341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Случайная величина Х распределена по закону Лапласа с параметрами т = О, а > О. Построить функцию распрелеленин и вычислить вероятности рь = Р (~Х~ < йа) для к = 1, 2, 3. 18.304* (продолжение). Для случайной величины из предыдушей задачи вычислить характеристики а» и е». 18.305. Случайная величина Х подчиняется закону распределения Парето с параметрами а > 0 и хо > О, если она С. В. Н.
Т. и ее функция распределения вероятностей имеет вид О., если х ( хо »'»(х) = х а 1 — ( — ), если х > хо. Выяснить, при каких значениях параметра а для данного распределения существуют т» и Р» и вычислить их. 18.306 1продолжение). Вычислить для распределении Парето характеристики с1» и Й», а также квантиль 1р порядка р = 0,75. 18.307. В некоторых капиталистических странах действует закон о налогооблохьении, распространяемый на тех частных предпринимателей, годовой доход которых превосходит некоторый установленный законом уровень хо. Считая, что головой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, являетсн случайной величиной Х, распределенной по закону Парето с параметрами а = 4, хо = 1000, найти вероятности следующих событий: А = 1)ь» ~( Х < тл.), В = ~~Х вЂ” т»~ < о»).
Критической точкой какого порядка для данного распределения является математическое ожидание т»? Случайная величина Х имеет гамма-распределение с параметрами а > 0 и 5 > 0 (для краткости говорят: Х подчиняется закону Г 1а, 5)), если оиа непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вил; я 0 при х <О, ь — х 1е а' при х>0, Г (а) Гл. 18.
Теория вероятностей 70 где Г(а) = 1' е ~д1 о (5) — еамма-фрнки я Эйлера. Рассмотренное ранее показательное распределение с параметром Л является частным случаем гамма-распределения с параметрами а = 1, Ь = Л > О. Другой частный случай гамма-распределения с параметрами а = = и/2 (и — натуральное число), Ь = 1/2 называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы (пишут Хэ(я)). Распределение ,"~э(п) играет большую роль в математической статистике (см.
гл. 19, З 6). Если Х подчиняется закону Кэ(п), то ее плотность распределения вероятностей записывается в виде О, если х<О, 2п/2 1' ( ) 2 Случайная величина Х непрерывного типа подчиняется закону распределения Вейбулла с параметрами и й И, а й К, Ь > О, если ее плотность распределения вероятностей записывается в виде О, если х<а, — ехр —, если х > а. Распределение Вейбулла в ряде случаев характеризует срок службы ра- диоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксима- пии различных несимметричных распределений в математической ста- тистике. 18.310*. Случайная величина Х подчиняется распределению Вейбулла с параметрами п, а, Ь > О.
Вычислить математическое ожидание и моду распределения. 18.308*. Случайная величина Х распределена по закону Г (а, Ь). Найти тх, Рх, ах, ех. 18.309*. Случайная величина Х распределена по закону Хт(4). Вычислить тх, Рх и )ьх. Критической точкой какого порядка является значение тх? з 2.
Случайные величины 71 Случайнан величина Х непрерывного типа имеет бета-распределение с параметрами а ) 0 и б < О, если ес плотность распределения вероятностей записывается в виде Г(.+б) . — „ ,. О 1»(х) = Г(а) Г(6) 0 в остальных случаях. Частным случаем бета-распределения при а = б = 1 является равномер- ное распределение на отрезке [О, 1]. 18.311*. Случайная величина Х подчиняется бета-распределению с параметрами а > О и 6 > О. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 2. Распределения, связанные с повторными независимыми испытавиями. Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.
Последовательные испытания называютсн независимыми, если вероятность осуществленин любого исхода в и-м по счету испытании не зависит от реализадии исходов предыдущих испытаний. Простейшим классом повторных независимых испытаний является последова«пелькость иезависимььх испььтаний с двумл исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными веролтнос»плми «успеха» (р) и «неспеха» (1 — р = ь1) в каждом испытании (схема ионы«папий Бернулли). аглядным примером таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей ть белых и тз черных шаров. Если Х вЂ” число появлений белых шаров в выборке из п (~ ть + тз шаров, то Р(Х=Ц=Рчв(р)=С«р" (1 — р)" ~, l«=0,1,...,п, (7) ть где р = — вероятность понвления белого шара при одном изть+тз влечении.
Числа Р„ь.(р) интерпретируются как вероятности получить ровно 1« успехов в и независимых испытаниях с двумя исходами. Формула (7) называется формулой Бернулли, а соответствующее распределение случайной величины Х вЂ” бииомиальным распределением (или распределением Бернулли). Для краткости говорит, что Х распределено по закону В(п Р). Основные характеристики биномиального распределения: г о — р 1 — брь1 т» =пр, о„=прьу, а» =, е» = ,/пру прь1 Гл. 18. Теория ве оятностей 72 Пример 3.
Вероятности рождения мальчика и девочки в первом приближении можно считать равными О,б. Какова вероятность того, что среди 2п наудачу отобранных новорожденных будет хотя бы один мальчик (событие А~); число мальчиков и девочек одинакова (событие Аз); мальчиков будет больше, чем девочек (событие Аз)7 Получить числовые значения искомых вероятностей для 2п = 10; 2п = 100. а Пусть Х вЂ” число мальчиков среди 2п новорожденных. Случайная величина Х подчиняется распределению В (2я, 1/2), т.е. согласно формуле (7) /1 зи Р (Х = й) = Ст~„( -), /с = О, 1, ..., 2я.
Вероятность события А~ проше всего найти, перейдя к противополож- ному событию: 1х 2а Р(А~) = 1 — Р(А~) = 1 — Р(Х = О) = 1 — ~-) ь 2) Вероятность события Аз записывается непосредственно: 2я Р (А,) = Р (Х = и) = С,"„~-) Для подсчета вероятности события Аз заметим, что распределение Бернулли В (2я, 1/2) симметрично относительно значения х = я. Действительно: для всех )с = 1, 2,..., п — 1.
Кроме того, нетрудно проверить, что это значение является наиболее вероятным, т.е. Н = и (мода распределения). В силу симметрии распределения выполняется равенство Р(Х > я) = Р(Х < п) = — (1 — Р(Х = и)). 1 2 Таким образом, Р(Аз) = — 1 — С" ( -) . Найдем числовые зна- 2 ~ ~" ~2) ) чения полученных вероятностей. При 2я = 10 результат получается 3 2. Случайные величины непосредственно; ° «о Р(А«) = 1 ~2) ж 0,9990, , «о Р (Аг) = С«о ' ~ -) = 0,2461, Р (4з) = — (1 — Р (Аг)) и 0,3770. 1 «оо при 2я = 100 непосредственное вычисление величин ~ ~ и С»о Ы становится затруднительным. ~ «оо Для вычисления ~ -) применяем логарифмнроваине по основа- '«,2) ,, «оо 1 нию 10: ~-) = 10*, откуда х = 100)д — ж -30.
Таким образам, ~,2) 2 Р(1) 1 10 зо »о 100! Для вычисления С»о = — применяем формулу Стирлинга для оо 50! 50 я! при больших значениях и: ьй ж /2юп и"е Тогда , «оо Р (Аг) = С~«оо ~ -) — 0,0798. !«2) 5 ~/2з. Далее находим Р (Аз) = (1 — Р (Аг)) 0,4601 о. 1 2 18.312. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна р = 1/4. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятности событий: А = (ровно одно попадание), В = (ровно два попадания). 13.313 (продолжение).
В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (хотя бы одно попадание), Р = 1не менее трех попаданий). 13.314. Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно, Вероятность для любой лампочки перегореть при повышении напряжения в сети равна 0,1.
Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети. Гл.18. Тео ия вероятностей 18.315. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность следующих событий: А = (сумма очков, равная 7, выпадет дважды), В = (сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере 1 раз). 18.318 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = (каждый раз выпадет сумма очков, большая 7), Р = (ни разу не выпадет сумма очков, равная 12).
18.317. Проводится одно испытание с вероятностью успеха, равной р. Пусть Х вЂ” случайное число успехов в данном испытании (индикаторная случайная величина согласно определению из задачи 18.261). Описать закон распределения Х, вычислить гпх и Рх.
18.318. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 40-го размера, равна 0,4. В обувной отдел вошли трое покупателей. Пусть Х вЂ” число тех покупателей, которым потребовалась обувь 40-го размера. Вычислить Р (Х > 2). 18.319 (продолжение). Найти функцию распределения случайной величины Х из предыдущей задачи. 18.320. В ячейку памяти ЭВМ записывается 8-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с равной вероятностью. Случайная величина Х вЂ” число единиц в записи двоичного числа.
Найти вероятности событий: А = (Х = 4), В=(Х>4). 18.321. Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Случайные величины: Х вЂ” число семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек, У вЂ” число семей, имеющих двух мальчиков и двух девочек. Считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти М [Х] и М [1'). 18.322.
Два равносильных шахматиста договорились сыграть матч из 2п результативных партий. Ничьи не учитываются и считается, что каждый из участников может выиграть очередную партию с вероятностью О,б. Выигравшим матч считается тот, кто победит в большем числе партий. В каком матче больше шансов выиграть любому из участников: в д~атче из 8 результативных партий или из 12? 18.323. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми. 18.324. Производится обстрел учебной цели из орудия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
