341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Р(А/Нь) = Р (вторая вытянутая карта той же масти, причем ее 14 — )с достоинство оцениваетсн не ниже, чем в Й + 1 очко) = 51 в силу формулы классической вероятности. Безусловные вероятности гипотез 1 Р(Нь) = — в силу равновероятности событий Нь — — (вытянуть карту 13 произвольной масти, оцениваемую в я очков). Применяя формулу полной вероятности (14), получим Р (А) = ~ ~Р (Нь) Р (А/Нь) = — ~~ 1 14 — /с 2 э=э э=э Еще более простой путь решения получается, если ввести следующее разбиение множества й в данном эксперименте: (Нь) (й = 1, 2), где Нг —— (обе вынутые карты одной масти), Нэ = (две карты разной масти).
Очевидно, что Р (А/Нэ) = О, поэтому вторая гипотеза исключается 12 4 вз формулы полной вероятности и Р (Нэ) = — = — (первая карта мо- 51 17 жет быть произвольной масти, вторая должна быть той же масти, что н первая). Пусть теперь выполнено событие Нэ, т.е. обе карты одной масти. Тогда та из них, которую извлекали второй по счету, должна быть старше первой. Но в силу равиовероятности исходов ьь = (вторан карта старше первой) и ыэ = (первая карта старше второй) в этом вспомогательном эксперименте получаем Р (А/Н~) = 0,5, поэтому 4 1 2 Р (А) = Р (Н~) Р (А/Н~) = — — = — .
1> 17 2 17 18.237. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной сдачи вкзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен? 18.238. Из множества чисел Е = (1, 2, ..., и) наудачу последовательно и без возвращения извлекают два числа.
Какова вероятность того, что первое число больше второго не менее, чем на цэ (О < т < я — 1)? 18.239. На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, белого и черного. Какова вероятность того, что слоны побьют друг друга? Гл. 18. Теория вероятностей 52 Р (Н«) Р (А(Н«) Р (А) (15) где Р(А) = ~ Р(Н,)Р(А(Н«) — полная вероятность осуществления «=1 события А. Формула Байеса позволяет «переоценить» вероятность каждой из гипотез после постуцления новой «информации«относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий. Пример 18.
В условиях эксперимента, описанного в примере 16, случайно выбранный из партии транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен? а В обозначениях примера 16 требуется вычислить Р (Нэ/А) (апостериорную условную вероятность гипотезы Нэ). По формуле Байеса Р(Нг) Р(А(Нэ) О 9'О 03 Р (А) 0,122 Таким образом, апостериорная условная вероятность того, что транзистор на самом деле исправный, если известно, что он был признан дефектным, существенно меньше априорной вероятности гипотезы Нэ, что явилось следствием поступившей информации.
С 18.242. В урне лежит шар неизвестного цвета — с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оиазался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар? 18.239 (1). Из полного набора домино, содержащего числа О, 1, 2, ..., я наудачу отбирают 2 кости. Какова вероятность, что нх можно приставить друг к другу? 18.240*~. В урне находится 7 белых и 3 черных шара.
Три игрока по очереди извлекают по одному шару, отмечают цвет и возвращают шар обратно. Выигрывает тот, кто первым достанет черный шар. Найти вероятность выигрыша для каждого из игроков, если игра может продолжаться неограниченно. 18.241. Студент Иванов знает только 10 из 25 экзаменационных билетов.
В каком случае шансы Иванова получить известный ему билет выше: когда он подходит тянуть билет первым или вторым по счету? 10. Формула Байеса. Пусть (Нм Нэ, ..., Н„) — разбиение множества й лля данного эксперимента, интерпретируемое как совокупность гипотез по отношению к интересующему нас событию А. Пусть эксперимент проведен и стало известно, что событие А осуществилось. Какова послеопьатнал (аяос«периорнал) вероятность осуществления гипотезы Н«при условии, что событие А имело место? Ответ дается формулой Навеса З 1. Случайные события 53 18.243.
На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть поле9ный сигнал. 18.244. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов.
Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испытания прибора в течение времени Т зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятности следующих событий: А1 — — (отказал только первый узел), Аэ = (отказали оба узла). 18.245. В условиях эксперимента, описанного в примере 12, найти условную вероятность Р (А/В), считая известной условную вероятность Р (В/А) и применяя формулу Байеса. 18.246. В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду и по весу игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех шести цифр при случайном подбрасывании; другая неправильная, с неравномерным распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной игральной кости шестерка появляется с вероятностью 1/3, единица — с вероятностью 1/9, остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью.
Наудачу извлеченная из коробки игральная кость была подброшена, и в результате выпало б очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость. 18.247. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны ры рэ и рз. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины? 18.248.
Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении п1, пэ . яз, причем вероятности брака длЯ этих заводов соответственно Равны Ры Рч и Рз. ПРибоР, пРиобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)? 18.249. Число бракованных микросхем на 1000 априори считается равновозможным от 0 до 3. Наудачу опробованы 100 микросхем, оказавшихся исправными.
Какова вероятность, что все схемы исправны? Гл. 18. Теория вероятностей 54 18.250. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15 и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез: Н~ = (студент подготовлен отлично или хорошо), Нэ — — (студент подготовлен удовлетворительно), Нз = (студент подготовлен плохо).
Особое значение приобретает формула Байеса для таких экспериментов, в которых гипотезы Нь непосредственно не наблюдаемы, хотя априорные вероятности Р (Нь) и соответствующие условные вероятности Р(А/Нь), lс = 1, ..., я, известны из дополнительных опытов. Такая ситуация может иметь место, например, если отсутствует прибор, позволяющий регистрировать факт осуществления данных гипотез, или же если применение прибора для регистрации осуществления гипотез приводит к разрушению предмета наблюдения (разрушающий контроль). Для подобных экспериментов переоценка вероятностей гипотез после опыта может быть проведена на основании наблюдаемого события А, тесно связанного с гипотезами.
Такой подход часто используется в задачах медицинской и технической диагностики. П р н м е р 19. Изучается три вида дефектов запоминающих устройств, выполненных на интегральных схемах: дефекты схем обрамления (гипотеза Ны Р (Н~) = 0,1), дефекты, вызванные паразитными связями между ячейками (гипотеза Нж Р (Нэ) = 0,6), и дефекты адресных шин (гипотеза Нз, Р(Нз) = 0,3). Диагностика запоминающих устройств производится с помощью набора тестов Тм Тж ..., Т„, каждый из которых проверяет определенное состояние ячейки памяти.
Наблюдаемый результат — состояние выбранной ячейки по отношению к каждому тесту. Пусть диагностика произведена, и наблюдался некоторый результат (произошло событие А). Йзвестно до опыта, что Р(А/Н~) = 0,4, Р(А/Нэ) = 0,2, Р(А/Нэ) = 0,3. Установить, какая из гипотез имеет наибольшую апостериорную вероятность (т.е. какой из дефектов наиболее вероятен). о Вычислим сначала полную вероятность осуществления события А. Используя данные задачи и применяя формулу (14), получим Р(А) = ~ ~Р(Нь) Р(А/Нь) = 0,25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
