341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 44
Текст из файла (страница 44)
~/ и ~/ и В задачах 19.156-19.175 предполагается, что выборка объема и получена из генеральной совокупности, имеюшей либо нормальное распределение ру(т, сг), либо распределение, достаточно близкое к нормальному. 19.156. Показать, что если дисперсия генеральной совокупности п~ неизвестна, а в качестве оценки дисперсии используется 240 Гл.19. Математическая статистика 1 статистика я = ~у (х, — х), то при доверительной верояти — 1 ности 1 — сг доверительный интервал для математического ожидания т имеет вид я я х — — 1, 72(и — 1) < т < х+ — 1~ 72(и — 1), ~/и ,/п где 1, „72(п — 1) — квантиль распределения Стьюдента с п — 1 степенью свободы.
Выборочные оценки в задачах 19.157-19.160 определялись по результатам и наблюдений. Используя эти данные, а также результаты примера 1 и задачи 19.156, найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) следующих характеристик: 19.157. Емкость конденсатора, если х = 20 мкФ, п = 16, среднеквадратичное отклонение известно и равно 4мкФ. 19.158. Время безотказной работы электронной лампы, если х = 500, п = 100, среднеквадратичное отклонение известно и равно 10 ч.
19.159. Диаметр вала, если х = 30 мм, и = 9, е~ = 9 мм~. 19.160. Содержание углерода в единице продукта, если х = 18 г, и = 25, е~ = 16 г~ 19,161. Методом моделирования получить 10 выборок объема 25 из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение Ф(5, 1). Для каждой выборки найти доверительный интервал для математического ожидания т, считая, что дисперсия генеральной совокупности известна и равна 1. Доверительную вероятность принять равной 0,9. Какая часть из полученных интервалов накроет параметр т = 5? 19.162 (продолжение). Решить предыдущую задачу, считая, что дисперсия о~ генеральной совокупности неизвестна. 19.163 (продолжение). Решить задачи 19.161 и 19.162 при доверительной вероятности 0,99.
19,164~. Пусть из одной генеральной совокупности получены две выборки объемов п, и пэ соответственно. Выборочные оценки средних и дисперсий по этим выборкам равны Хи Хэ, я~э, ф Объединенные оценки среднего и дисперсии по выборке объема и~ + пг вычисляются по формулам — п~Х~ + пзХг 2 (п~ — 1) Я~ + (пэ — 1) Я п~+пг ' п~+пэ — 2 Показать,что если дисперсия генеральной совокупности известна и равна оз, то доверительный интервал для среднего определяется 'з 3.
Интервальные оценки 241 следующим образом: н н Х— <'1-а/г < гп < Х + "11 — а/2 ! и! +нг н1+ нг если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, ог = Я~, то доверительный интервал для среднего определяется так: Я Х вЂ” ~, 1) + — 2)< < щ .~.
Я < Х+ а/2(и) + иг — 2). Н! + Нг Для уточнения характеристик, приведенных взадачах 19.157 — 19.160 проделаны повторные эксперименты и получены новые выборочные оценки. Используя объединенные выборочные оценки (см. задачу 19.164), найти 90% и 99%-ные доверительные интервалы для среднего (задачи 19.165-19.168). 19.165. Емкость конденсатора, если п = 9, х = 18 мкФ.
19.166. Время безотказной работы электронной лампы, если и = 64, х = 480 ч. 19.167. Диаметр вала, если и = 16, х = 29 мм, вг = 4,5 ммг. 19.168. Содержание углерода в единице продукта, если и = 9, х = 18,8г, вг = 20гг. 19.169*. Показать, что если т известно, а оценка дисперсии Равна )г = во —— — 2 (х; — т), то довеРительный интеРвал длЯ дисперсии при доверительной вероятности 1 — с!имеет вид нво 2 2 Пво 2 < О Х1-а/2( ) Ха/2( где Хвг(п) — квантиль РаспРеделениа Хг с н степенЯми свободы. 19.170. Показать, что если т неизвестно, т = х, а дг = вг = (х1 — х), то доверительный интервал для дисперсии — 2 1 и — 1 при доверительной вероятности 1 — сл имеет вид (и — 1) ег (н — 1) вг 2 2 Х! — а/2( ) Ха/2(~ 1) При решении задач 19.171-19.173 используются доверительные интервалы для дисперсии, полученные в задачах 19.169 и 19.170.
19.171. По данным задачи 19.167 найти 90% и 95%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 242 Гл. 19. Математическая статистика 19.172. По данным задачи 19.168 найти 90% и 99%-ный доверительные интервалы для дисперсии. 19.173. Результаты 10 измерений емкости конденсатора прибором, не имеющим систематической ошибки, дали такие отклонения от номинала (пкФ): 5,4; -13,9; -11; 7,2; — 15,6; 29,2; 1,4; — 0,3; 6,6; -9,9. Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонении. 19.174.
Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определенная по результатам намерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна х = 10 кОм. а) Считая, что дисперсия намерений известна: <г~ = 1кОмг, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах 10*0,1кОм. в) Сколы<о измерений нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах 10 х 0,1кОму 19.175. Дли определения вертикального угла ориентира используют среднее арифметическое нескольких замеров угла при помощи секстанта. Длн углов, измеряемых секстантом, с. к. о.
принимается равным <г = 1,5'. Найти количество замеров, которое нужно произвести, чтобы: а) погрешность результата с вероятностью 0,99 не превосходила 1', б) погрешность результата с вероятностью 0,95 не превосходила 1,5'. В задачах 19.176-19.182 рассматриваются две независимые выборки объемов и, и пг из генеральных совокупностей с распределениями Ж(т1, <г1) и Ф(тг, ог). х1 и хг — выборочные средние, а я1 и аг — выборочные дисперсии, вычисляемые по этим выбор- 2 2 вам.
19.176*. Показать, что если дисперсии обеих совокупностей известны, то доверительный интервал для разности средних т1 — тг определяется формулой: сг <гг (Х1 — Хг) — и1 е12 — + — < т1 — тг < п1 п2 <Г1 г г < (Х1 — Х2) + Ю1-а/2 + пг 19.177*. Пусть <г~~ = <тг~ = <тя, величина ог неизвестна, а в качестве оценки <гг используется статистика (п< — 1) я, + (пг — 1) аг п1+ пг — 2 з 3. Интервальные оценки 243 Показать, что доверительный интервал для разности средних т1 — тг определяется формулой 1 1 (х1 — х2) — 11 „/2(т11 + т12 — 2)а — + — < О1 Яг 1 1 < гп1 — тяг < (Х1 — хг) + 11- /г(я1 + яг — 2) а — +— п1 пг 19.178. Рассматривается случайная величина Я = Х вЂ” У, где Х и У вЂ” независимые случайные величины.
Выборочные оценки для Х и У определялись по результатам п1 = 16 и иг = 36 наблюдений соответственно. Найти 95%-ный доверительный интервал длн математического ожидания Я, если х = 10, у = 4, ог. и о~~ известны и таковы: и = 1, ог = 4. 19.179. Амплитуда колебаний определялась двумя лаборантами.
Первый лаборант по 10 наблюдениям получил среднее значение амплитуды Х1 — — 81мм, а второй по 15 наблюдениям — среднее значение хг = 84мм. В предположении, что дисперсии измерений известны и равны 111 = 64мм и 1тг~ = 81мм для первого и второго лаборанта соответственно, найти 99%-ный доверительный интервал для разности средних Х1 и Хг. Можно ли считать, что результаты лаборантов действительно различаются? 19.180. Из большой партии диодов были взяты две выборки с интервалом в один меснц. Результаты измерения времени восстановления у диодов первой выборки (нс): 51, 62, 53, 52, 63. Выборочное среднее и дисперсия времени восстановления для 7 диодов второй выборки: хг = 60,3, аг г— — 36,06. а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего по паиным первой выборки.
б) Найти 99%-ный доверительный интервал для изменения среднего в течение месяца в предположении, что дисперсия времени восстановления диодов за этот период времени не изменилась. Можно ли считать, что среднее времени восстановления не изменилось? 19.181*. Показать, что доверительный интервал для отношения дисперсий определяется формулой г 2 2 2 ~е/2(~2 11 ~1 1) < 2 < 2 ~1 — а/2(я2 11 111 1)~ а2 '12 а2 где Гр(пг — 1, я1 — 1) — квантиль распределения Фишера с пг — 1 и и1 — 1 степенями свободы порядка р. 19.182. Найти 90%-ный доверительный интервал для отношения дисперсий по данным задачи 19.180.
Гл. 19. Математическая статистика 244 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра Л распределения Пуассона. Если распределение генеральной совокупности не является нормальным, то в отдельных случаях по выборкам большого объема можно построить доверительные интервалы для неизвестных параметров приближенно, используя прн атом предельные теоремы теории вероятностей (см. главу 18, 3 5) и вытекающие нз них асимптотическне распределения и оценки. Пример 2. Пусть в и независимых испытаниях успех наступил х раз. Найти доверительный интервал для вероятности р успеха в одном испытании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
