341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Какой минимальный объем выборки и следует взять в условиях примера 1, чтобы при проверке гипотезы Но. т = 10 л против альтернативной гипотезы Н|, пэ = 9л ошибка первого рода была равна сг = 0,01, а ошибка второго рода не превышала 0,1? Какова критическая область в этом случае? а Так как в альтернативной гипотезе Н1 предполагается меньшее значение параметра ги, то критическая область К, определяется нера- 3 4. Проверка статистических гилотеэ 263 венством Х < х„.
По условию задачи имеем: Р[Х<х„/Но, 'го=10]=Ф ™ 10 =0,01, ь/4/я / Р[Х >х,/Нн т=9) =1 — Ф " <01. ~/4/п / Эту систему можно записать так: х„— 10 2 ~/я = оо,о1 = — 2,326, х„— 9 ~/я > оо,о = 1,282. 2 Исключая х„получим, что и > 53. Подставляя наименьшее значение я в первое уравнение системы, найдем границу критической области: х, = 10 — ' = 9,361. 2 2,326 ,/63 Следовательно, критическая область $' определяется неравенством Х < 9,361. ~> 19.199.
Станок-автомат изготовляет шарики диаметром 10 мм. Продукция станка контролируется по величине Х вЂ” отклонению диаметра шарика от номинального размера 10мм. Предположим, что Х вЂ” нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием тя и дисперсией от = 0,1ммт. Рассмотреть следующие гипотезы: НО~: тя=О, Н(2): тФО Н~4~: материал, используемый для изготовления шариков, содержит специальные присадки.
Определить, какие из гипотез Н~Π— НРО являются статистическими, какие статистические гипотезы являются простыми, а какие сложными? 19.200. При подбрасывании монеты 10 раз герб выпал Х раз. Классифицировать следующие гипотезы: Н~11. Х имеет биномиальное распределение В [10, 1/2); Нот1: Х имеет биномиальное распределение В (10, р), причем 1/3 < р < 2/3; 254 Гл. 19. Математическая статистика Нйй Р ~Х < 3] > 1/2 Н(Я): монета не симметрична. 19.201.
Считается, что новое антикоррозийное покрытие имеет эффективность 99%, если среди 20 испытанных образцов нет ни одного с признаками коррозии; в противном случае эффективность покрытия принимается равной 90%. Пусть р — вероятность появления признаков коррозии у одного образца. Предположим, что образцы обрабатываются и испытываются независимо один от другого. Рассмотрим нулевую гипотезу Но .
р = 0,10 и альтернативную гипотезу Н1 . р = 0,01. Ответить на следующие вопросы: а) Какая статистика критерия используется в данной задаче, каковы ее распределение и область изменения? б) Какова критическая область критерия? в) В чем состоят ошибки первого и второго рода и чему равны их вероятности? 19.202. В каких случаях и какого рода ошибка допущена при проверке гипотезы Но при помощи некоторого критерия, если: а) Но верна, но должна быть отвергнута согласно критерию; б) Но неверна, но должна быть принята согласно критерию; в) Но верна и должна быть принята согласно критерию; г) Но неверна и должна быть отвергнута согласно критерию? 19.203.
Наблюдаемый объект может быть либо своим, либо объектом противника. Система обнаружения относит объект к одному из классов по результатам нескольких замеров определенных характеристик. Сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы, если в результате ошибки первого рода происходит «пропуск цели».
В чем состоит ошибка второго рода? 19.204. Проверка функционирования устройства осуществляется специальным тестом. Если устройство функционирует правильно, то вероятность прохождения теста равна 0,99; в противном случае вероятность прохождения теста равна 0,40. Устройство допускается к работе, если тест проходит 5 раз подряд. В предположении, что число прохождений теста подчиняется биномиальному распределению, ответить на следующие вопросы: а) Какова область изменения и критическая область статистики критерия? Какое распределение имеет статистика критерия? б) Как сформулировать нулевую гипотезу, если ошибка первого рода состоит в отклонении правильно функционирующего устройства? в) Какова альтернативная гипотеза и в чем состоит ошибка второго рода? г) Чему равны вероятности ошибок первого и второго рода? З 4. Проверка статистических гипотез 255 19.206.
Большая партия изделий может содержать некоторую долю дефектных. Поставщик утверждает, что эта доля составляет 5%; покупатель предполагает, что доля дефектных изделий равна 10% Условия поставки; из партии случайным образом отбирается и проверяется 10 изделий; партия принимается на условиях поставщика, если при проверке обнаружено не более одного дефектного изделия; в противном случае партия принимается на условиях покупателя.
Сформулировать зту задачу в терминах теории проверки статистических гипотез и ответить на следующие вопросы: а) Каковы статистика критерия, область ее значений, критическая область? б) Каное распределение имеет статистика критерия? в) В чем состоят проверяемая и альтернативная гипотезы? г) В чем состоят ошибки первого и второго рода и каковы их вероятности? 19.206. Из продукции автомата, обрабатывающего болты с номинальным значением контролируемого размера то = 40 мм, была взята выборка болтов объема я = 36. Выборочное среднее контролируемого размера х = 40,2 мм. Результаты предыдущих измерений дают основание предполагать, что действительные размеры болтов образуют нормально распределенную совокупность с дисперсией о~ = 1 мм~.
Можно ли по результатам проведенного выборочного обследования утверждать, что контролируемый размер в продукции автомата не имеет положительного смещения по отношению к номинальному размеру? Принять ст = 0,01. Какова критическая область в этом случае? 19.207. Предположим, что в условиях задачи 19.206 партия болтов с номинальным размером то = 40мм бракуется, если выбо' очное среднее контролируемого размера будет больше 40,1мм. айти вероятности ошибок первого и второго рода при альтернативной гипотезе Н1 . тп = 40,3, если решение принимается по выборке объема п = 36. 19.208. Решить задачу 19.207, если партия болтов бракуется при выполнении одного из неравенств х ) 40,1 мм и т < 39,9 мм, где х — выборочное среднее контролируемого размера. 19.209.
В условиях задачи 19.207 для проверки гипотезы Но . гп = 40мм против альтернативной гипотезы: Н1 . т = 40,3мм предлагается выбрать такую критическую область Г: 40,15 < < х < 40,20. Найти вероятности ошибок первого и второго рода. Показать зги ошибки на графиках плотностей распределения статистики Х: у 1х/Но) и у (х/Н1). 19.210. В условиях задачи 19.206 какой минимальный объем выборки и следует взять, чтобы при проверке гипотезы Но .
тп = ~ 40мм против альтернативной гипотезы Н,: т = 40,3мм при Гл. 19. Математическая статистика 256 вероятности ошибки первого рода сг = 0,10 вероятность ошибки второго рода не превосходила 0,10? Какая критическая область соответствует этим условиям при объеме выборки я? Проверка статистических гипотез с использованием критериев значимости может быть проведена на основе даееротеяднь х интерааяаа. При этом одностороннему критерию значимости соответствует односторонний доверительный интервал, а двустороннему критерию значимости — двусторонний доверительный интервал.
Гипотеза На принимается, если значение 0а накрывается соответствующим доверительным интервалом; в противном случае гипотеза На отклоняется. Если проверяется гипотеза На. Ог — — 0г, то рассматривается доверительный интервал для разности 0г — 0г. Гипотеза На принимается, если доверительный интервал для разности параметров 0г — 0 накрывает ну'левое значение. Исключение составляет проверка гипотезы о равенстве дисперсий На . а, = аг, так как доверительный интервал строится для г г отношения дисперсий, то гипотеза Нд в этом случае принимается, если доверительный интервал накрывает значение, равное единице. П р и м е р 4.
В условиях примера 1 проверить гипотезу На .. т = 10 л при альтернативной гипотезе Нг . ти ( 10л на уровне значимости а = = 0,05, используя доверительный интервал для параметра гя. < Найдем границу тг левостороннего доверительного интервала ( — оо, тг) для параметра т при доверительной вероятности 1 — сг = = 0,95(ЭЗ, п.1). Используя выборочное среднее У = 9,3 и значение квантили па да = 1,645, получим а 2 тг = х + — и~ — — 9,3+ — 1,645 = 9,958. Так как значение т = 10 не накрывается интервалом ( — оо; 9,958), та гипотезу На следует отклонить, что совпадает с результатом, полученным при решении примера 1, г 19.211.
Решить задачу 19.206, используя доверительный интервал для параметра т. В задачах 19.212-19.244 предполагается, что выборки получены из генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение, либо распределение, достаточно близкое к нормальному. При решении этих задач следует использовать данные о критериях значимости, приведенные в таблицах 4.1 и 4.2. 19.212. В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы для приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 часов со среднеквадратичным отклонением (с.
к. о.) 100 часов. Выборочное среднее времени безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалось равным 970 часам. Предположим, что с.к.о. времени безотказной работы для приборов в выборке совпадает с с. к. о. ва всей партии. Можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если: а) сг = 0,10; б) сг = 0,01? ° О и н 4» ' а о х о х о о н о х ох о о. х о н а н, х н о о д оо 0'х а е »« е о~ о и и о о х е н х х н о х он о 4»н» а н О» х но »« й х о ' Я Охо хоо 4 Х н о х о х н х о х 4 Ях Х н Р» а н о а о 4 х о н »« но ь ь ь !! $ 5 о Ж Х .4 ой н о ох х о н х х о. х д оа н й н д о о 4 х х о о о н н о х о, х 4 о й ох ~Я а о ь Л е х ч ' Ю1' е х %1т 4« е х 781- о о »«е л Ц, »« А о !« о ь е х й й !! 'Е Е 'ь «» е '4« Ь, о)ой о но «» о» о о о» ! ь л е ь Ь„ »« о(но е но! о но о л о о о» о р Й)«~~~с !! !! ЕБ ЕЯ Я Б И о м й ф н Д~ р М 14 И й а Я 63 и О Ф о н Р' Ы Я 1 о ы О 6 о Р\ ы Ф Р Ь~ М Ф н п И $ 6 и х И РЭ Е л !й 1 ~ !к ь сч к х ь + к !й !й ьь ь !Н 1 !Ч + х— ь ~~ д а а ьь % + н + х со П х о н ь .
ьо оь х П П а кьь М х оРо кок д ь х н о х о х х П Е ь д о ° н одо Е П Е до о н р, дн н к д о х ан к х д н хдхк ан Н н о додда нЕх нкк ока~Як к к к о аа д о н х д И о хх охо н д ао, нкдк 'о К к а Онкк х о, д к д к ьь к ь н 1 И " хн л .-+ 1к х \й ч к о д хдкдП кхн -к аон- ькккь Е-" ! П «ь -к ++ + «1 ="ь.- „к к П х о о .ь н'н д „и . кдкБПд П П кхн к доо но ьйккьо ь ь д о о к к ь х о д о х х о х а к к о х о ьп к к Э 4. Проверка статистических гипотез 261 19.213.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
