341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2 1 2 п 19.102. В качестве оценки математического ожидания гп генеральной совокупности по выборке хм ..., х„предлагается взять статистику т1 = хы Проверить несмещенность и состоятельность этой оценки. 19.103. Рассмотрим лве выборки объемов п1 и п2 из одной генеральной совокупности со средним т и дисперсией о2. Пусть Хм Х2, 512 и 522 — — несмещенные оценки средних и дисперсий, определенные по этим выборкам. Показать, что объединенные оценки, вычисляемые по формулам — п1Х1 + п2Х2 Х= П1+ П2 о2 (п1 — 1) о1 + (п2 1) о2 п1+п2 — 2 будут несмещенными и состоятельными оценками т и о2. 19.104*.
Случайная величина Х имеет распределение с плотностью ук(х), равной е' * при х > а и О при х ( о. Для оценки неизвестного параметра а по выборке хм х2, ..., х„наблюдений случайной величины Х предлагается выбрать статистику б=хОО= ппп х;. 1(1<и Проверить несмещенность и состоятельность этой оценки. 19.105*. Пусть хм х2, ..., х„— выборка из генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение г1 (О, 1). Показать что статистика т = '(хОО + хрй), 2 тле х(П и тйй — соответственно наименьший и наибольший элементы выборки, являетсн несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания гп.
19,106Я. Пусть (хы у1), (х2, у2), ..., (х„, р„) — выборка из двумерной генеральной совокупности. Методом подстановки найти оценку ковариации. Показать, что полученная оценка является смещенной и состоятельной, Найти несмещенную оценку. Гл.19. Математическая статистика 222 19.107а. Пусть Π— несмещенная оценка параметра О, О [0] < < ао. Показать, что 0 является смещенной оценкой 0~, и вычислить смешение. 19.108. Показать, что выборочное среднее, вычисленное по выбарке из генеральной совокупности, имеющей распределение Пуассана с параметром Л, будет несмещенной и состоятельной оценкой этого параметра.
19.109. В результате проведения и независимых экспериментов в одних и тех же условиях случайное событие А произошло х раз, х а) Показать, что относительная частота 6 = — появления со- и бытия А будет несмещенной и состоятельной оценкой вероятности события А: Р [А) = р в одном эксперименте. б) Определить такое значение р, при катаром дисперсия сг~ будет максимальна. 19,110. Пусть 0 — состоятельная оценка параметра О, а ф [В)— непрерывная функция в области изменения О. Доказать, что 10[0) — состоятельная оценка ф [В). 19.111*. Пусть х1, хо, ..., х„ — выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием ги и дисперсией сг~. Показать, что является смещенной и состоятельной оценкой параметра о.
19.112*. Доказать теорему 1 о состоятельности оценки. Для оценки параметра 0 может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки В считают ее дисперсию 11 [В]. Пусть Ве и Вз — две различные несмещенные оценки параметра О. Если 11 [01] < 1э [Вз], то говорят, что оценка 01 более эффективна, чем оценка Оз. В предположении, что распределение случайной величины Х к статистика 0 удовлетворяют некоторым условиям регулярности (А*) 4), для дисперсии несмещенной оценки 0 параметра 0 выполняется яеровеяспаво Крамера-Рво: 1 0[0] ) ) См,, яапрямер: Чоссяаков В.
И. Курс теории вероятностей,— Мо Наука, 1982. С. 180. а 2. Статистическое оценивание аспределеяия по выборке 223 1„(0) = нМ [ — !и ~я(Х, 0)) (г) Если же Х вЂ” дискретная случайная величина, то 1„(0) = пМ ~ — 1пр(Х, 0)] (3) где р (х, О) = Р [Х = х]. Условия регулярности (А*) выполняются для обычно используемых статистик нормального, биномнального и пуассоновского распределений. Несмещенная оценка Оо параметра О, дисперсия которой достигает 1 своего наименьшего возможного значения —, называется эффектив- 1„(0)' ной: 0[0,] = —.
1 1„(0) ' (4) Несмещенная оценка О = О„называется асимятотически эффективной оценкой параметра О, если 1 !пп = 1. 1„(0) 0 [О„] (5) Если условия регулярности (А*) не выполняются, то может существовать несмещенная оценка параметра О, дисперсия которой меньше, ,'чем нижняя граница в неравенстве (1). Такая оценка называется сверх- аффективной. Пример 2. Пусть хы хэ, ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности Л(т, а). Показать, что выборочное среднее х является эффективной оценкой параметра т. з В примере 1 было показано, что х — несмещенная оценка параметра гп, причем Р [Х] = —.
Используя (2), найдем информацию Фишера и 1,(т). Имеем (, — т)'! ух(х, т) = — ехр]— ~/2~г и 1 2вэ !П~х(х, т) = — — !П(1Г27Г о). (х — т) э где 1„(0) — информация Фишера, содержащаяся в выборке объема и относительно неизвестного параметра О. Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения 1х(х, О) Гл. 19.
Математическал статистика 224 Следовательно, д 1п 2 4 (х, т) х — т дт Х вЂ” т 2 Математическое ожидание случайной величины ) равно: п2 м~ ~ = — м](х-т)']= — '= —. (Х вЂ” т) 1 2 1 2 1 и4 ~ 4 пз пт ' Таким образом, ~(Х вЂ” т) ) и у„(т) = им ~ и4 ~ п2 ' г Так как условие (4) выполнено, т.е. 11 [Л] = — = —, то лля кори 4„(т) малько распределенной генеральной совокупности х является эффективной оценкой математического ожидания т. ~> 19.113.
Пусть 0 = В(хм ..., х„) является оценкой неизвестного параметра В по выборке объема и. В качестве меры близости оценки 0 к истинному значению В выберем величину средней квадратической ошибки М ((Π— 0)2]. Показать, что М](0 — 0) ] = В]0]+ (М [0] — 0) . 19.114. Показать, что выборочное среднее является аффективной оценкой параметра Л распределения Пуассона. 19.115. Показать, что относительная частота появления сабытия А в 24 независимых испытаниях является аффективной оценкой вероятности р появления события А в одном испытании. 19.116.
Пусть хм ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности М(т, сг). Найти информацию Фишера у„(н2). 19.117 (продолжение). В условияк предыдущей задачи при известном математическом ожидании т оценивается дисперсия оз. Показать, что статистика ее — — — ~~ (х4 — т) 2 является аффективной оценкой н2.
19.118*. Пусть х4, ....,х„ — выборка нз генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение 44(0, 1). Показать, 2. Статистическое оценяваппе распределения по выборке 225 я , „(х, "., *., В) = П 1, (х;, В). ьы (6) П сть, наконец, хм ..., х„— выборка наблюдений случайной величины , по которой находится оценка неизвестного параметра. Функцией правдоподобия Е (В) выборки объема и называется плотность выборочного вектора (6), рассматриваемая при фиксированных значениях переменных хм ..., х,.
Функция правдоподобия является, таким образом, функцией только неизвестного параметра В, т.е. я Т,(В) = П,(.,(х„В). (7) Аналогично определяется функция правдоподобия выборки дискретной случайной величины Х. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, причем вероятность Р[Х = х[ = р(х, В) есть функция неизвестного параметра В. Предположим, что для оценки параметра В получена конкретная выборка наблюдений случайной величины Х объема я: хы ...,х„. Функция правдоподобия Е (В) выборки объема я равна вероятности того, что компоненты выборочного вектора Хм ..., Х„ примут фиксированные значения хы ...,х„, т.е. и я Т, (В) = П Р [Х, = х,[ = П р(,, В).
(8) Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра В принимается значение В, доставляюгцее максимум функции правдоподобия. Такую оценку называют МП-оценкой. В случае дискретного распределения наблюдаемой случайной величины Х МП-оценка неизвестного параметра В есть такое значение В, при котором вероятность появления данной конкретной выборки максимальна.
Аналогичную интерпретацию МП-оценки можно дать и в случае оценки параметра распределения непрерывной случайной ВЕличины. Для упрощения вычислений, связанных с получением МП-оценок, В некоторых случаях удобно использовать логарифмическую функцию цРавдоподобия, т.е. !и Ь (В). что статистика т = — (х! + х( )) является более эффективной 2 оценкой математического ожидания, чем выборочное среднее.
2. Метод максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия является одним из наиболее распространенных методов нахождения оценок неизвестных параметров распределения генеральной совокупности. Пусть Х вЂ” непрерывная случайная величина с плотностью распределения („(х, В), зависящей от неизвестного параметра В, значение которого требуется оценить по выборке объема п. Плотность распределения выборочного вектора (Хы ..., Х„) можно записать в виде Гл. 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
