341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 34
Текст из файла (страница 34)
18.650. Кк(т) = охе ~ с, о > О. з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 171 18.651. Кх(т) = сг~.е "~ т ~ 1 + а ! т ! + — аат, а > О. 2 2 18.652. К„(т) =о.~,е ~' соя рт — — еще)т(, а > О, 13 > О. 18.653. На вход радиотехнической цепи, состоящей из последовательно соединненых дифференцирующих устройств и сумматора (рис. 19), поступает случайный стационарный сигнал Х (1) с нулевым математическим ожиданием и автоковариационной функдией Кх(т).
Найти автоковариационную функцию случайного сигнала У (1) на выходе сумматора. 18.654. Показать, что взаимная ковариационная функция Кхт (1, 1') стационарной случайной функции Х(1) и ее производной У(1) с(Х (г) удовлетворяет условию ос Рис. 19 Кхт(С~ 1) = Кхт(1 ~ 1). 18.655. Показать, что если стационарный случайный процесс Х (с) днфференцируем, то он стационарно связан со своей производной. Найти ковариационную функцию связи Кхт(1ы Фт), где У(с) = —. ОХ (с) с1с 18.656*. Стационарный случайный процесс Х (с) имеет автоковариационную функцию К„(т) = о~с ~т~ совшт+ — з1пю( т( Р Найти ковариационную функцию связи процессов Х (С) и У (1) = —.
ИХ (1) с1г 18.657. Известна автоковариационная функция стационарного случайного процесса Х (1): 2 2 К„(т) = стте о~с~ 1+ а( т ~ + — а т 3 Определить ковариационную функцию связи между Х (1) и У (1) = сРс Гл. 18. Теория вероятностей 18.658. На вход интегрирующего устройства, работающего по с принципу р (г) = т (в) ~Ь, где т (1) и у (1) — реализации соответо ственно входного и выходного процессов, поступает стационарный случайный процесс Х (1) с автоковариационной функцией К„(т).
Показать, что Кхт(1М т2) = К (« — ) «т. о 18.659* (продолжение). В условиях предыдущей задачи показать, что от (1) = 2 (1 — 'г) Кх (т ) сЬ'. О 18.660*. Задана автоковариационная функция стационарного случайного процесса Х(г): К„(т) = 4е т~'~. Найти дисперсию случайной функции У (1) = Х (в) ~Ь.
О 18.661*. Стационарный случайный процесс Х (1) имеет автоковариационную функцию К„(т) = о~е ~~'~. Выяснить, является ли он стационарно связанным с процессом У (1) = Х (в) сЬ. О 18.662Я. Показать, что если Х (1) — нормальный стационарный в широком смысле дифференцнруемый случайный процесс, НХ (1) то процесс У (г) = — также нормальный стационарный в шисй роком смысле. Найти характеристики тпт, Кт(т) и Р„, если .Кх(т) = а.е ~'~ соврт+ — в1п13(т( Р (и и р' — положительные константы).
18.663. Нормальный стационарный случайный процесс Х (1) имеет характеристики 2 тп» = 1, К„(т) = 4е ~~ ~ (совЗт+ — в1пЗ)т! 3 ( ИХ (1) Вычислить Р ~ ( ЛЗ 3 6. Случайные функции (корреляционяая теория) 173 4. Спектральное разложение стационарных случайных функций. Стадионарная в широком смысле случайная функция Х (1), заданная во всей области определения ! Е С~ каноническим разложением вида Х(1) =т„+~ и 1+Ь' з! (15) где Ц и 1 ь — центрированные случайные величины, удовлетворяющие условиям МЯЦ = М(У,(),) =Р,б„, МЯУ1] = 0 для всех С у' = О, 1,..., и, называется случайной функцией с дискретпным спектром. Автокова- риационная функция такого процесса имеет вид (см. задачу 18.639) п К„(т) = Ц ~Рьсозаьй с=о (16) Представления (15) и (16) называются спектральными разложениями соответственно случайного процесса и аетокоеариационной функции.
Дисперсия процесса есть сумма дисперсий отдельных гармоник на ча- стотах ьоь (к = 0,1,...,п): п Р— К (0) — ~ ~Р с=о Если число слагаемых и бесконечно велико, а частоты ыь кратны основах '1 ной частоте т.е, юь = бич = — !, то разложение (16) представляет со- Т,) бой, по сушеству, ряд Фурье по косинусам кратных дуг функции К„(т) на отрезке ( — Т, Т) (в силу четности периодически продолженной на всю ось функции К (т) ряд содержит только косинусы). Стационарные случайные функции, рассматриваемые лишь на конечном промежутке ! и ( — Т, Т), всегда могут быть представлены в виде спектральных разложений (15) и (16).
Если автоковариационная функция Кл(т) не является периодической, то стационарный случайный процесс Х (1) не может быть на всей 18.664и. Стационарный нормальный процесс Х (1) имеет харак-огтз теристики т„= О, Кх(т) = охте о ~ (сс ) Π— постоянная величина). Найти двумерную плотность совместного распределения с!Х (1) вероятностей случайных процессов Х (1) и У (1) = в один с(! и тот же момент времени. Гл.18. Теория вероятностей 174 оси — оо < 1 < оо представлен в виде разложения (15) и (16) и, следовательно, не является при всех действительных 1 процессом с дискретным спектром. Стационарная случайная функция Х (1) называется случайной функцией с непрерывным спектром, если сушествует такая действительная неотрицательная функция Ял(ьь), определенная на всей оси частот -оо < оь < +со и называемая спектральной плотностью, что справедливы интегральные формульо Винера-Хинчина Кя(т) = Я„(ьо) совььтдьл, о +03 2 Ял(аь) = — / К„(т) совоьть1т.
о (17) (18) К. (т) = — / Ял(ьо) е'"'дьо, 1 1 ь" 5,(ы) = — / Кл(т) е ь"'Ьт. (19) (20) Как следует из (17) и (19), дисперсия стационарного процесса с непрерывным спектром может быть выражена в виде интеграла от спектральной плотности: Рл = Кл(0) = Вл(аь)дьо = — / Ял(ьо) дьо.
(21) 1 ь" 2 / Условия Вл(ьь) > 0 и 5„( — ьь) = Вл(ьь) для всех действительных ьо являются необходимыми условиями стационарности в широком смысле случайного процесса Х(ь). Полезными характеристиками стационарных случайных функций с непрерывным спектром являются эффективная ширина спектра ь)ььь н средний интервал корреляции бы Для справедливости представлений (17) — (18) достаточно, чтобы ковариационная функция К (т) была абсолютно интегрируема на полуоси. Таким образом, автоковариационная функция и спектральная плотность стационарной случайной функции с непрерывным спектром связаны друг с другом взаимно обраьпиыми косинус-преобразованиями Фурье.
Из формул (17) — (18) и свойств ковариационной функции К„(т) вытекает, что Ял(аь) — четная функция: Я„(-аь) = Ял(аь). В силу четности подынтегральных функций в формулах Винера-Хинчина, последние могут быть также записаны в зкспоненциальном виде: эб. Случайные функции кар еяяционяая теория 175 (аффективная длительность автокорреллционной фрикции), опреде- ляемые следующим образом: 1 '/" 2оэ Ьь« = / Я (ы) д«о = шах Я„(ь«) / шахах(ы) +ьь +«0 2 яхт = 2 ~ рх(т) ! «Ут = — / ~ Кх(т) ! «)т. оэх о о Геометрически средний интервал корреляции Ьт (соответственно эффективная ширина спектра Ьа) равен основанию прямоугольника с высотой рх(0) = 1 (шахтах(ь«)), плошадь которого равна площади под кривой ) рх(т) ) при -со < т < +со (площади под кривой Я„(«о) при -оо < ьт < +ос), Из этих определений и формулы (20) вытекает, что величина Ьт и «ьа«связаны между собой неравенством (22) сьт Ьы > 2п (обычно называемым «соотношением неопределенности«).
Смысл соотношения (22) можно кратко выразить в виде следующего правила: чем уже ширина спектора стационарного процесса, те и больше интервал корреляции его сечений, и наоборот. Пример 7. Автоковариационная функция стационарной случайной функции Х(~) задана в виде Кх(т) = охте 1'~, — со < т <+со, с«> О. Найти спектральную плотность ох(а«) и эффективные характеристики дат и Ьь«. < При вычислении о (а«) удобнее в данном случае использовать формулу (20): 1 У 8х(«о) = — / Кх(т) е' 'дт = ео« о иэ е-а«-«ш«йт .Ь еь«+ы«дт х к ' к йl +О о -ОО Пользуясь определениями, находим эффективную ширину спектра 2от 2оэ «х«о = = — = хс« шах Я (ы) о'„(О) Гл.18.
Теория вероятностей 176 н средний интервал корреляции Ьт= — ~ г е аг= —. х о Таким образом, в данном примере неравенство (22) обращается в равенство. Р Пример 8. Белым шумом называется стационарный в широком смысле случайный процесс с постоянной спектральной плотностью на всех частотах — со < м < +со. Белый шум физически неосуществим, поскольку его дисперсия в соответствии с формулой (19) бесконечна.
Пусть Х (г) — стационарный в широком смысле процесс со спектральной плотностью Ях(ы) следующего вида: В„ — («о( < «оо, Бх(ы) = ыо о, ~ !> (низкочастотный белььй шум). Найти автоковариационную функцию данного процесса и выяснить, является лн низкочастотный белый шум дифференцнруемым. з По формуле (17) имеем П Г зйгыот Кх(т) = Ях(ы) соз«отйо = — соз«от«у«~ = Й» «оо ьгот ххх' 'о г Так как !К'„'(т)), = — < +со, то процесс днфференпнруем. ~> 18.665. Пусть Х (1) — произвольный стационарный в широком смысле случайный процесс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
