341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Выразим сложное событие (Х (1+ «ьг) = и) в алгебре событий следующим образом: (Г«' (1+ Ь«) = и) = ~~(Л (1) = п — Ц(ЬУ«' (1) = Ц. а=о По условию 3) М (1) — процесс с независимыми приращениями. Полагая 1о —— О, 1« — — 8, «э — — 1+ «««(Ы ) 0), получаем по определению, о !3 б б «4 б «« б Рис.
15 что случайные величины М (С«) — Ф («о) = М (1) и Ф (1э) — Х (1«) = — ЬМ(1) независимы. Поэтому пары событий (Ф(1) = и — Ц и («ЛМ (1) = Ц независимы при ЧЛ = О, 1, ... Применяя формулы сложения и умножения вероятностей и используя условия 4), получим р,(1+ Ы) = Я р, ьЯР(ЬЯ(1) = Л) = р„(1) (1 — Л«Л1+ о(Ь1)) + «=о +Р„«(Ф) (ЛЬ«+ о(«ЛС)) + «Рв ь(«)Р (««««««г(«) = й). Учитывая, что 0 < ря ь(С) < 1, й = О, 1, ..., и, оценим последнюю сумму: о <'~ р„„(с)Р(ли(1) =Ц < п СО < ~~ Р(ЬИ(1) — Ц < ~~~ Р(ЬФ(1) — й) — Р(ЬХ(С) ) 2) — о(Ы) ь=-а ь=г в силу последнего из условий 4).
После элементарных преобразований окончательно получаем р„(с+ Ьс) — р„(1) = -ЛЬг(р„(с) -р„,(с)) + о(Ь1). З 6. Случайные функции (корреляционная теория) 163 Деля обе части на Ы и переходя к пределу при с1с — > О, получим диф- ференциальное уравнение для искомых вероятностей — = — Лри(Г) + Лри-с(1), и = 1, 2, ..., йр„(с) (2) с начальными условиями р„(0)=0, и=1,2,..., р,(О) = 1. Уравнение (2) решаем рекуррентно, считая, что на и-м шаге значение р„с(с) уже известно. При и = 0 решением задачи ро'(1) = -Лро(1), ро(0) = 1 является функция ро(с) = е "'. При и ф 0 согласно интегралу Дюамеля (см.
ч. 3, гл. 14, з 1, и. 1) р„(с) = Л е "1с '1ри с(т)с)т, о откуда по индукции получаем р(1)= е "', 1)0, и=01,. (Л~) -лс и! Параметр Л трактуется как среднее число единичных приращений в единицу времени.с> К пуассоновским процессам относятся процесс радиоактивного распада (сс' (1) — число атомов, распавшихся за время С Лс — среднее число атомов, распадающихся за время с), поток заявок на АТС (Ас (с) — число вызовов на АТС за время 1, Л вЂ” число вызовов в единицу времени), сбои радиоэлектронной аппаратуры (Ас (с) — число элементов аппаратуры, вышедших из строя за время й Л вЂ” среднее число отказов в единицу времени) и т.д.
18.606. Пусть Х (1) процесс с независимыми приращениями, удовлетворяющий условию Х (1) = 0 при 1 < О. Доказать, что ДнспеРсиЯ с".1х(1) Явлнетса неУбывающей фУнкцией 1. 18.607. Процесс М (1) представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,002 отказа в час. Найти вероятность того, что за 100 часов Наступит не менее 3 отказов.
Гл. 18. Теория вероятностей 154 ч Х («) = гп («) + Х~~~ «'«»зь(«) ь=» (3) где «зь(1) (Й = 1, 2, ...) — неслучайные действительные так называемые «координатна«е» функч»»и, ать (й = 1, 2, ...) — центрированные попарно иекоррелированные случайные величины с дисперсиями 1зь (й = 1, 2, ..., и). 18.608 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что за 200 часов работы системы поступит четное число отказов. 18.609.
АТС обслуживает 6000 абонентов, каждый из которых в среднем занимает линию связи в течение одной минуты в час. Какое минимальное число каналов т«надо иметь на АТС, чтобы вероятность того, что число поступивших в течение одной минуты вызовов превысит число каналов, была не более 0,003? 18.610. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса Пуассона М (1), определенного в примере 2. 18.611.
Х (г) — пуассоновский процесс с параметром Л. Описать условный закон распределения Р(Х(«г) = т/Х(11) = я), гп, и Е М; 1з >1ы 18.612*. Вычислить автоковариационную функцию процесса Пуассона Х (г) с параметром Л. 18.612 (1). Пусть Х (1) — пуассоновский процесс с параметром Л > О. Обозначим Я(т) = Р(Х(1+ т) — Х(1) > О), т > О. Показать, что Я(г + «1) = Я(() + Я(»?) — Я(() Я (»?).
18.613. Случайный процесс Х (1) есть величина интервала времени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса»»' (г) с параметром Л. Найти одномерную плотность случайного процесса Х (с). 18.614в. Число отказов радиоэлектронной аппаратуры представляет собой пуассоновский поток с интенсивностью 5 10 4 отказа в час. Найти вероятность безотказной работы аппаратуры в течение 200 часов, а также математическое ожидание и дисперсию времени безотказной работы аппаратуры. 18.615. Случайный процесс Х("1(1) есть величина интервала времени между и-м скачком пуассоновского процесса с параметром Л, зарегистрированным в момент времени 1 и (т«+ Й)-м скачком того же пропесса.
Найти одномерную плотность случайного процесса Х(~1(1), Какому закону распределения соответствует полученная плотность? Каноническим разложением действительной случайной функции Х (1) называется ее представление в виде з б. Случайные функции (корреляциояная теория) 155 Если случайная функция Х (С) представлена каноническим разложением (3), то ее автоковариационная функпия записывается в виде п Кх(См Сг) = ~~' Оьчгь(С1) <Рь(Сг).
ь=1 (4) Выражение (4) называется также каноническим разложением аотоковариационной функции. Если в представлении случайной функции Х (С) = ~ ~() Ф (С) в=1 (5) случайные величины Ссь коррелированы, то такое представление не является каноническим разложением, и поэтому представление (4) для автоковариационной функции будет несправедливо. Однако с помощью линейного преобразования можно привести выражение (5) к каноническому виду.
В основных чертах указанная задача аналогична приведению билинейной (или квадратичной) формы к каноническому виду, рассматриваемому в курсе линейной алгебры. Пример 3. Случайный процесс Х(С) задан выражением (5), где МЩ=ть~О, /с=1,2,...,п, Кгг ° ° ° Кто ~ СУг ° ° ° Кто К = г ''' г" — автоковариационная матрица, 11„ и И о Х (С) = ~~~ гпьфь(С) + ~ ~٠— гпь) фь(С) = гпх(С) + ~~ ()егерь(С). в=1 ь=! в=1 Заметим, что данное выражение может быть записано в виде скалярного произведения Х (С) = У Ф (С), (6) где С) и гр (С) — векторы-столбцы, а символ Т означает транспоннрование.
причем К;. = М [У;У,.] ф О для г эв у1 Очевидно, представление (5) не является каноническим разложением. Требуется с помощью линейного преобразования привести выражение (5) к каноническому виду. з Прежде всего центрируем случайные величины Уь с помощью тождественного преобразования: Гл. 18.
Теория вероятностей 156 В векторном обозначении автоковариационная матрица записывается следующим образом: К вЂ” М [(7(7т] Пусть Р" = АУ вЂ” новый вектор случайных величин. Выберем матрицу А таким образом, чтобы случайные компоненты 1гь вектора И были попарно некоррелированы. Имеем К, = М (Ъ'~" ~1= М (А(7(7~А~) = АМ ((70~) А~ = АК А~ =.О (7) где 17, — диагональная матрица дисперсий новых компонент: 17Щ 17 (~2) (При выводе (7) использовано свойство 1* (З4, п.1) математического ожидания.) Из равенств (7) заключаем, что матрица А преобразования «координате приводит автоковариационную матрицу Ке к диагональному виду.
Поскольку матрица Ко вещественная симметрическая (свойство 1 автоковариационной функции), то, как доказывается в курсе линейной алгебры, искомая матрица а11 а12 ° о!л аеч о22 ° ° озк оп1 оо2 ° ° опп строится следующим образом: к-я строка матрицы А представляет собой 1с-й ортонормированный собственный вектор матрицы Ке, соответствующий собственному значению Ль. Собственные значения Ль (/с = = 1, 2,..., и) матрицы Ке являются корнями уравнения г(ег(ʄ— Л1) = О, где 7 — единичная матрица, причем все Ль > О ((с = 1, 2, ..., и), поскольку матрица К„вещественная симметрическая. Если указанная матрица А уже построена, то З 6.
Случайные функции (корреляционная теория) 157 Х(1) = и'ф(1) = (А-'Аи)т,Р(г) = (А(У)'(А- ) ф(1) 1.т, (,) где 1' = А(У вЂ” преобразованный вектор, а ~г(1) = (А-')тф(С) = (Ат)т ге(1) = Аф(1) (3) Здесь учтено, что А ' = А в силу ортогональности матрицы А.
Заметим, что задача имеет не единственное решение. Результат зависит от способа формирования ортогональной матрицы А. Кроме того, можно положить О [1 ь] = 1 (я = 1, 2, ..., н), если выбрать новые координатные функции в виде ~р' (г) = т/Ль ~еь(1). О. Пример 4. Случайная функпия Х(1) задана выражением Х(1) =(У,с+ив в1, М[(У,[=1, Ке (-12 25 ) ' М [(Уг) = — 1, Привести данную случайную функцию к каноническому виду.
< Центрируем функцию: Х (г) = С вЂ” сов1+ ()11 + ()г совг = пгх (г) + + (() ~гР (1)), где () = (См ()г), гР (1) = (1, совг) . В данном примере добнее воспользоваться не ортогональным преобразованием, а методом агранжа (аналогичен методу Лагранжа приведения билинейных форм к каноническому виду). Для етого тождественно преобразуем выражение для ковариационной функции; Кх(81 Фг) а1118г+агагрггсов1г+агагФгсовг!+огсов11сов1г = = (агг1 + агр сов1г)(аг1г + агр сов1г) + агг (1 — р ) сов11 сов1г. Кгг 4 Заметим, что р = — = — —. Обозначим айаг 5 у, (1) = а11+ агр сов1, рг(1) = аг ~/7 в р' сов 1 (9) и положим О [1'1) = О [$г) = 1.
Матрица преобразования А, усматривае- мая из системы (9), имеет вид "=(О „Ггс ~)=(а З). причем порядок расположения собственных значений Аь соответствует дорядку записи собственных векторов ов в матрице А. Остается выбрать новый вектор координатных функций у (1) из условия неизменности скалярного произведения (6). Учитывая, что ортогональная матрица неособенная, имеем Гл.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
