341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(8) Пусть (Х, У) — С. В. Н. Т. Условным математическим ожиданием случайной величины Х при условии У = у называется действительное число, обозначаемое М [Х/У = у] и определяемое формулой -~-пп М [Х/У = у] = х/» (х/у) дх, где / (х/у) — условная плотность, определяемая формулой (6). Формула полного математического ожидания, аналогичная (8), имеет вид М [Х] = М [М [Х/У]] = /,(у) М [Х/У = у] ду. (9) Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора (Х, У) без труда обобшаются на случай и-мерного случайного вектора (Хы Хг, ..., Хп). Так, например, вектор с неслучайными координатами (ты тз, ..., тп), где т, — математическое ожидание случайной величины Хо определяемое формулой т; = М [Х;] = -~-пп х1/»п»п .,» (Х1, х2, ..., Хп) дх1 дх2 ... дхп ° называется центром рассеивания случайного вектора (Хы Хг, ..., Хп), Ковариационной матрицсй и-мерного случайного вектора (Хы Хт, ..., Хп) называется симметрическая действительная матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент: Кы Кгг .
К|п К22 ° ° ° Кгп Кпп где Кн — — М [Х,Ху] = К; — ковариация ю'-й и учй компонент. Очевидно. Ки = М [Х;8] = .О, — дисперсия 1-й компоненты. З 3. Случайные векторы 91 Корреляционной матрицсй п-мерного случайного вектора называется нормированная ковариационная матрица 11 1 Ргз ° ° Ргь К," где ргу = — — коэффициент корреляции г-й и уьй компонент.
огпу Пример 1. дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х вЂ” число появлений шестерки, У вЂ” число появлений четной цифры а) Описать закон распределения случайного вектора (Х, У). б) Установить, зависимы или независимы компоненты Х и У. в) Описать законы распределения отдельных компонент. г) Вычислить вероятность М '1Х > У).
а Для описания закона распределения дискретного случайного вектора (Х, У) необходимо определить множество всех возмогкных пар значений (х„у ) и соответствующие вероятности. Результат удобно представлять в виде следуюшей таблицы: В первом столбце указываются возможные значения случайной величины Х, а в первой строке — возможные значения 1', в последнем столбце и в последней строке указываются безусловные вероятности возможных значений соответственно Х и у. В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении 1-й строки и уьго столбца, указываются вероятности совместного осушествления события 1Х = х;, У = ру), т.е. йу=Р1Х=х;, У=р). Множество О для данного эксперимента состоит из равновероятных Исходов следующего вида: й = 1(г, у) ~ г, у = 1, ..., 6); Гл.
18. Теория вероятностей 92 число элементов данного множества А«(Й) = бэ = 36 (схема выбора двух элементов из множества (1, 2, ..., 6) с возврашением и упорядочиванием). Заметим также, что данный эксперимент можно рассматривать как повторение двух независимых испытаний с одним и тем жс множеством элементарных исходов в каждом опыте Й; = (1, 2, ..., 6) для « = 1, 2.
Поэтому множество Й является прямым произведением Й«х Йэ, что соответствует приведенной выше записи. Случайные величины Х и У определены на множестве Й и ставят э соответствие ««аждому элементарному исходу одно из своих возлюжных значений О, 1 или 2 (множества возмоа«ных значений для обеих компонент совпадают). Для данного опыта проще всего сначала описать законы распределения отдельных компонент Х и У, т.е. ответить на вопрос в).
Событию (Х = «), г = О, 1, 2, соответствует множество таких исходов из Й, у которых встречается ровно «шестерок. Вероятность данного события равна вероятности получить ровно «успехов в двух опытах по схеме Бернулли с вероятностью успеха в данном опыте, равной р = 1/6, поэтому по формуле (7) З2 Р (Х = «) = Рэ; — = Сэ — —, « = О, 1, 2. Аналогично, используя соответствуюшую схему Бернулли для вычисле- ния вероятностей событий (У = у), у = О, 1, 2, получим Р (У = у) = Рэ,у — = Сэ' — — = Сэ' —, у = О, 1, 2.
Таким образом, заполняем последний столбец и последнюю строку таблицы, а) Описание закона распределения случайного вектора дискретного типа (Х, У) можно осушествить в такой последовательности. Заметим, прежде всего, что рю=рго=рэ« =О, так как данные вероятности относятся к невозможным событиям (соот- ветствуюшие этим событиям множества элементарных исходов пусты). э Используя условие нормировки «по столбцу» ~ р о = р.о = Р(У = О), «=о находим, что роо — — Р(Х = О, У = О) = 1/4.
Аналогичное условие норл«ировки «по строке» дает рээ = Р (Х = 2, У = 2) = 1/36. Нетрудно убедиться, что достаточно вычислить еше одну какую-ли- бо вероятность из четырех оставшихся р;,, после чего все остальные вероятности в таблице восстанавливаются из условия нормировки. Вы- числим, например, р««. Вычисления можно провести двумя способами. Первый способ. Непосредственно вычисляем вероятность совмест- ного осушествления двух событий: (Х = 1) и (У = 1).
Очевидно. '3 3. Случайные векторы 93 „то событию (Х = 1, У = Ц благоприятствуют только такие исходы (г у) Е Й, у которых либо на первом месте стоит шестерка, а на втоом месте любая нечетная цифра, либо наоборот. Поэтому (Х = 1, у = Ц = ((6, 1), (6,3), (6,5), (1,6), (3,6), (5,6)). Отсюда по формуле классической вероятности получаем М ((Х = 1, У = Ц) 1 й) (О) 6 Вшорой способ. Используем формулу умноьчения вероятностей Р(Х=1, У= Ц =Р(Х= ЦР(У=1/Х = Ц. Условную вероятность находим методом вспомогательного эксперимента; Р(У = 1/Х = Ц = Р (при одном подбрасывании выпала нечетная цифра из состава (1, 2, 3, 4, 5)) = 3/5 согласно формуле классической вероятности.
Учитывая, что Р (Х = Ц = 10/36, получаем 10 3 1 Р(Х=1, У=Ц=— 36 5 6 Оставшиеся клетки таблицы заполняем с помощью условия нормировки, например, в такой последовательности: 1 1 1 Ро| = — — — = —, 2 6 3' 10 1 1 Ргг = 36 б 9 Наконец, 25 1 1 1 Рог = —— 36 3 4 9 б) Когзпонснты Х и У зависимы, так как, например, 1 10 1 5 рм = Р (Х = 1, У = Ц = — ф Р (Х = Ц Р (У = Ц = — . — = —. б 36 2 36 в) Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством, Р (Х > 1') = 1'((Х, У) е С), где С = ((х, р) ! (х, у) Е йг, х > у).
Так как (Х, У) — С. В. Д. Т., то по формуле (3) получаем г г Р (Х >1 ) = Ро =Роо+Рго+Рм+Рго+Ргч+Ргг = =о г=о би >г>) 1 1 1 4 = — + — + — = —. [> 4 6 36 9 Гл. 18. Теория вероятностей 94 П ример 2 (продолжение). Описать функцию распределения вектора из примера 1. а Согласно определению функции распределения Р,, (Х, У) = Р (Х < х, У < у) = Р ((Х, У) Е С, „), Ч где Сж а = ((1, г1) Д, »1) Е К, б < х, г1 < у).
Область С,,„заштрихована на рис. 8 и представляет собой бесконечный прямоугольник с вершинами в точках ( — оо, — оо), (-со, у), (х, у) и (х, -оо), При каждом фиксированном значении точки с координатами (х, у) значение возможных аначений вектора (х„уу), которые попадают внутрь указанного йрямоугольника.
Результат удобно представить в виде следуюшей таблицы: г г тх = оц о = »г, ~', 1рьу = =о у=о г г т» = оо г ~~' Зрб г г г г~~ р, =~~ 1р,.=-,, '=о з=о шо г г г У ~ Рм — Х~' уро — 1 =о у=о Дисперсии удобно вычислять через второй начальный момент: г т х = 18 ~ г р,. г=о г х = Иг,о = ог,о — т„ г г — т 2 — Ио,г — оо,г ™» г При м е р 3 (продолжение).
Вычислить основные характеристики пг;, т, Р, Ю„К„», Р„» случайного вектора из примера 1. < По формулам для начальных моментов первого порядка имеем з 3. Случайные векторы 95 г г 1 Кк~ = аг г — т тх = ~ ~ гуро — т„тт = —. б =о г=о Коэффициент корреляции определяется как нормированная ковариация, поэтому ~х~ .ь:ка о,о,,/Ъ,,/В, ~/5 ' Пример 4 (продолжение). Описать условный закон распределения оаучайной величины Х из примера 1 при условии 1' = 2 и вычислить условное математическое ожидание М [Х/У = 2[. О Условный закон распределения случайной компоненты Х при условии, что компонента У приняла значение, равное 2, находим, используя формулу (2): Р (Х = г/У = 2) — ' — — — 47;г, Р(Х=г, У=2) ра Р(У=2) рг г = О, 1, 2.
Результат оформим в виде таблицы При этом условное математическое ожидание М [Х/У = 2] = 2/3. ~> В задачах 18.378 — 18.403 рассматриваются случайные векторы дискретного типа. 18.378. Закон распределения случайного вектора (Х, У) дискретного типа определяется следующей таблицей: а) Найти безусловные законы распределения отдельных ком- понент Х и У. б) Установить, зависимы или нет компоненты Х и У7 в) Вычислить вероятности Р (Х = 2, У > О) и Р (Х > У). )1ля вычисления ковариации используем аналогичную формулу через на- чальный момент аг 1. Гл.
18. Теория вероятностей 18.379 (продолжение). Построить функцию распределения Рх „(х, у), оформив результат в виде таблицы, и найти т„и т„ 18.380 (продолжение). Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора из задачи 18.378. 18.381 (продолжение). Для случайного вектора из задачи 18.378 описать условный закон распределения случайной величины У при условии Х = 1 и найти условное математическое ожидание М [У/Х = 1]. 18.382.
В условиях примера 1 вычислить вероятности рд к рщ, не используя условие нормировки. Чему равна вероятность Р(Х+ У > 1)? 18.383. Один раз подбрасываегся игральная кость. Случайные величины: Х вЂ” индикатор четного числа выпавших очков (Х = 1, если выпало четное число очков, и Х = 0 в противном случае), У вЂ” индикатор числа очков, кратного трем (У = 1, если выпало число очков, кратное трем, и У = 0 в противном случае). Описать закон распределения случайного вектора (Х, У) и безусловные законы распределения компонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
