341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тео ия вероятностей 158 Однако в отличие от случая, рассмотренного в примере З,матрица А не ортогональна. Потребуем, чтобы скалярное произведение Уф не изменялось прн линейном преобразовании. Тогда аналогично формулам (8) получим, что если у(1) = Аф (~), то )г = (А) 1У. Вычисляя обратную матрицу, находим таким образом, новый вектор случайных величин (10) Проверим некоррелированность 1'1 и гх. М [У1 Рх] = — (12М [У12] + 9М [У1 У2]) = О. 1 Таким образом, получаем каноническое разложение Х (2) = С вЂ” совс+ 1'~у~ (Г) + Ъх~рх(1), где 1 "1 и Гх определяются уравнениями (10), а координатные функции у1(1) и рх(г) — уравнениями (9).
~> 18.616*. Случайный процесс Х (1) задан следуюгцим выражегСг11 кием: Х(г) = У ф(1), где У = ~(~~~ — случайный вектор с 2 у-1х вектором математических ожиданий то = ~ 1) и ковариациУ2 11 онной матрицей Ко = ~1 2); вектор координатных функций йЮ ф = г . Найти каноническое разложение процесса Х(г) и записать автоковариационную функцию.
18.617*. Случайный процесс Х (1) задан представлением Х(1) = = 1+У1 сов 1+(Ь2 а1п1, где М [У1] = 1, М [У2] = 2, Ки = ~0 6 86). г25 О бх ) Найти канонические разложения процесса и автоковариационной функции. 18.618*. Случайный процесс задан выражением Х (г) = гях(г) + ~~' (уьАь(г) З 6.
Случайные функции (корреляционнаа теория) 159 К„= 4 8 — 4 Цайтн канонические разложения процесса Х (!) и его автоковариационной функции. 2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. Говорят, что случайнал функцил Х(г) сходитсл в среднеквадратичном нри Г -+ го к случайной величине Хо (краткое обозначение: Хо = !.йш. Х (1)), если 1-+м 1пп М ([Х (1) — Хо)~) = О. Случайная функция Х (1) называется непрерывной в среднеквадратич- ном в точке 1о, если 1. 1.
щ. Х (!) = Хо = Х (1о). 1-~ьо Для непрерывности в среднеквадратичном случайной функции Х (!) на интервале ! Е (а, 6) необходимо и достаточно, чтобы т„(1) было непрерывно при ! е (а, 6), а автоковариационная функция Кх(см гх) была непрерывна на диагонали ге — — ьь — †Š(а, Ь). Из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности. Обратное неверно.
Производной случайной функции Х (1) называется случайная функ- дХ (1) ция Я (1) = —, определяемая как предел в среднеквадратичном отдг ношения приращения случайной функции к приращению неслучайного аргумента: дХ (!),, Х (1+ Ь!) — Х (1) г (!) = =!.!.пь дь' ьь- о (11) Для дифференцируемостн случайной функции Х (Е) на интервале (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы математическое ожидание т„(!) было дифференцируемой функцией на (а, 6) и ковариационная функция Кх((гм !х) имела вторую смешанную производную по !ь и !х на диагонали гь = Гз = ! Е (а, Ъ).
Интегралом в среднеквадратичном от случайной функции Х (!) в пределах от а до 6 называется величина ь Х(1)дг = 1.!.щ, ~~ Х(вь)йвы а так1ьл~~ — >е а=1 ь где Уг — центрированные случайные величины с ковариационной матрицей Гл. 18. Теория ве оятностей 160 с и гсе = 1хсеь = с, х-хсс,сьь щах )Ьв~! -со сс=с а (12) эс=а, з =с Если т„(С) и К„(СС, Сг) — соответственно математическое ожидание и автоковариационная функция случайного процесса Х (С), то с Х (з) с(з в дХ(С)1 Ы (С) с(С ~ сСС ™ с т„(з) с(з; а д д Кз(СС, Сг) = — Кх(СС1 Сг) дСС дСг с, сс к„р„ьс =1' с., С к„ссм „>ь,, а а где случайные функции Я (С) и У (С) определяются соответственно формулами (11) и (12). Если Х (С) — каноническое разложение вида (3), то вопрос о дифференцируемости или интегрируемости канонического разложения по существу сводится к вопросу о дифференцируемости или интегрируемостп координатных функций и математического ожидания в обычном смысле.
Приведенные выше выражения для автоковариационной функции могут быть записаны универсальным образом в следующих обозначениях. Пусть У (С) = С,осХ (С), где С ос — линейный однородный оператор (зто значит, что С ос УдовлетвоРЯет ДвУм УсловиЯм: Ц(хс(С) + хг(С)) = С схс(С) + Есхг(С) (аддитивность), с,ос (схс(С)) = сЕосхс(С) (однородность), где хс (С) и хг(С) — любые неслучайные функции (реализации случайного процесса), а с — неслучайная константа).
Тогда , (С) = Ь', „ (с), К,(с,, С,) = Еи Ь'„К. (С,, С,). ( 1З) где зо = а, зс, зг, ..., з„= 6 — точки деления отрезка (а, Ь), схзь = = зь — зь с. Если один из пределов интегрирования переменный, то ре- зультатом интегрирования будет случайная функция етого переменного предела.
Например, з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 161 Пример 5. На ЛС-пепочку, изображенную на рис. 16, подается случайное напряжение Х(1) с характеристиками шя(С) = 21 и К,(1ы1з) = 4111з. Найти математическое ожидание, автоковариационную функцию и дисперсию напряжения У (Ф) я иа выходе ЛС-цепочки. 0 Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным на- яу) с гр) пряжениями ЛС-цепочки, составляется на основе законов Пирхгофа и имеет вид — + ду (1) = Дх (х), Д = — > О.
с(у (г) 1 Рис. )б Й ЛС Решая данное дифференциальное уравнение при нулевом начальном условии метопом вариации постоянной, получим у(1) = ))е "И ер'х(т) г)т. о Таким образом, случайный процесс У (1) является результатом применения к случайному процессу Х(1) линейного однородного оператора 1,ох = )Уе Ш ел' хдт. Позтому согласно формулам (13) о пзг(1) = Де Ш ед'гя (т) 6т = Де Ш 2 тел'с1т = о о =2 г — — (1 — е Я') К (1 1 ) 462е-яр'еь) у( едм я с(я / еиз2 я Пя Дисперсия процесса на выходе В,. (1) = Кг(1, 1) = 4 С вЂ” — (1 — е Я')~ . > 18.819.
Случайная функция задана каноническим разложением Х(1) =й,+Ъ')соа1+1''за1пй, Р[рд1=1, 11Щ=2. Гл. 18. Теория вероятностей 162 Вычислить математическое ожидание, дисперсию и ковариацион- дХ (1) ную функцию процесса Я (1) = й 18.620 (продолжение). В условиях предыдущей задачи вычислить математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию процесса У(1) = Х(в) сЬ.
о 18.621. Случайный процесс Х (1) задан каноническим разложением Х (1) = 1+с11+'г'1т с характеристиками Ро = 3, Р~ = 1. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию производной данного процесса. 18.622 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти математическое ожидание и дисперсию процесса У (с) = Х (я) савв. о 18.623*. Исследовать вопрос о непрерывности и дифференцируемости в среднеквадратичном пуассоновского процесса, определенного в примере 2 и имеющего характеристики, полученные при решении задач 18.610, 18.612.
18.624. На вход дифференцируюшего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием тх(1) = 31~ + с и автоковариационной функцией Кх(1~, Гт) = и е ' " (1+а!1~ — ст(). Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном'? Найти дисперсию процесса на выходе дифференцирующего устройства. 18.625Я. Случайная функция Х (1) задана выражением Х (1) = И соа оЦ, где И вЂ” случайная величина с характеристиками т~ = 2, ок = 3. Найти характеристики случайной функции У(г) = Х(1) + 3 18.626. Ковариационная функция случайного процесса Х (с) имеет вид -ойв-н)2 К (1~, гз) = Рх е ~~ в "1 сов11(гг — 1~), а > О, 11 > О. Определить дисперсию производной процесса Х (1).
3 6. Случайные функции корреляционная теория 163 18.627. Известны характеристики случайного процесса: гях(1) = 31~+21+11 Кх(см Гг) = 2е — Пг — с Найти математическое ожидание и дисперсию процесса + г ЫХ (1) г Й 18.628. На вход интегратора, работающего по принципу у (1) = х (е) Ие, где х (е) — произвольная реализация случайного о процесса на входе, поступает случайный процесс Х (1) с автоковариационной функцией Кх(гы 1г) = 4 созол1созыгг и математическим ожиданием тх(Г) = 1+ з1ц ол'. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса У (г) на выходе интегратора. 18.629. На вход интегратора, описанного в предыдущей задаче, поступает случайная ступенька (см. задачу 18.601) со следующими характеристиками: А распределена по закону Ф(0, о), Т вЂ” по закону Ех (Л).
Найти дисперсию процесса У (г) на выходе интегратора в произвольный момент времени 1 ) О. 18.630. Задана ковариационная функция Кх(гм гг) случайного процесса Х(1). Показать, что взаимная ковариационная функция случайных процессов Х (г) и У (1) = Х (е) сЬ может быть о представлена в виде Кхг(гм гг) = Кх(гы н) ол, а взаимная кое 4Х (Ф) вариационная функция процессов Х(1) и Я(1) = в виде й д дг 18.631. Ковариационная функция случайного процесса Х (1) задана в виде Кх(гы гг) = гг + 111г + 21г. Найти взаимную коваРиационную функцию Кх„(1ы 1г) случайных процессов Х (1) и 8 У (1) = Х (е) сЬ. о Гл. 18.
Теория вероятностей 164 18.632. Ковариационная функция случайного процесса Х (1) задана так же, как в задаче 18,631. Найти взаимную ковариацион- ИХ (1) ную функцию процессов Х (1) и Я (1) = 112 18.633. Задана автоковариационная функция Кх (1!, 12) дважды дифференцируемого случайного процесса Х (1). Найти ковариационную функцию связи между процессами Х (1) и У (1), если У (1) = 1р(1) Х (1) + 2/1(1) Хо(1), где 1р(1) и 2/1(1) — заданные неслучайные функции времени. 18.634. Х (1) — гауссовский процесс с характеристиками 1 Тцх(1) = 1, Кх(!2~ 12) = 1+ (12 — 11)2' Записать плотность распределения вероятностей случайного век- тора (Х (1), Х1(1)).
3. Стационарные случайные функции. Случайная функция Х (2) называется строго стационарной (стационарной в узком смысле), если ее н-мерные законы распределения инвариантны относительно сдвига во времени на произвольную величину т. Например, если случайная функция непрерывного типа Х (1) строго стационарна, то /п(Х!, Х2, ... 1 Хп/21 + Т1 г2 + Т, 1п + Т) = /п(Х1~ . Хп/г! ° 2п). Если случайная функция строго стационарна, то ее математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а автоковариапионная функция К (С 2+ т) зависит лишь от разности моментов времени, т.е.
от т. Обратное заключение в обшем случае неверно. Случайная функция Х (2) называется стационарной о широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия не зависят от С а автоковариацнонная функция Кх(С 2+ т) зависит лишь от разности аргументов К (С 2+ т) = Кх(т). Для нормальных случайных процессов оба понятия стационарности совпадают. Автоковариационная функция стационарной в широком смысле случайной функции обладает следующими свойствами (следствия общих свойств автоковариационной функции): 1) Кх(т) = К„( — т), Кх(0) > О.
2) ) Кх(т) ! < К (0) = В„. 3) Функция Кх (21 — 22) неотрицательно определенная. Если Х (2)— стационарная в широком смысле дифференцируемая случайная функция 12Х (1) и У(1) = —, то У(1) — также стационарная в широком смысле 111 случайная функция, причем 42 тт = О, Кт(т) = — — Кх(т) 1тг з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 165 Длн дифференцируемости стационарной в широком смысле случайной функции необходимо и достаточно существование второй производной автоковариационной функции при т = О. Так как для стационарной в широком смысле случайной функции Х (г) имеем )э = Ку(0) = — К (T) (дХ (г)) дг М 1 дгг то условие дифференцируемостн фактически равносильно условию конечности дисперсии производной от стационарной случайной функции. Средним по конечному промежутку времени от реализации стационарного случайного процесса Х (г) называется число (вообще говоря, случайное), определяемое соотношением Стационарный случайный процесс Х (8) называется эргодическим относительно математического ожидания, если выполняется условие !цп (х(ь))о = т, = х/1(х/1) Йх, Т-~ ьь где предел в левой части понимается в обычном смысле (т.е, если среднее по бесконечному промежутку времени от одной реализации (любой) равно среднему по множеству реализаций (среднему по ансамблю)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
