341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В полете проведено еще 15 испытаний, в результате которых оценка дисперсии выходного напряжения оказалась равной 0,13 Вз. Есть ли основания полагать, что факторы, воздействующие на стабилизатор в полете, оказывают существенное влияние на его точность? Принять а = 0,10. 19.237 (сравнение дисперсий нескольких генеральных совокупностей). В таблице 4.3 приведены результаты измерений производительности 6 агрегатов и оценки дисперсий зт, 4 = 1, 2, ..., 6, этих измерений. Используя зги данные, проверить гипотезу о равенстве дисперсий от.
Принять сг = 0,10. Таблица 4.3 а Для проверки гипотезы Но . 'и, = пз = = пв воспользуемся 2 2, 2 критерием Бартлетта (таблица 4.1, нижняя строка). Предварительно вычислим 4 ° (0,46+ 3,37+ 1,22 + 0,33 + 0,31 + 0,22) в~в 4.6 1 ~ 1 1 с 1+ ~6. — — — - 1,097. 3 ° (6 — 1)~ 4 6 4) Гл.19. Математическая статистика 266 Выборочное значение г, статистики критерия равно: з, в [6 4 1п 0,98 — 4 (1п 0,46+ 1п 3,37 + 1и 1,22+ 1 1,097 +!пО,33+ 1п0,31+ 1п0,22)] 11,07.
По таблице П5 находим Хо зео(5) = 9,24. Так как выборочное значение статистики критерия превосходит квантиль Хе~ ао(5), гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. > 19.238. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий трех совокупностей, используя следующие результаты наблюдений: Принять сс = 0,05. 19.239. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий по приведенным ниже данным. а) Выборочные дисперсии, вычисленные по результатам трех серий независимых измерений концентрации (в процентах): а~~ — — 11,2, аз=15,8, аз =10,1, пс =10, па=7, па =12; принять сг = 0,10.
б) Выборочные дисперсии величины контролируемого размера (мкм), полученные по результатам выборок из продукции четырех станков, производящих одни и те же детали: 2 116 п~ — — 5, ат з= 4,33, п2 = 9~ аз = 217 3 > пз = 6, а~ = 6,41, 4 п4 В принять ст = 0,05.
Пусть проверяется гипотеза Не. 0 = 0о, а $~„— критическая область критерия с заданным уровнем значимости а. Функцией мощкосгли М (Ъ'„, 0) критерия называется вероятность отклонения гипотезы Но как функция параметра О, т.е. [3) З 4. Проверка статистических гипотез 267 Вероятность отклонения гипотезы Но при конкретном значении параметра д называется мощностью критери . Очевидно, М (Ъ'„, Во) = о.
Если альтернативная гипотеза Н| простая, причем Н1 . д = ды то мощность критерия равна 1 — 11, т.е. Обычно строят график функции мощяосши, вычисляя мощность критерия при нескольких значениях параметра д. Пример 5. Построить графики функции мощности критерия значимости в примере 2, если используется: а) выборка объема я = 25; б) выборка объема я = 100.
а а) Вычислим мощность критерия при нескольких значениях параметра т. Используя данные примера 2 ($',: Х ( 9,44, о~ = 4) и формулу (3), при и = 25 имеем М (Ъ;, от) = Р ГХ ( 9,44 ~ 1 = Ф 1 ,/4/25 ! ' Используя таблицу П1, получим следующие значения мощности критерия: б) Аналогично, при н = 100 получим такие значения мощности критерия: Графики функций мощности приведены на рис. 36. ь 19.240. По данным задачи 19.207 вычислить мощность критерия для значений т = 40,0; 40,1; 40,2; ...; 40,5 при условии, что решение принимается по выборке объема и = 36 и по выборке объема и = 100.
Используя зти результаты, построить график функции мощности. Гл.19. Математическая статистика 268 19.241. Найти мощность критерия, используемого в задаче 19.212, если альтернативная гипотеза предполагает среднее время безотказной работы 950 часов. Какого объема должна быть выборка, чтобы в этих условиях вероятность ошибки второго рода не превышала 0,1? У 60 0,8 0,6 0,4 02 0 85 90 9*5 $0 х Рис. Зб 19.242. Вычислить мощность критерия в задаче 19.214, считая, что дисперсия известна и равна «г~ = 1, для нескольких альтернативных гипотез Н1 . д = «11 при «11 = 10,1; 10,2; ...; 10,5, если: а) объем выборки «« = 100; б) объем выборки и = 16. Используя полученные результаты, построить график функции мощности критерия и найти вероятности ошибок второго рода при альтернативной гипотезе НБ «1» = 10,25. 19.243.
Вычислить мощность критерия в задаче 19.215 а), если альтернативная гипотеза предполагает номинал партии равным 9,5кОм. Какой объем выборки необходимо взять, чтобы ошибка второго рода не превосходила 0,01? 19.244*. Построить графики функции мощности критерия для задачи 19.215 а) при «« = 36 и и = 100. 2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распр еделеиия.
При статистическом анализе данных, связанных с повторными независимыми испытаниями (схемой Бернулли), обычно рассматривают два вида задач: сравнение вероятности «успеха» р в одном испытании с заданным значением ре и сравнение вероятностей «успеха» в двух сериях испытаний. В первом случае проверяется гипотеза Не .
р = ре. Пусть в и испытаниях по схеме Бернулли «успех» произошел з раз. В качестве статистики критерия выбирают относительную частоту Ь = х/и. При больших значениях я (и > 50) и при выполнении условий яЬ > 5, Э 4. Проверка статистических гипотез 269 а (1 — Й) > 5 распределение случайной величины 1) с достаточной для практических расчетов точностью аппроксимируется нормальным рас.р,--. жь,, р(1-яь), о „.~,„.- ° ° ° и. верна, то статистика г= (4) ~/ьо -вт1 имеет распределение, близкое к нормальному распределению Л(0, 1). Критическая область критерия при уровне значимости а определяется неравенствами 2, > и1 при альтернативной гипотезе Н, : р > ро, (2) 2, < и при альтернативной гипотезе Н, : р < ро, (2) !2, ! > и, 12 пРи альтеРнативной гипотезе Н,; Р ф Ро.
(з) Для проверки гипотезгл Но . р = ро также можно использовать доверительные интервалы для параметра р ЯЗ, п.2). При этом гипо- теза Но принимается на уровне значимости а, если соответствующий односторонний нли двусторонний доверительный интервал накрывает значение ро, в противном случае гипотеза Но отклоняется. Пример 6.
Предполагается, что большая партия деталей содержит 15% брака. Для проверки из партии случайным образом отобрано 100 де- талей, среди которых оказалось 10 бракованных. Считая, что число бра- кованных деталей в партии имеет биномнальное распределение, и ис- пользуя двусторонний критерий при а = 0,05, проверить прелположение о том, что в партии содержится 15% бракованных деталей. а Проверяется гипотеза Но .
р = 0,15 прн альтернативной гипотезе 10 Нг .. р ф 0,15. Значение, Ь = — = 0,1. Так как п > 50, пЬ = 10 100 и я(1 — )2) = 9, то для проверки гипотезы Но можно использовать статистику (4). Выборочное значение этой статистики 0,1 — 0,15 0,15 0,85 По таблице П1 находим ио ать = 1,96. Значение /2, ! лежит в области принятия гипотезы Но, следовательно, предположение о том, что в партии содержится 15% брака, согласуется с результатами наблюдений.
Этот же результат получим, используя двусторонний доверительный интервал (0,041; 0,159) для р при доверительной вероятности 0,95 (см. пример 4 23). Так как этот доверительный интервал накрывает значение р = 0,15, гипотеза Но принимается. > 19.245. Количество бракованных деталей в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 деталей из этой партии обнаружено 6 бракованных. Можно ли считать, что процент брака превосходит допустимый при сг = 0,012 Гл. 19. Математическая статистика 270 19.246. При б00 подбрасываниях игральной кости шестерка появилась 75 раз.
а) Можно ли утверждать, что кость симметрична и однородна? Принять сг = 0,05. б) Верна ли гипотеза о том, что вероятность появления шестерки меньше, чем 1/б, если се = 0,01? 19.247. В урне содержатся неразличимые на ощупь черные и белые шары. Предполагается, что число черных шаров равно числу белых. Эта гипотеза принимается, если при извлечении 50 шаров (с возвращением) число черных шаров будет в пределах от 20 до 30. а) Какова вероятность ошибки первого рода? б) Найти вероятность ошибки второго рода, если альтернативная гипотеза утверждает, что вероятность появления черного шара равна 1/3.
19.248. При исследовании 50 корпусов микросхем, случайным образом выбранных из большой партии этих изделий, оказалось, что шесть из них не имеют необходимой прочности. Согласуются ли эти данные с утверждением о том, что данная партия содержит более, чем 90 % прочных корпусов. Принять 12 = 0,05.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
