341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 45
Текст из файла (страница 45)
< Эффективной оценкой вероятности успеха р в одном испытании является относительная частота р = Ь = х/Ь (см. задачу 19.115). По теореме Муавра — Лапласа (гл. 18, 35, п.2) относительная частота Ь имеет асимптотически нормальное распределение М(р, ь/щ/и), где д = 1 — р.
Рассмотрим статистику ГГ = (6-р)/~/щ/п, которая, следовательно, имеет асимптотически нормальное распределение М(0, 1) независимо от значения р. При больших и тогда имеем 6 †Р<и! уг в1 — гг. / рд/а Отсюда получаем, что с вероятностью 1 — гг выполняется неравенство Ь вЂ” и1 а(г)~ — „< Р < 6+и, а~г)) —. /рч (3) Заменяя значения р и д в левой и правой частях неравенства (3) их оценками р = Ь н д = 1 — Ь, получаем, что доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли приближенно имеет вид Ь (1 — 6) Ь (1 — 6) Ь вЂ” и1-агг < р< 6+иг-агг .
1> (4) П р и м е р 3. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. а) Найти 95 %-ный приближенный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии. б) Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля бракованных деталей по всей партии отличаетсл от частоты появления бракованных деталей в выборке не более чем на 1%2 < а) Оценка доли бракованных деталей в партии по выборке равна р = = Ь = 10/100 = 0,1. По таблице П1 находим ввантиль иг агг — — ио ага = = 1,95. По формуле (4) 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей в партии приближенно имеет вид 0,041 < р < < 0,159.
9 3. Интервальные оценки 245 б) Представим доверительный интервал (4) в виде неравенства Ь (1 — 5) Р| < о2-а/2 которое выполняется с вероятностью 1 — 57 = 0,95. Так как по условию задачи ) Ь вЂ” р ! < 0,01, то для определения п получим неравенство 5 (1 — Ь) О9,975 < 0,01. я Отсюда следует, что 1,96 ' ' < 0,01 н я > (0,3 196)2 = 3457,44. Значит, минимальный объем выборки я = 3458.
~> 19.183. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов козффициент усиления оказался меньше 10. Найти '95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии. 19.184. С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причем 10 оказалось бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что вероятность появления бракованного подшипника не отличается от частоты более чем на 5%? 19.185.
В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0,99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не более чем на 1%? 19.186. При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 поврежденных. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли поврежденных ящиков во всей партии.
19.187. Из урны, содержащей неотличимые на ощупь черные и белые шары в неизвестной пропорции, случайным образом извлекается 100 шаров (с возвращением). Найти: а) 90%-ный и 6) 95%-ный доверительные интервалы для доли черных шаров, если среди вынутых шаров оказалось 30 черных. Гл. 19.
Математическая статистика 19.188. Для проверки утверждения о том, что вероятность от- каза прибора р равна 0,01, было проведено испытание 100 при- боров, при этом один из приборов отказал. Построить 95%-ную верхнюю границу одностороннего доверительного интервала для р по этим данным. 19.189*, Пусть х1, ..., х„— выборка из генеральной совокуп- ности с конечным математическим ожиданием т и дисперсией а~.
Показать, что если пэ известна, то доверительный интервал для т при достаточно больших я приближенно имеет вид сг 0' х — и ~/2 — < т < х+ и1 ,/и 1/ О 19.190о. Пусть х1, ..., х„ — выборка из генеральной совокуп- ности, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параме- тром Л. Показать, что при достаточно больших я доверительный интервал для параметра Л приближенно имеет вид /х и1-а/2 ~/ < Л < х+ и1-а/2 )/ \/я я 19.191.
На каждой из 38 АТС города в период с двух до трех часов было зафиксировано в среднем 2 вызова. Считая, что число вызовов для каждой АТС имеет распределение Пуассона с одним и тем же параметром Л, приближенно найти доверительный интер- вал для Л с доверительной вероятностью 0,9.
19.192. Среднее число сбоев в сутки для 100 ЭВМ одного типа равно 2,3. В предположении, что число сбоев имеет распределение Пуассона с параметром Л, приближенно найти 95%-ный довери- тельный интервал для Л. 3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р. Пусть выборка (х„р1), ю' = 1,2,..., я, получена из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение, и т — выборочный ко- эффициент корреляции, вычисляемый по формуле (12) э 1. При доста- точно больших я статистика 1 1+т Я = — !и — = АггЬт 2 1 — т имеет приближенно нормальное распределение Х Аггй т, Доверительный интервал для Аг1Ь р имеет вид АггЬ т — < АгсЬ р < АгсЬ т+ (5) ч/я — 3 с/ т1 — 3 Доверительный интервал для р вычисляется с помощью таблиц гипербо- лического тангенса р = 1Ь э (см. таблицу П8).
з 4. Проверка статистических гипотеэ 247 П р и м е р 4. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, г = — 0,64. Найти 90%-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции р. э Из таблицы П8 находим АгсЬ ( — 0,64) = — АггЬ 0,64 = — 0,76. Так как ио,эь = 1,645, то доверительный интервал для АгтЬ р по формуле (5) имеет вид — 0,76 — ' < Аггй р < — 0,76+ 1,645 1,645 ч~ТΠ— 3 /10 — 3 — 1,38 < АгСц р < — 0,14. Снова обращаясь к таблице П8, получим 90%-ный доверительный ин- тервал для коэффициента корреляции: — 0,881 < р < — 0,139. ~> Построить доверительные интервалы для коэффициентов корреляции двумерной нормально распределенной совокупности по следующим данным: 19.193.
т = 0,687, и = 50, 1 — сг = 0,95. 19.194. т = 0,71, и = 28, 1 — сг = 0,95. 19.195. т = -0,65, и = 12, 1 — сг = 0,99 и 1 — сг = 0,95. 19.196. т = 0,14,п = 300, 1 — сг = 0,99 и 1 — гг = 0,95. 19.197. г = -0,36, и = 28, 1 — сг = 0,99 и 1 — сг = 0,95. 19.198. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляции по выборке, полученной в задаче 19.79 при 1 — сг = 0,9. 3 4. Проверка статистических гипотез 1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генералъной совокупности.
Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной совакупности. В частности, такого рода задачи возникают при сравнении различных технологических процессов или методов обработки по определенным измеряемым признакам, например, по точности, производительности н т.д.
Пусть Х вЂ” наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная величина. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины Х. Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х; в противном случае гипотеза Н называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону Аг(0, 1), если же высказывается предположение, что случайная величина Х имеет нормальное распределение Ф(т, 1), где 248 Гл. 19. Математическая статистика а < п« < 6, то это сложная гипотеза. Другим примером сложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина Х с вероятностью 1)3 принимает значение из интервала (1; 5); в атом случае распределение случайной величины Х может быть любым из класса непрерывных распределений.
Часто распределение случайной величины Х известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются пара>«стричсскиэ«и. В этом параграфе (за исключением п.5) рассматривается проверка параметрических гипотез. Методы проверки гипотез другого типа (например, о виде распределения, независимости и др.) приводятся вэбиэб. Проверяемая гипотеза называется нулевой еипоп«евой и обозначается Но. Наряду с гипотезой Но рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез Н,. Например, если проверяется гипотеаа о равенстве параметра 0 некоторому заданному значению Во, т.с. Но.
0 = Во, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: Н,: 0 > Во) Н,: В < Во, Н,: 0 ~ Во, О) )э) )з) Н,: В = 04, где 04 — заданное значение, 04 ф Во. Выбор альтернатив- (4) ной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Но, называется крив>ерисэ«К, Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины Х, необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статисп«ихой Я крктерил К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
