341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Длн получения выборки из генеральной совокупности, распределенной по закону Ж(О, 1), можно воспользоваться алгоритмом, основанным иа любом нз следующих соотношений: у =уУ-22 уг, ° 2 у„ (4) у = 2, 3,..., н, У -увус-, уну у, (5) тле, как и выше, уы уу, ..., у„— выборка из генеральной совокупности с равномерным распределением 11 (О, 1). 194 Гл. 19. Математическая статистика 19.18. Случайные величины Х на У независимы и имеют нормальные распределения )!!'(10, 2) и )т'(9, 1) соответственно. Используя соотношения (4) и (5), получить выборки объема и = 20 и оценить вероятность того, что ш!п(Х, У) < 10.
19.19. Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины, распределенные соответственно по законам Х(0, 1) и Ж(0, 3). Используя соотношения (4) и (5), получить выборки объема п = 50 для Х и У. 19.20. Используя результат предыдущей задачи, получить выборку объема и = 50 для случайной величины Е = ! Х (+ ! У ! и построить гистограмму частот. 19.21. Используя результат задачи 19.19, получить выборку объема и = 50 для случайной величины У = ~ Х вЂ” У ~ и построить гистограмму частот.
19.22. Пусть 1 — индикаторная случайная величина события А= ЦХ/ <1), т.е. 1 , !Х) <1, О, !Х/>1, где Х вЂ” случайная нормально распределенная величина из задачи 19.19. Используя выборку, полученную в этой задаче, найти частоту события <1 = 1) и сравнить полученный результат с точным значением вероятности этого события. 19.23**. Доказать теорему Гливенко. 2. Числовые характеристики выборочного распределения. Пусть х!, хэ, ..., х„— выборка объема п из генеральной совокупности с функцией распределения гх(х).
Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной случайной величины, прннимаюшей значения х!, хэ,..., х„с вероятностями, равными 1/п. Числовые характеристики этого выборочного распределения называются выбврочиылси (элспирическими) числовыми характеристиками. Следует отметить, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распредедения генеральной совокупности. Чтобы подчеркнуть это различие, выборочные характеристики в дальнейшем будем обозначать теми же символами, что и в главе 18, но со значком * наверху. Некоторые выборочные характеристики имеют традиционные обозначения, например, х — выборочное среднее. П р и м ер 4.
Получить формулы, определяющие выборочные математическое ожидание и дисперсию для негруппированной выборки объема и. < Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (см. главу 18, э 2, формулу (4)) З 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 195 Так как для выборочного распределения р. = 1/я, то 1 1' Аналогично и и 0„' = С(ху — х) ру = — ~! (ху — х) 1=! з=! Выборочной модой а!' унимодального (олновершинного) распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.
Выборочной медианой называется число Ь*„, которое делит вариапионный ряд на две части, содержащие равное число элементов. Если объем выборки я — нечетное число (т.е, я = 21 + 1), то Ь; = х!!+!!, т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же и = 21, то Ь; = — (хр! +хй+'!). 1 я П р и м ер 5. Определить среднее, моду и медиану для выборки 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. < Представим данные в виде вариапиониого ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 1 6, 8. Выборочное среднее х = — (1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8) = 3,75.
8 Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, слеловательно, 1 мода Н„= 1. Так как т! = 8, то медиана Ь„= — (3+ 4) = 3,5, с 2 Вычислить моду, медиану, среднее и дисперсию следующих выборок: 19.24. 7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3. 19.25.3,1;3,0;1,5;1,8;2,5;3,1;2,4;2,8;1,3. 19.26.а)1,2,3,4,5,5,9;б)1,2,3,4,5,5,12.
Сравнить полученные числовые результаты для выборок а) и б). 19.27. Доказать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка э, э = 1, 2, ..., для негруппированной выборки объема и определяются следующими формулами: Гл.19. Математическая статистика 196 19.28.
Доказать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка з, я = 1, 2, ..., для группированной выборки обьема п определяются следующими формулами: и а,= — ~ пмя;, 1=1 19.29. Доказать, что для выборочной дисперсии справедлива следующая формула: — 2 .~~я а2 19.30. Доказать справедливость следующих соотношений: Рз = аз 3агаг + 2аг ря = а4 — 4аза~ + базаг~ — Заг~. В задачах 19.31 — 19.33 определить среднее, моду, медиану к дисперсию группированных выборок.
19.31. 19.3 19.34. Доказать следующие свойства выборочного среднего: а) ,'> (х,— х)=0; б)* ,'~ (х, — х) < ,'~ (х; — а), где а Е 1С, о ф х. 19.35*~. Доказать следующее свойство выборочной медианы: (х; — 6'„(<~» )х; — о(, где аЕК, афЬ;,. 19,36. Предположим, что в результатах наблюдений случайной величины Х присутствует одна и та же систематическая погрешность а. Какое влияние оказывает эта систематическая погрешность на величины выборочных среднего, моды, медианы и дисперсии? 3 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 197 1 и; = — (гн — Ы*„) (3) 1=1, 2,...,)с, где Н' — выборочная мода, а Ь вЂ” длина интервала группировки.
Соотношения (3) показывают, что в выборку хм хэ, ..., хь внесена систематическая ошибка Ы', а результат подвергнут преобразованию масштаба с коэффициентом Ь = 1/Ь. Полученный в результате набор чисел иы иэ, ..., иь можно рассматривать как выборку из генеральной сово- 1 купности У = — (х — д'). Тогда выборочные среднее х н дисперсия Х)"„ исходных данных связаны со средним П н дисперсией П' преобразованных данных следующими соотношениями: (4) х = 6и+4', 12„'= 6211'.
(5) Пример 6. Вычислить среднее и дисперсию группированной вы- борки Границы интервалов 134-138 138-142 142-146 146-150 150-154 154-158 Частоты 1 3 15 18 14 2 3 Длина интервала группировки 6 = 4, значение середины интер вала, встречающегося с наибольшей частотой, д" = 148. Таким образом, преобразование последовательности середин интервалов выполняется по формуле (3): гн — 148 4 Таблица 1.2 19.37. Как изменятся выборочные среднее, мода, медиана и дисперсия, если результаты наблюдения подвергнуть преобразованию масштаба, т.е.
увеличить или уменьшить одновременно в Й раз? Результаты задач 19.36 и 19.37 используются для упрощении вычислений выборочных среднего и дисперсии группированной выборки. Для этого группированную выборку преобразуют следующим образом: 198 Гл. 19. Математическая статистика Вычисления удобно свести в таблицу (см. таблицу 1.2). Последний столбец таблицы 1.2 служит для контроля вычислений при помощи тождества п,(си+1) г— е ~~~ п,иг+2 Сп;и,+ у яо Подставляя в тождество данные последней строки таблицы 1.2, получим 58+ 2 (-6) + 53 = 99. Следовательно, вычисления выполнены правильно.
По формулам (1) и (2) находим -6 й = — -0,113, 53 58 ( б)гУ53 53 По формулам (4) и (5) окончательно вычисляем х ( — 0,113) 4 + 148 147,548, Юх 4 1,103 - 17,728. с Для приведенных в задачах 19.38-19.40 выборок выполнить следующие задания: 1) вычислить среднее и дисперсию, предварительно проведя группировку выборки с заданной длиной интервала; для упрощения вычислений преобразовать данные по формуле (3); 2) вычислить среднее и дисперсию негруппированной выборки, используя заданные значения. Сравнить результаты вычислений.
19,38. Положительные отклонения от номинального размера у партии деталей (в мм): 17 21 8 20 23 18 22 20 17 12 20 11 9 19 20 9 19 17 21 13 17 22 22 10 20 20 15 19 20 20 13 21 21 9 14 11 19 18 23 19 гг=40, Ь=2, ~~) х,=689, ) хг =12635. 19.39. Время восстановления диодов из одной партии (в наносекундах): 69 73 70 68 61 73 70 72 67 70 66 70 76 68 71 71 68 70 64 65 72 70 70 69 66 70 77 69 71 74 72 72 72 68 70 67 71 67 72 69 66 75 76 69 71 67 70 73 71 74 гг = 50, Ь = 3, ~~У х; = 3492, ~ хг = 244342. 3 1.
Методы статистического описания результатов наблюдений 199 19.40. Время реакции (в секундах): 8,5 7,1 8,2 6,9 7,7 6,8 7,4 6,7 6,7 6,2 6,5 6,1 6,5 6,1 6,4 6,1 2,9 4,4 3,8 6,0 4,2 4,7 4,5 6,0 6,0 5,8 5,4 6,0 5,6 5,3 5,6 5,4 5,3 5,8 5,6 5,1 Ь = 1, ~~ х, = 213,8, ~~~ х~ = 1316,82. и = 36, 19.41. В условиях задачи 19.12 найти размах выборки, а также выборочные медиану, среднее и дисперсию. Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик.
19.42. Поезда метро идут строго по расписанию с интервалом в 3 минуты. Методом математического моделирования получить выборку времен ожидания поезда для 10 студентов, каждый из которых выходит на перрон в случайный момент времени. Найти размах выборки, выборочные медиану, среднее и дисперсию времени ожидания. Сравнить полученные результаты со значениями соответствующих теоретических характеристик. 19.43. Для получения значения случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение В (я, р), можно воспользоваться следУющим методом: полУчить и слУчайных чисел 9~, Уз, ..., ув и положить Х равным числу случаев, когда у; < р, г' = 1, 2, ..., я.
Методом математического моделирования найти число выигрышей в игре с игральным автоматом в 10 сеансах, если вероятность выигрыша в каждом сеансе равна 1/2. Получить выборку результатов для пяти серий игр по 10 сеансов. Найти выборочные моду, среднее и дисперсию числа выигрышей. Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями соответствующих характеристик. 19.44. В условиях задачи 19.17 найти выборочные среднее и дисперсию и сравнить с соответствующими теоретическими значениями.
19.45. Определить среднее и дисперсию выборочного распределения из задачи 19.19. 19.46. Определить среднее и дисперсию выборочного распределения из задачи 19.16. 19.47. Проводятся испытания 10 приборов одного типа. Время наработки на отказ приборов данного типа подчиняется распределению Ех (Л). Методом математического моделирования найти выборочные среднее и медиану, а также минимальное и максимальное значения времени наработки на отказ при Л = 1. (Воспользоваться выборкой из задачи 19.13.) 3 1.
Методы статистического описания результатов наблюдений 201 Вычисления оформим в виде таблицы 1.3. Таблица 1.3 Контроль вычислений по тождеству (10) дает 55+4 (-32)+ б 134+ 4 ( — 278) +1034 = 653. Наконец, воспользовавшись формулами (1), (2), (4), (5), (8) и (9), находим характеристики выборочного распределения: — 32 и = 19 + 2 — 17,8, 55 134 — — 32'з 255 а" = [ — 5,054 — 3 ( — 0,582) 2,436+ 2 ( — 0,582) ] м — 0,393, 2 10з!з е", = —,[18,8 — 4 ( — 0,582) (-5,054)+ 1 +6 ( — 0,582) . 2,436 — 3 ( — 0,582)~) — 3 — 0,303. с 19.48.
Из формул (6) и (7) для выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса получить соотношения (8) и (9) для их вычисления. Гл. 19. Математическая статистика 202 В задачах 19.49-19.54 вычислить среднее, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса для заданных выборок, предварительно преобразовав их по формуле (3). 19.49. Распределение скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): 19.50. Суммарное число набранных баллов в соревнованиях: 19.51. Распределение предела прочности образцов сварного шва (Н/ммз): 19.52. Распределение отклонений напряжения от номинала (мВ): 19.53. Время выполнения упражнения (с): $ 1, Методы статистического описания результатов наблюдений 203 19.54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
