Е (1) абсолютно интегрируема, то У (х) = — ( е н*Е«(1) а1. 2я у Характеристической функцией случайного вектора Х„Хг, ..., Х„называется комплекснозначная неслучайная функция и действительных переменных 1м 1г,..., 1„, определяемая равенством Е, », „„(Еы1г,...,с )=М ехр~1~ ~1ьХь 1 ь=~ П ример 3.
Случайная величина Х подчиняется закону распределения г( (О, 1). Найти ее характеристическую функцию. Е»(1) еаьЕ (ае) 3. Если существует т-й абсолютный момент М []Х]™], то существуют производные характеристической функции Е» (г) до гп-го порядка включительно, причем З 4. Функции случайных величин 115 з По определению характеристической функции у„(С) = М [ехр(ССХЦ = — / ехр(ССх) ехр ~ — — ~ ох = л(2т ехр — пх = ехр — — с(х = ОР -оо-и ехр ехр — — ох = ехр Переход от интегрирования по контуру Е = ( — оо — СС, +ос — СС) к интегрированию по вещественной оси оправдывается аналитичностью подмнтегральной функции в части нижней полуплоскости, ограниченной ддйствительной осью и прямой С., и возможностью деформировать контур интегрирования в области аналитичности согласно теореме Коши.
С> Пример 4. Указать, какие из нижеприведенных функций действительной переменной С не являются характеристическими функциями и почему. Е1 (С) = —, Ет(С) = —, Ез(С) = агнЬС, 1 1 1+С 1+Се ' Е4(С) = соаЬС, Еа(С) = 1 — СС. сл Не нвляются характеристическими функциями Е1(С), Ез(С) (не выполняется свойство 5) и Еь(С) (не выполняется свойство 1). С> Пример 5. Найти характеристическую функпик случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона с параметром Л, и с ее помощью вычислить т» и В». з По определению характеристической функции нь Л" -л -л ~- Лен " ~г Ц Л~ Ц л=е а=о Пв свойству 3 имеем = Е'„(С)/ = елС' 1~ЛСе"!, = Лг, следовательно —, =л. Гл.
18. Теория вероятностей 116 Далее, по тому же свойству 1~ое — — Е" (1)/, =1Л(1+ Л1ео) ен~~~' '~/, = г~Л(1+ Л), т.е. ае = Л11+ Л), Таким образом, Р, = ае — тов» = Л + Л вЂ” Л = Л. 1> 18.472. Случайная величина Х дискретного типа может принимать только два возможных значения: — 1 или 1, с равными вероятностями. Вычислить характеристическую функцию данного распределения. 18.473. Случайная величина Х дискретного типа распределена по закону, определяемому таблицей Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить дисперсию ох. 18.474. Проводятся последовательные независимые испытания с двумя исходами.
Случайные величины: Хь — индикатор успеха в й-м испытании, Х вЂ” число успехов в н испытаниях. Построить характеристическую функцию для Ть и, используя ее свойства, найти характеристическую функцию случайной величины Х, если вероятность успеха от испытания к испытанию не меняется и равна р. 18.475 (продолжение). Найти характеристическую функцию случайной величины Х из предыдущей задачи, если вероятность успеха в Й-м испытании равна рь. 18.478. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами я и р. Найти ее характеристическую функцию.
18.477 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти тх и Р», используя характеристическую функцию. 18.478. Случайная величина Х распределена по геометрическому закону с параметром р ) 0 (см. задачу 18.330). Найти характеристическую функцию и с ее помощью вычислить математическое ожидание тя. 18.479. Случайные величины Х и У' независимы и одинаково распределены с характеристической функцией Е11). Пусть Я = = Х вЂ” У. Найти Ев (с). З 4. Функции случайных величин 117 18.480. Пусть для случайной величины Х непрерывного типа сугдествует М ОХО. Показать, что дЕхЯ <М(Х,) 18.481. Пусть Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с ащественной характеристической функцией.
Показать, что Ьх(6) = сов бх~х(х) г(х. 18.482 (продолжение). В условиях предыдущей задачи показать, что тх = О. 18 483* (продолжение). В условиях задачи 18.481 известно, что дисперсия случайной величины существует и равна о~. Показать, 62 „2 что Ех(г) > 1 — —.
18.484. Случайная величина Х подчиняется показательному распределению с параметром Л. Найти ее характеристическую функцию. 16.485 (продолжение). Используя найденную в предыдущей задаче характеристическую функцию показательного распределения, вычислить основные его характеристики: т», Ю» и а„. 18.486. Случайная величина Х подчиняется равномерному закону распределения на отрезке (а, 6] (закону В (а, 6)). Найти характеристическую функцию. 16,487*. Случайная величина Х подчиняется закону Коши с параметрами с е И и а > О с плотностью распределения вероятностей У-(х) = -' ,)г+аг ' Найти ее характеристическую функцию. Семейство законов распределения, описываемых функциями распре/х — а~ деленияР ( ), где Г(х) — фиксированная функция распределения, а Е И, 6 > О, называется видом распределения.
При этом параметр а называется параметром сдвига, 6 — масштабным множитеИз этого определения вытекают два простых следствия: Следствие 1. Семейство законов распределениц описываемых 1 /х — а~ плотностями — у" ~ — ), где г'(х) — уиксированная плотность 6 (,6)' 3 аспределения вероятностей, а Е И, 6 > О, лвллетсл видом распрееления. Гл. 18. Теория вероятностей 118 Следствие 2. Семейство законов распределения, онисьлваемьст характеристическими функциями ео Е (66), еде а й К, 6 > О, Е (1)— фиксированная характеристическая функция, является видом распределения.
Пример 6. Характеристическан функция случайной величины Х еа — 1 имеет вид Ея(~) = . Какому закону распределения ока соотвст- Й ствуету а Характернстическан функции случайной величины Х, распреде. ленной по закону В (а, 6), имеет вид (см. задачу 18.486) ав Ф 2(6 —,) Сравнивая полученную характеристическую функцию с заданной, находим Ь = 1, а = О. По следствию 2 заключаем отсюда, что заданная характеристическая функцин соответствует закону распределения Е (О, 1). > 18.488. Пусть Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с функцией распределении г'„(х). Найти характеристическую функцию случайной величины У = Р„(Х) и указать, какому распределению она соответствует.
18.489. Пусть Х вЂ” случайная величина непрерывного типа с функцией распределения Е„(х). Найти характеристическую функцию случайной величины 1' = — 1п Ех(Х) и указать, какому распределению она соответствует. 18.490. Случайная величина Х распределена по закону Ф (О, Ц. Найти характеристическую функцию случайной величины У = = аХ + гц и установить вид закона распределения. Х, +Х,+...+Х„ 18.491. Случайная величина Я где и ~Хе), й = 1, 2, ..., п, независимы в совокупности и одинаково распределены по закону Коши с параметрами с = 0 и а = 1, Используя аппарат характеристических функций, установить вид закона распределения случайной величины Я. 18.492.
Дана характеристическая функция непрерывной случайной величины Х: 1 Ех(с) = 1+62 Найти выражение лля плотности распределения веронтностей к установить вид закона распределения. 18.493. Пусть Х подчиняетсн закону М(О, 1). Найти характеристическую функцию случайной величины 1' = Х и показать, что она распределена по закону с одной степенью свободы. З 4. Функции случайных величин 119 18.494*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
