341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 27
Текст из файла (страница 27)
называется сходя1цейся по вероятности при п -ь оо н случайной величине Х (краткое обозначение: Х„хь Х при п -+ оо), если че > О 1пп Р([Մ— Х[ > е) = О. Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если случайные величины в последовательности Хы Хз,..., Х„,... попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию 1пп — У 0 [Хь] = О, 1 то 'ве > О !пп Р— ~ Хь — — ~~~ М[Хь] > е =О. (1" и-~ОО и п я=1 ь=! (2) 1 !пп — 0 ~~ Хь = О, о — >оь пз ь=1 (3) то имеет место утверждение (2). мругими словами: при выполнении сформулированных условий последовательность средних арифметических и случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
В частности, если дисперсии попарно независимых случайных величин Хь, !с = 1, 2,... равномерно ограничены (т.е. Р [Хь] ( оз для л = 1, 2,... ), то выполняется (1), а следовательно, и (2). Теорема Маркова (закон больших чисел в обшей формулировке). Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности Хм Хз ..., Хп, ...
удовлетворяют условию 'з 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 133 то согласно второму неравенству Чебышева в центрированной форме имеем Хь + Хь+1 гоь + гль~ы ) 0 [Хь + Хь+~! Р <— > о» +оьы < г 2 ) 4( +оьы)2 ( О [Хь! + О [Хь~.1! + 2рь ь„.1аьоь+, (оь + оь „1)~ 1 — с 4 (оь + оьь1 )' 4 (оь + ох+1)2 4 18.542. Случайная величина Х имеет характеристики т„= 1, гг» = 0,2. Оценить снизу вероятности событий А = (0,5 < Х < <1,5), В= (0,75 <Х < 1,35), С=(Х < 2). 18.543.
Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х вЂ” проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события А = = (Х > 80км/ч), если путем многолетних измерений установлено, что М[[Х[! = 16км/ч. 18.544 (продолжение). В условиях предыдущей задачи оценить вероятность события А, если в результате проведения дополнительных измерений установлено, что о» = 4км/ч. 18.545 (продолжение).
Оценить вероятность события А, если к данным задач 18.543 и 18.544 добавить условие, что закон распределения случайной величины Х симметричен относительно математического ожидания т». 18.546. Число Х солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий А = (Х > 150), В = (Х > 200). 18.547. С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности Рь = Р([Х вЂ” гп»! < Йо») для й = 1, 2, 3, если Х подчиняется закону М (т», о»). Сравнить с точными значениями этих вероятностей, полученными в задаче 18.362. 18.548. Пусть р (х) — монотонно возрастающая и положительная функция, причем существует М [~р(Х)], где Х вЂ” некоторая неотрицательная случайная величина.
Используя первое неравенство Чебышева, показать, что для всех е > 0 Р(Х>е) < м [р(х)! р (е) 18.549*. Показать, что если для некоторой случайной величины Х существует М ~ед~~[, где,9 > О, то Р (Х > е) < е ~'М [е~~[. Гл. 18. Теория вероятностей 134 В задачах 18.550 — 18.552 заданы законы распределения попарно независимых случайных величин, образующих случайную последовательность (Хп), и = 1, 2, ... Выяснить, применим ли к этим последовательностям закон больших чисел. 18.550.
18.551. 18.552. 18.552. 18,554. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события А = (по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов), если информация о дисперсии отсутствует. 18.555 (продолжение). Оценить вероятность события А из предыдушей задачи, если дисперсия равна 4. 2. Предельные теоремы теории вероятностей.
Теорема Бернулли. Относительная частота успехов в и неэависимых испььтанилх по схеме Берну ли сходится по вероятности при и -ь оо к вероятности успеха в одном испытании. Пентральвая предельнан теорема (в упрощенной формулировке Ляпунова). Если случайные величины в последовательности (Х„) (и = 1,2,...) независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание т и дисперсию ояг, то для любого действительного х Е„„(х) — + ср(х) = / ехр~- — ) й, и-+оо ~l 2к З 5.
Закон больших чисел и предельные теоремы 136 1 — Хь — тх ь=) где У„ = о — стандартизованное среднее арифмегличе- СРХ 8/П скос и случабнь«х вели «ин в последовательности. Следствиями центральной предельной теоремы являются следующие две предельные теоремы, относящиеся к схеме Бернулли: Пусть Մ— число успехов в и независимых испытанилх по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях пр)у Р(т) ( Х„< тз) = Ф вЂ” Ф + О (интегральная теорема Муавра — Лапласа) и, кроме того, Р(Х„=т) = ехр — — +О гп — ИР где х = (локальнал теорема Муавра-Лапласа). /пру Пример 2. В одном из зкспериментов Пирсона по моделированию на вычислительной машине опытов с подбрасыванием правильной монеты из общего числа 24000 «подбрасываний» герб выпал 12012 раз.
а) Какова априорная вероятность получить данный результат? б) Сколь вероятно при повторении зксперимента получить такое же или еще большее отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте? а Пусть Մ— число выпадений герба при и подбрасываниях правильной монеты. По условию задачи и = 24000, р = )у = 1/2. Так как пр)у = 6000 » 1, то применимы обе теоремы Муавра-Лапласа. а) По локальной теореме Муавра — Лапласа Р (Х„= 12012) р — ( ) 8,088 10 1 ( 1/ 12 2 8060 ( 2 ) '6»ОО ) 1 б) Случайная величина — Х„имеет смысл относительной частоты и (1 [ ру успехов в и опытах, причем 1) ~ — Х„~ = †.
Так как в опыте Пирсона (и ~ и было получено отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте, равное 12012 1 24000 2 Гл. 18. Теория вероятностей 136 то согласно интегральной теореме Муавра — Лапласа 1 1 1 ((1 1 Р ~ — Хя — — > 0,0005) = 1 — Р ) — Մ— — < 0,0005 в 2 ' ) ( и 0,0005 2 — 2Ф рл — — 2 — 2Ф (0,1549) 0,8668.
~> 18.556. Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли. Вероятность осуществления события А в одном испытании р = 0,6. Считая применимыми предельные теоремы Муавра- Лапласа, вычислить вероятности следующих событий: В = (событие А произойдет в большинстве из 60 испытаний), С = (число успешных осуществлений события А в 60 испытаниях будет заключено между 30 и 42). 18.557 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события В = (событие А осуществится 36 раз в 60 испытаниях).
18.558. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий: А = (в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), В = (будет сделано ровно 7 ошибок). 18.559. Вероятность рождения мальчика р = 0,512. Считая применимыми локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа, вычислить вероятность события А = (среди 100 новорожденных будет 51 мальчик), В = (среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек).
18.560 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события С = (разница между количеством мальчиков и количеством девочек из 100 новорожденных не превысит 10). 18.561. Складывается 10з чисел, каждое из которых округлена с точностью до 10 з. Предполагая, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в интервале ( — 0,5 10 з., 0,5 10 з), найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,998 заключена суммарная ошибка. 18.562*.
Случайная величина Х вЂ” результат измерения некоторой физической величины, закон распределения которой неизвестен. Определить, какую максимально возможную относительную точность намерения можно гарантировать с вероятно- 'з' 5. Закон больших сисел и предельные теоремы 137 стью, не меньшей 0,95, при следующих данных: а) известно, что щ„= 0,1, пх = 0,02 и проводится одно измерение; б) проводится 5 измерений и в качестве результата Х берется среднее арифметическое измеренных значений. 18.563 (продолжение). Решить предыдущую задачу, если берется среднее арифметическое 100 измерений и считается допустимым воспользоваться предельным законом распределения суммы согласно центральной предельной теореме. 18.564. Отдел технического контроля проверяет качество наудачу отобранных 900 деталей.
Вероятность р того, что деталь стандартна, равна 0,9. Случайная величина Х вЂ” число стандартных деталей в партии. Найти наименьший интервал, симметричный относительно гпх, в котором с вероятностью, не меньшей 0,9544, будет заключено число стандартных деталей. 18.565.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
