341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 15
Текст из файла (страница 15)
18.274. Выразить начальный момент и-го порядка через центральные моменты и-го и меньших порядков и математическое ожидание, 18.275*. Случайная величина Х принимает только целые неотрицательные значения. Доказать, что т =~Р(Х>Ц. 18.276*. Случайная величина Х непрерывного типа неотрицательна, имеет конечное математическое ожидание и ее закон распределения задан функцией распределения гх(х). Показать, что математическое ожидание такой случайной величины может быть +00 ааписано в виде тх = (1 — Р„(х)] йх.
о 18.277. Пусть Х вЂ” С.В.Н.Т. с унимодальным законом распределения. Обозначим т~ ~= М ((Х вЂ” Их)~] (центральный момент втоРого поРЯдка относительно моды), т~э = М((Х вЂ” йх)э] (центральный момент второго порядка относительно медианы). Пусть, кроме того, д» ~ 5х.
Показать, что для равенства этих моментов ох + нх необходимо и достаточно, чтобы тх = 2 В задачах 18.278 — 18.311 изучаются некоторые классические распределения дискретного и непрерывного типов. 18.278. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х вЂ” число белых шаров в выборке.
Описать закон распределения. Полученное распределение относится к семейству гиоергеометрических. 18.279 (продолжение). Для случайной величины из предыдущей задачи найти щ„и Вх. 18.280. Для сборки прибора требуется 4 однотипных детали. Всего имеется 10 деталей, из которых только 6 доброкачественные. Наудачу отбирают 5 деталей (одну деталь «про запасе). Найти вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора. Гл.18.
Теория вероятностей 66 18.281. Производится тираж спортлото «6 из 45>. Некто купил одну карточку и заполнил ее. Какова вероятность того, что он правильно угадал Ь цифр (Ь = 6; 5)? Случайная величина Х непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [а, Ь] (при этом для краткости говорят: Х подчиняется закону >с (а, Ь)), если ее плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке: О, если хф [а, Ь], Ух (х) — 1 — если х е [а, Ь]. Ь вЂ” а Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке [а, Ь] (Х вЂ” координата поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (Х вЂ” ошибка округления).
18.282. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х вЂ” время ожидания автобуса на остановке— распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания. 18.283 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величины Х и вычислить вероятность того, что время ожидания превысит 3 мин. 18.284. Случайная величина Х распределена по закону >Ч (а, Ь). Найти выражения для т„и о„через параметры распределения а и Ь. 18.285.
Азимутальный лимб имеет цену делений один градус. Какова вероятность при считывании азимута угла сделать ошибку в пределах ж10 мин, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов? 18.286. Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1г. При измерении массы химических Л компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднеквадратичного отклонения возможных ошибок определения Рис.
7 массы; б) будет заключена между зна- чениями ох и 2ох? 18.287. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале ( — а, а) (закон Симпсона), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид, изображенный на рис. 7. Э 2. Случайные величины 67 Написать выражение для 7»(х), вычислить функцию распределения вероятностей.
18.288 (продолжение). Для случайной величины, распредеденной по закону Симпсона, найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану и коэффициент эксцесса. Случайная величина Х называется распределенной по показательному (эксноненциальному) закону с параметром Л > 0 (при этом для краткости говорят: Х подчиняется закону Ех (Л)), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей задается формулой О, если х(0, .у.
(*) = Ле»* если х > О. Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, Х вЂ” время ожидания при техническом обслуживании или Х вЂ” длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и в теории надежности (например, Х вЂ” срок службы радиоэлектронной аппаратуры).
18.289. Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону с параметром Л. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. 18.290 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение времени 1 = тя». Квантилью какого порядка для данного распределения является значение ти»7 18.291. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным 1о.
Найти вероятности следующих событий: (ь з А = ~ — ( Х ( — ~о В = ~Х > 21о). ~2 2 18.292*. Пусть Х вЂ” время безотказной работы радиоэлектронной аппаратуры. Примем, что вероятность выхода из строя аппаратуры в течение времени Ьх с точностью до величины о (Ьх) Равна ЛЬх (Л > 0) независимо от времени х, в течение которого аппаратура уже проработала до рассматриваемого интервала времени Ьх. Вычислить функцию распределения случайной величины Х.
18.293. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром Л. Вывести рекуррентную формулу, выражакяцую центральный момент (1+ 1)-го порядка через центральный момент Й-го порядка и математическое ожидание, и с ее помощью вычислить коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса показательного распределения. 68 Гл. 18. Теория вероятностей 18.294. Случайная величина Х распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей Рх (х) = б+ с агсь8 — при — оо < х < +оо.
а Выбрать коэффициенты а, б и с таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа. 18.295 (продолжение). Вычислить плотность вероятности рас- пределения Коши. Существуют ли математическое ожидание и моменты более высокого порядка у данного распределения? 18.298 (продолжение). Найти моду, медиану и квантиль ~р по- рядка р = 0,75 распределения Коши. 18.297.
Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неиз- менных условиях случайная величина  — расстояние от точки попадания до центра мишени — подчиняется зикоку распределе- ния Рэлея с плотностью распределения вероятностей — е *~( ) при х>0, Л (х) = 0 при х <О, где о > 0 — параметр, характеризующий распределение. Постро- ить зскиз графика плотности вероятности уя(х), проверить усло- вие нормировки и вычислить характеристики тоя и Ря.
18.298 (продолжение). Для случайной величины В, распре- деленной по закону Рзлея, вычислить Ыя, бя и ая и выяснить взаимное расположение характеристик тя, Ия и Йя. 18.299. Скорость И молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной температуре, является случайной величиной, подчиняюшейся закону распределения Максвелла с плотностью распределения вероятностей 0 при х<0, Л(х) = )2 — Д~? х е з? пи х>0 где параметр распределения,З > 0 определяется температурой и массой молекул. Выразить среднее значение и наиболее вероят- ное значение скорости молекул, а также дисперсию распределения через физический параметр,З. 18.300. Случайная величина Х подчиняется законй арксинрса с плотностью распределения вероятностей О, если (х! > а, Ух(х) = если (х! < а.
Д2 х2 Найти функцию распределения и вычислить т„, зз„. 3 2. Случайные величины 1 8.301 1продолжение). Для случайной величины, распределенной по закону арксинуса, вычислить с)», Ь» н йо 75. 18.302. Случайная величина Х непрерывного типа распределена по закону Лапласа с параметрами т Е ьь' и сг > О, если ес пдотность распределения вероятностей задается формулой 1 ( (х — т~ь/21 У»1х) = — ехр — оо (х (+со. ьть/2 ~ и Выразить характеристики т» и а» через параметры распределения. 18.303.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
