341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Математическая статистика 226 < х = — ! е г пс = Ф(х). ~(2к ! я(2к ! 1пп Р где Ф(х) — функция распределения нормального закона Ж(0, 1). Если для параметра д существует аффективная оценка, то метод максимального правдоподобия дает именно зту оценку и другой МП-оценки не существует. Пример 3. Найти МП-оценки математического ожидания гп и дисперсии аг нормально распределенной генеральной совокупности. < Пусть хы хг, ..., х„— выборка наблюдений случайной величины Х с плотностью распределения г 1 ( (х — т)г) уя(х, т, а ) = ехрс(— ~сг2т а ( 2аг Найдем функцию правдоподобия Е (т, аг).
По формуле (7) имеем и с (. т)гг Ь(т,а )=П ехр( — ' ) = ~(2т а 2аг 1 ) ~ (х; — т) (2т)ь/гагг 2аг Логарифмическая функция правдоподобия отсюда равна , ~(*- )' !пав(т, аг) = — — !п2т — — 1паг— 2 2 2аг Используя необходимые условия максимума 1и( (т, аг), получим си- стему уравнений для нахождения МП-оценок: д1пс,(т, сгг) 1 дт аг 2.~ (9) д!пЬ(гп, сгг) и 1 = — — + — 7 (х; — т) =О. дсгг 2сгг 2ав " При выполнении некоторых достаточно общих условий МП-оценки состоятельны, осимпгпотически эффективны и осимпгпогпически нормально распределены.
Последнее означает, что при увеличении объема выборки и для МП-оценки д„неизвестного параметра д выполняется условие З 2. Статистическое оценивание распределения по выборке 227 1 Из первого уравнения системы (9) находим т = — у х; = х. Подста- -2 вдяя это значение во второе уравнение, получаем б~ = — ) (х; — х) = Р*. Отметим, что выборочное среднее х нвляется несмещенной и состоятельной оценкой ги (см.
пример 1), а также эффективной оценкой в случае нормально распределенной генеральной совокупности (см. пример 2). Выборочная дисперсия Р„*является состоятельной и смещенной оценкой пэ (см. задачи 19.98 и 19.100). С При м ер 4. Найти МП-оценку параметра Л распределения Пуассона. <! Пусть хм ..., х„— выборка наблюдений случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона с неизвестным параметром Л, т.е. Р!Х=х) = — е л* х! где х принимает неотрицательные целочисленные значения, х = О, 1, 2, ...
Функция правдоподобия Р (Л) выборки объема и определяется по формуле (8): Л*, Л'* Ь(Л) = Д вЂ”,е =, е "". х,. ! х~! хэ! ...х„! 1=1 Найдем логарифмическую функцию правдоподобии: !пР(Л) = — !п(х~! х,!) + (~ х;) 1пЛ вЂ” Ли. Используя необходимое условие экстремума, получим уравнение длн опре- деления МП-оценки: — 0 дЛ Л 1ч Отсюда следует, что Л = — у х, = х. и Полученная МП-оценка являетсн несмещенной и состоятельной оценкой Л (пример 1), а также эффективной оценкой этого параметра (задача 19.114), !> 19.119*. Найти МП-оценку параметра сг по выборке объема и из йормально распределенной генеральной совокупности с известным математическим ожиданием т. Показать, что полученная оценка нвляется смещенной. 228 Гл. 19. Математическая статистика 19.120.
Пусть х -- наблюдаемое значение случайной величины, имекпцей биномиальное распределение В (я, р), или, другими словами, т — число «успехов«в и независимых испытаниях, причем р — вероятность «успеха«в одном испытании. Найти МП- оценку параметра р. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной. 19.121. Пусть ж -- число автолюбителей, заправившихся на данной станции в течение я часов.
Предположим, что число автолюбителей, подъезжающих на заправку, есть случайная величина Х, имеющая распределение Пуассона с параметром яЛ, где Л вЂ” ожидаемое число заправляющихся автолюбителей в течение одного часа. Найти МП-оценку параметра Л. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной. В задачах 19.122 и 19.123 по выборке жм жэ, ..., х„объема и найти МП-оценки параметров указанных распределений. Показать, что полученные оценки являются несмегценными н состоятельными. 19.122.
Показательное распределение Ех (1/Л). 19.123. Нормальное распределение У«' (т, 1). 19.124. Независимые случайные величины Хм Хэ, ..., Хг имеют биномиальные распределения соответственно В(я«, р), В (««э, р), ..., В (пы р). Пусть хм хэ, ..., хь — значения, которые приняли эти случайные величины в некотором эксперименте. Найти МП-оценку параметра р.
Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.125*. Пусть тм ..., тя — выборка нз генеральной совокупности, имеющей равномерное распределение В(а, б). Найти МП- оценки параметров а н б по выборке. 19.126. Случайная величина Х имеет плотность распределения э х(ж) йт при т Е [О, /2/Й ), эл(ж) = 0 при т ф (О, ~/2ф ]. Найти МП-оценку математического ожидания Х по выборке объема я. 19.127. При помощи я различных приборов получены я измерений случайной величины Х. В предположении, что Х имеет нормальное распределение, а дисперсия «-го измерения известна и равна «гэ, « = 1, 2, ..., и, найти МП-оценку математического ожидания т случайной величины Х.
Показать, что полученная оценка является несмещенной, и вычислить ее дисперсию. 19.128. Длина ( объекта измерялась независимо друг от друга двумя приборами. Оба прибора дают при измерении случайные З 2. Статистическое оцениваиие распределения по выборке 229 ошибки, имеюшие нормальное распределение со средним, равным нулю, и дисперсиями сг~! и !г~~.
Найти МП-оценку (, если первым прибором сделано и! измерений, а вторым — пт измерений. 19.129. Отказ прибора произошел при !с-м испытании. Найти МП-оценку вероятности отказа р при одном испытании и вычислить ее математическое ожидание. 19.130в. Для тога чтобы событие А произошло ровно х раз, было проведено гг испытаний (гг > х).
Найти МП-оценку вероятности р появления события А в одном испытании, 3. Метод моментов. Для получения оценок неизвестных параметров В!, Вю ..., О, распределения генеральной совокупности Х часто используется метод моментов, состоящий в следующем. Пусть у„(х, О!, Вю..., В,) — плотность распределения случайной величины Х. Определим с помашью атой плотности в каких-либо моментов случайной величины Х, например первые в начальных моментов, по формулам „(0,,0,) =М[Х") = х~Ух(х, 0!,..., В,) Вх, т = 1, 2, ..., в. По выборке наблюдений случайной величины найдем значения соответствуюших выборочных моментов: Попарно приравнивая теоретические моменты о случайной нели- чины Х их выборочным значениям о', получаем систему в уравнений с неизвестными Вг, ..., О,: о !(0!, ..., О,) = о"„, гп = 1, 2, ..., в.
Решая полученную систему относительно неизвестных Вг, ..., В„находим оценки 0!, ..., О, неизвестных параметров. Аналогично находятся оценки неизвестных параметров по выборке наблюдений дискретной случайной величины. Пример 5. Методом моментов найти опенки неизнестных параметров о и 5 для Г-распределения с плотностью х<0 О, -! -ь* — х' е *, х>0. Г (а) Гл, 19. Математическая статистика 230 а Для нахождения оценок параметров а и 6 по методу моментов воспользуемся начальным моментом первого порядка (математическим ожиданием) и центральным моментом второго порядка (дисперсией): а а1(о,6) =т= —, 6' (10) дт(а, 6) = п~ = —.
По выборке хм ..,, х„из генеральной совокупности, имеющей Г-распределение, находим значения соответствующих выборочных моментов: а, =х= — ~ х„ 1 (12) и *, 1 д1 = В'„= — у (х; — х) . (13) а а — =х, — = 0' 62 К~ — 2 решая которую, находим й = — „, 6 = —, с 0„". ' В„" 19.131.
В я независимых испытаниях событие А произошла х раз. Методом моментов найти оценку вероятности р появления события А в одном испытании. В задачах 19.132-19.135 по выборке хм хт, ..., х„объема я найти оценки параметров указанных распределений, используя метод моментов. 19.132. Пуассоновское распределение с параметром Л.
19.133. Нормальное распределение Ж (т, сг). 19.134. Показательное распределение Ех (Л). 19.135. Распределение Х~()с). 19.139. Используя таблицу случайных чисел (таблица П4), либо метод моделирования, получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (О, 10]. Методом моментов найти оценки параметров равномерного распределения., используя зти данные. 19.137*. Рассмотрим п систем с временами работы до первого отказа соответственно Хм ..., Х„. Предположим, что Хы ... ..., Х„ — независимые в совокупности и одинаково распределенные случайные величины с показательным распределением Ех (Л).
Приравнивая (10) и (12), (11) и (13) соответственно, получаем следующую систему уравнений: з 2. Статистическое оцениваяие распределения по выборке 231 Пусть, наконец, х;, 4 = 1, 2, ..., п, — измеренные значения времени отказа г-й системы (в часах). Используя метод моментов, найти оценку вероятности Р [Х~ > 1] того, что первая система будет работать бесперебойно в течение часа.
4. Распределения Хэ, Стьюдента и Фишера. Распределения основных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределениями 5С~(А), Стьюдента Т(к) и Фишера Р()сы йэ). Квантили этих распределений приведены в Приложении (таблицы Пб, Пб, П7). Приведем определения и некоторые свойства этих распределений. Распределением тэ с (с сгяепенями свободы называется распределение случайной величины С~()с), равной сумме квалратов Й независимых нормально распределенных по закону Л(0, 1) случайных величин Ц, 1 = 1, 2, ..., 1, т.е.
распределение случайной величины тэ(й) = (уэ + Распределение Сэ с й степенями свободы там, где это не вызывает недоразумений, будет обозначаться также Хэ(й). Плотность распределения у г(х) определяется формулой х<0, О, Ух'(х) = (ь-эрз -*р > 0 2ь/эГ График функции У а(х) приведен на рис. 31. Среднее и дисперсия распределения тэ()г) равны соответственно: М [,"~э(й)) = й, 0 (хэ()с)] = 2(с. 0,2 О,! О 5 Ю $5 20 Рис. 31 Распределение 1Сэ часто используется в статистических вычислениях, в частности, в связи со следующей теоремой. 232 Гл. 19.
Математическая статистика Теорема 2. Пусть хы хз, ..., х„— выборка из нормально распре- 1 деленной генеральной совокупности 20'(т, о), а х = — ~~ х; и дд = — 2 (х; — х) — соответственно выборочное среднее и вь(бои — 1 Е рочпал дисперсия. Тогда статистики Х и оз — независимые слуи — 1 чайные величины, причем статистика — Я имеет распределение 2 2 Х (и 1). Заметим, что если Х2(к() и Х2(кз) — независимые случайные величины, имеющие распределение Х2 с йз и )02 степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение Х2 с к) + йз степенями свободьс Х'А)+Х'%) =Х'Ж+йз) Распределение Х2(к) при больших значениях 10 (й > 30) с достаточной для практических расчетов точностью аппроксимируется нормальным распределением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
