341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Для ответа на вопрос, какой из дефектов имеет наибольшую апостериорную вероятность, заметим, что в числителе формулы Байеса стоит слагаемое полной вероятности, относящееся к данной переоцениваемой З1. Случа ные события 55 Гдпотезе. Сравнивая эти слагаемые для трех заданных гипотез, получаем, что наибольшую вероятность имеет гипотеза Нэ. Р(Нэ/А) 0,12 — = 0,48. с 0,25 18,251. Астрономический объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н, или Нэ. дприорные вероятности этих состояний Р (Н~) = 0,6, Р(Нз) = ээ 0,4.

Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Яврвая обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев, а в 10% ошибается; вторая дает правильные сведения в 80% случаев, а в 20% ошибается. Первая обсерватория сообщила, что объект находится в состоянии Н~, а вторая — что в состоянии Нэ. Найти апостериориую вероятность состояния Нь 18.252. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) Н~, Нз, Нз или Нч.

По данным статистики Р (Н~) = 0,2, Р (Нз) = 0,4, Р (Нэ) = 0,3, Р (Н4) = 0,1. В ходе расследования обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Р (А(Н~) = 0,9, Р (А~Нз) = 0,4, Р (А(Нэ) = 0,2, Р (А/Н4) = 0,3.

Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях? 18.253. По каналу связи передается цифровой текст, содержащий только три цифры 1, 2, 3, которые могут появляться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью р и с ве- 1 роятностью — (1 — р) принимается за какую-либо другую цифру. 2 Предполагается, что цифры искажаются независимо. Найти вероятность того, что было передано 111, если принято 123. 18.254.

Методам тестирования отыскивается неисправность в арифметическом устройстве вычислительной машины. Можно считать, что есть 4 шанса из 5, что неисправность сосредоточена в олпом из 8 микропроцессоров, с равной вероятностью — в любом из Иих. Были испытаны 7 из этих микропроцессоров, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность обнаружить неисправпость в последнем из восьми микропроцессоров? 18.255. Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90% (т.е.

10% носителей туберкулеза остаются неопознанными). ВеРоятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1%. Просвечиванию была подвергнута Гл.18. Теория вероятностей большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,1%. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является носителем туберкулеза? 18.256. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем для первой группы из шести орудий вероятности того, что при одном выстреле произойдет недолет, попадание или перелет, равны соответственно 0,1; 0,7; 0,2.

Для каждого из остальных четырех орудий вероятности тех же самых событий равны соответственно 0,2; 0,6 н 0,2. Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один недолет и один перелет.

Какова вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит первой группе? 8 2. Случайные величины 1. Законы распределения и числовые характеристики случайньпс величин. Случайной величиной Х называется действительная функция Х = Х (ы), определенная на множестве элементарных исходов й и такая, что при любом действительном х множество тех ы, для которых Х (и) < х, принадлежит алгебре событий для данного эксперимента. Случайные величины принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами.

Функция Е» (х) действительной переменной х, -оо < х < со, определяемая формулой Р» (х) = Р (Х < х), (1) называется функцией раснрсделенил случайной величины Х. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. О < Е» (х) < 1, — оо < х < оо; 2. Р» ( — оо) = О, Е» (+со) = 1; 3. Р» (х) — неубывающая функция на всей оси; 4. Е~ (х) непрерывная слева, т.е. 1пп г'» (х) = »'» (хо). Вероятность попадания случайной величины Х на произвольный интервал действительной оси (хс, хг) определяется формулой Р (х~ »» Х < хэ) — Е» (хг)»'» (х1) (2) Различают случайные величины дискретного типа (сокращенно С.В.Д.Т.) и случайные величины непрерывного типа (сокращенно С.

В. Н. Т.) . Случайная величина Х называется случайной ееличиной дискрещного саина, если множество ее возможных значений (хс, хг, ... ) конечно или счетно. 3 2. Случайные величины 57 Пусть Р (Х = хб) = рб ) О, 2 рь — — 1, где суммирование распроохраняется на все возможные значения Й. Перечень всех возможных значений С.В.Д.Т. и соответствующих ахим значениям вероятностей называется законом распределения случайной величины дискретноао типа. Зная закон распределения С.В.Д.Т., можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (1), функцию накопленных вероятностей: г» (х) = ~ ~Р (Х = х;), х,чх где суммирование распространяется на все значения индекса <, для ко- торых х, < х. Из атой формулы, в частности, следует, что К» (хб+ 0) — <с» (хь) = Р(Х =хь), хь ч (хы хз, ...

), т.е. функция распределения С.В.Д.Т. испытывает скачки в точках х, ддя которых существует положительная вероятность события (Х = х). Случайная величина Х называется с <учайной величиной непрерыв«ого типа (сокращенно С.В.Н.Т.), если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция у»(х), называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех х ч гс Е»(х) = Р(Х < х) = У„(1)й. Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами; 1. у»(х) ) О, — оо < х < со; -~-00 2. у»(х) дх =! (условие нормировки); <1 3. — Р„(х) = у„(х) в точках непрерывности функции У„(х).

дх Функция распределения С. В. Н. Т. Р» (х) является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси, причем Р(Х = х) = 1ш< (Е»(х + бх) — Г„(х)) = О при всех х е В. Это значит, что б»-<О вероятность <попасть в точку» для С.

В. Н. Т. равна нулю. Если Х вЂ” С. В. Н. Т., то вероятность ее попадания на интервал может быть вычислена как через функцию распределения по формуле (2), так и через плотность распределения вероятностей: (3) Р(х< < Х < хз) =,7»(х)дх. Гл. 18. Теория вероятностей 58 Случайные величины, помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, различные моменты распределения порядка выше первого и др.). Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины Х формулой хары если Х вЂ” С. В. Д.

Т., Х ху»(х)дх, если Х вЂ” С.В.Н.Т. т =М(Х] = (4) Математическое ожидание существует, в частности, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы (4) сходится абсолютно. Модой случайной величины Х непрерывного типа называется действительное число д», определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей у»(х). Мода случайной величины дискретного типа определяется как такое возможное значение х , для которого Р (Х = х ) = гаахР (Х = хь).

ь Таким образом, мода С. В, Д. Т. есть ее наиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значении (мультимодальное распределение). Медианой случайной величины Х непрерывного типа называется действительное число Ь», удовлетворяющее условию Р (Х ( й») = Р (Х > й»), т.е, корень уравнения р'„(х) = —.

Характеристики

Список файлов книги