341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Это свойство используется для приближенного выражения квантилей Х2(к) распределения Х2(к) через квантили ир нормального распределения Ю(0, 1). Обычно используют следующие две формулы: Х (ь) ((5р + ~/ 2/~ 1 ) 2 (14) з Х(й)=й~1 +и ~— И '~1М (15) Формула (14), применяемая при к > 30 и р > 0,5, дает относительную погрешность в пределах 1(У0, а формула (15) применяется для вычисления квантилей малого порядка. Пример 6. Вычислить квантили Хзд ш(10), Хо ддь(40), Хддви(40). З Из таблицы П5 находим Хоззи(10) = 2,56. Длн вычислениЯ кван- хили Ход дь(40) воспользуемся формулой (14). Так как ио,дь —— 1,645 ( . 0 151), 5 (40)- — (1645'- '2 40 — 1) 5541.
2 По формуле (15), используя значение иол! — ио 99 — — 2,326, полуз 2 Г2 чаем Х2 (40) 40 1 — — 2,326~( — ж 22,14. С о,о) ~ 9 40 У 9 40/ Распределением Стьюдента с к степеилми свободь4 называется распределение случайной величины Т (ь), равной отношению двух неза- 0 6 * 0 02'(5))5, т® = 3 2. Статистическое оценнванне распределения по выборке 233 где У имеет нормальное распределение 11'(О, 1).
Распределение Стьюдента с й степенями свободы будет также обозначаться Т (й). Распреде- -4 -3 -2 -! О ! 2 3 4 Рис. 32 ление Стьюдента с й степенями свободы имеет плотность у,(х) (рис. 32): -оо < х < +со, й среднее М'!Т(й)] = 0 и дисперсию 13[Т(й)) = —, й > 2. Плот- й — 2' ность распределении Стьюдента симметрична относительно оси ординат, следовательно, для квантилей гр(й) имеет место соотношение гр(й) = — р(й).
При больших й (й > 30) для квантилей !р(й) распределении Стьюдента выполнено приближенное равенство 2р(й) а ир. Более точная формула имеет вид 2 2 — 1/2 ! (й)ви 1 —— (16) Пример 7. Найти квантили 2о оь(8) и го 9О(40). По таблице Пб находим !о,аь(8) = 1,86; го,оь(8) = — года(8) = — 1,86. Квантиль го до(40) определим, используя формулу (16).
Так как ио,ао = = 1,28 по таблице П1, то — 172 ° г !о,ао(40) 1,28 1 — ) — — 1,307 4 40) 2 40) Точное значение квантили годе(40) по таблице Пб равно 1,303, гр Гл. 19. Математическая статистика 234 Распределением Фишера с )с1 и яз степенями свобода~ называется распределение случайной величины Е(км Йт), равной отношению двух независимых случайных величин Х (Й1)/Й1 и Х (йз)/йз, т.е.
Распределение Фишера с )с~ и кз степенями свободы будет также обозна- о,в О,е о ! 2 3 х Рис. ЗЗ О, х<0, среднее М (Р] =, )сг ) 2. 1сг йз -г' Квантили распределения Фишера порядка р и 1 — р связаны следуюшей формулой: 1 Р1 р(й1 ьт) (17) Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределения Хз, Стьюдента н Фишера, имеют место соотношения Тз(й) = Р(1, л), (18) х'(й) /с (19) Х (1) = (7~. (20) чаться Р (йм яз).
Распределение Фишера с я1 и из степенями свободы имеет плотность ур(х) (рис. ЗЗ): 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 235 Йг 2 (1сг + 92 — 2) Йг ср(к1 кг) ир + —. (21) кг — 2 гсг(кг — 4) йг — 2 П р и мер 8. Вычислить квантили Го,ог(3,5), Рд,до(4,100) н Ро,од(60, 120). < Используя соотношение (17) и таблицу П7, получаем 1 1 Гд,ог(3,5) = р (5 3) 28 24 0,035. Далее, используя соотношение (19) и таблицу П5, находим Ро,до(4,100) — ' = — = 1,945 Хд,д(4) 7,78 4 4 Наконец, по формуле (21), используя значение ио,од — — — иоан = -1,645, получаем 2 (60+ 120 — 2) 120 120 — 2 Ео,дд(60,120) а 120 По таблице П7 значение квантили Ео,од(60, 120) равно 1 1 Ед,дд(60, 120) = = — 0,699 Г> Используя таблицы квантилей и свойства распределений, определить квантили: 19.138.
Хо,оа(8) и Хо,дд(130). 19.139. 1о,ог(7) и 1о да(110). 19 140 Ро,оь(2; 3), Го,дд(100, 5) и Ро о1(60, 90). 19.141~. Используя свойства распределений Хг, Стьюдента и Фишера, доказать соотношение (18). В задачах 19.142 — 19.145 изучаются свойства статистик, вычисляемых по выборке хм хг, ..., х„из генеральной совокупности, имеюшей нормальное распределение М(т, и).
— 1 19.142. Показать, что выборочное среднее Х = — ~~~ Х; имеет нормальное распределение Ж(т, и/~/л ). При йг » 1 и 12 » 1 квантили распределения Фишера можно вычислить, используя приблиаденную формулу Гл.19. Математическая статистика 236 19.143. Найти распределение статистики ЯΠ—— — р (Х; — т) . п 19.144*. Найти математическое ожидание и дисперсию статистики В2 =, ~ (Х; - Х)'. Показать, что статистика Я~ является асимптогически эффективной оценкой дисперсии о .
Х вЂ” т 19.145. Показать, что статистика Т (и — 1) = имеет распределение Стьюдента с и — 1 степенью свободы. Йайти математическое ожидание и дисперсию Т (и — 1). В задачах 19.146-19.149 рассматриваются две независимые выборки объемов и( и и2 из генеральных совокупностей с распределениями М(тп (г() и М(т2, с(2). Х( и Х2 — выборочные средние, а Я( и Я2 — выборочные дисперсии, вычисляемые по зтим 2 2 выборкам. ~2((22 19.146. Показать, что статистика Г(и( — 1, п2 — 1) = ~2/ 2 имеет распределение Фишера с и( — 1 и п2 — 1 степенями свободы.
19.147. Показать, что если математические ожидания т( и т2 генеральных совокупностей известны, а оценками дисперсий (г 2 2 2 2 2 Ч~ ~2 1 и с(2 являются статистики ЯО( и 502, где ЯΠ— — — Р~(Х; — т;), и; ЯО! /0( 1 = 1, 2, то статистика Р(ии и2) = 2 2 имеет распределение ~02 Й2 Фишера с и( и и2 степенями свободы. 19.148. Показать, что если дисперсии генеральных совокупностей известны и равны (г2( — — с(22 — — (22, то статистика Х( — Х2 — (т( — т2) имеет распределение 1(((0, 1), 19.149. Предположим, что дисперсии обеих генеральных совокупностей равны о21 — — п22 = п2,но значение о2 неизвестно и оце(п~ — 1) я2 + (и2 — 1) я2 нивается при помоши статистики Я2— п(+ и2 — 2 Найти распределение статистики Я2 и вычислить ее дисперсию. 3.
Интервальные оценки 237 Показать, что оценка неизвестной дисперсии с помощью статистики Яг более эффективна, чем оценка, вычисляемал по одной из выборок. — и~Х1+ игХг 19.150. Найти распределение статистики Х = и|+ иг 19.151. В условиях задачи 19.149 показать, что статистика Х1 — Хг — (т~ — тг) имеет распределение Стьюдента с и1 + иг — 2 степенями свободы. 19.152. Методом моделирования получить 25 выборок объема 15 из генеральной совокупности с нормальным распределением Ф(3, 3). Для каждой выборки найти выборочное среднее х.
Полученные данные представляют 25 выборочных значений статистики Х. Выполнить следующие задания: 1) Найти распределение рассматриваемой статистики. 2) Представить выборочные значения в виде гистограммы частот. 3) Найти оценки математического ожидания и дисперсии данной статистики и сравнить их с теоретическими значениями. 19.153 (продолжение). Для каждой из выборок предыдущей за- 2 дачи найти выборочную дисперсию по формуле Я = — 7 (х;— и3=1 — т), где и = 15, а т = 3. Используя выборочные значения 2 статистики оог, выполнить задания к задаче 19.152.
19.154 (продолжение). Решить задачу 19.153 для выборочной у — г дисперсии эг = — г (х; — х) . и — 1 19.155 (продолжение). Решить задачу 19.153 для статистики Х вЂ” т 87;/и 3 3. Интервальные оценки 1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности.
Прн статистической обработке результатов наблюдений часто необходимо це только найти оценку д неизвестного параметра д, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вво,дится понятие доверительного интервала. Гл. 19. Математическая статистика 238 Доверительным интервалом для параметра д назьтается интервал (дм дг), содержащий (накрывающий) истинное значение д с заданной вероятностью р = 1 — о, т.е. Р [дг < д < 02] = 1 — сг, Число 1 — сг называется доверительной вероятностью, а значение а — уровнем значимости.
Статистики 01 — — дг(хы ..., х„) и 02 = 02(хм ..., х„), опРеделнемые по выбоРке хм ..., х„из генеРальной совокупности с неизвестным параметром О, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. Условие (1) означает, что в большой серии независимых зкспериментов, в каждом из которых получена выборка объема и, в среднем (1 — о) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра д. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки п и доверительной вероятности 1 — сс при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице — увеличивается.
Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 — сг, равные 0,90; 0,95; 0,99. При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий Р[0 < 02] = 1 — О или Р[дг < 0] = 1 — сг. Эти интервалы называются соответственно левосторонними и иравосторонними доверительными интервалами. Чтобы найти доверительный интервал для параметра д, необходимо знать закон распределения статистики д = 0(хы ..., х„), значение которой является оценкой параметра д. При атом для получения доверительного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки и и заданной доверительной вероятности 1 — сг в качестве оценки д параметра д следует брать эффективную либо асимптотически аффективную оценку.
Один из методов построения доверительных интервалов состоит в следующем. Предположим, что существует статистика У = У (О, 0) такая, что: а) закон распределения У известен и не зависит от д; б) функция У (д, О) непрерывна и строго монотонна по д. Пусть, далее, (1 — сг) — заданная доверительная вероятность, а у /г и уг /г — квантили распределения статистики 1' порядков сг/2 и 1 — сг/2 соответственно. Тогда с вероятностью 1 — сг выполняется неравенство (2) Уа/г < У (д, О) < У1-а/2 Решая неравенство (2) относительно д, найдем границы 01 и 02 доверительного интервала для д. Если плотность распределения статистики У 3 3.
Интервальные оценки 239 симметрична относительно оси 09, то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распределение несимметрично, то длину, близкую к наименьшей. Пример 1. Пусть хм хэ, ..., х„— выборка из нормально распределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна оэ, а доверительная вероятность равна 1 — о.
а В качестве оценки математического ожидания т возьмем выбо- 1 речное среднее х = — 7 х,. Для нормально распределенной генеральи ной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т (см. пример 3 из ~2). Выборочное среднее Х в данном случае имеет нормальное распределение М(т, а/,/и). Х вЂ” т Рассмотрим статистику У =, нмеюшую нормальное распрео),/т~ деление дг(0, 1) неаависимо от значения параметра т. Кроме того, У как функция т непрерывна и строго монотонна. Следовательно, Р [и ~ < И < и 7~] = 1— где и„уэ и и~ ~э — квантили нормального распределения М(0, 1). Решая неравенство Х вЂ” т иауэ < ~ — ( и1 — а/2 относительно т, получим, что с вероятностью 1 — а выполняется следу- юшее условие; о и Х вЂ” — и) уг <т<Х вЂ” — и ~э. ~/и,/п Так как квантилн нормального распределения связаны соотношением и Гэ — — — и~ „7э, полученный доверительный интервал для т можно ааписать следуюшим образом: и и Х вЂ” — иг ~г ( т ( Х+ — и, 1э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
