341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Так как после объединения осталось т = 5 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров, т.е. 1 = 2, то число степеней свободы равно 5 — 2 — 1 = 2. По таблице П5 находим уСоэ дс (2) = 4,61. Выборочное значение статистики критерия равно ус~ = 0,928, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки принимаетсн. с 19.281**. При 50 подбрасываниях монеты герб появился 20 раз. Можно ли считать монету симметричной? Принять гт = 0,10. 19.282. При 120 бросаниях игральной кости шестерка выпала 40 раз.
Согласуется ли этот результат с утверждением, что кость правильная? Приннть о = 0,05. 19.283. Решить задачи 19.281, 19.282, используя методы проверки гипотез из 3 4, п. 3. е и Б х о. х О ПП х 2 4 8 12 16 10 3 0,0228 0,0731 0,1666 0,2576 0,2464 0,1519 0,0778 1,254 4,020 ) 9,273 14,168 13,662 8,3541 4,279 )' Гл, 19.
Математическая статистика 290 19.284. Число выпадений герба при 20 подбрасываниях двух монет распределились следующим образом: Согласуются ли эти результаты с предположениями о симметричности монет и независимости результатов подбрасываний? Принять ст = 0,05. 19.285. Ниже приводятся данные о фактических объемах сбыта (в условных единицах) в пяти районах: Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах должен быть одинаковым? Принять ст = 0,01.
19.286. На экзамене студент отвечает только на один вопрос по одной из трех частей курса. Анализ вопросов, заданных 60 студентам, показал, что 23 студента получили вопросы из первой, 15— из второй и 22 — из третьей части курса. Можно ли считать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос по любой из трех частей курса? Принять се = 0,10. 19.28?. Метод получения случайных чисел был применен 250 раз. при этом получены следующие результаты: 0 1 2 3 4 3 б 7 8 9 Цифра 27 18 23 31 21 23 28 23 22 32 Частота появления Можно ли считать, что примененный метод действительно дает случайные числа? Принять се = 0,10.
19.288. В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже: Проверить гипотезу Оо о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона. Принять ст = 0,05.
е зб. Критерий 7ст и его применение 291 19.289. Во время второй мировой войны на Лондон упало 537 самолетов-снарядов. Вся территория Лондона была разделена на 576 участков площадью по 0,25 км2. Ниже приведены числа участков пь, на которые упало 1с снарядов: Согласуются ли эти данные с гипотезой о том, что число снарядов, упавших на каждый из участков, имеет распределение Пуассонау Принять ст = 0,05. 19.290. Ниже приводятся данные о числе деталей, поступающих на конвейер в течение 600 двухминутных интервалов: Используя критерий 71~, проверить гипотезу Оо о пуассоновском распределении числа деталей при ст = 0,05.
19.291. При испытании радиоэлектронной аппаратуры фикси- ровалось число отказов. Результаты 59 испытаний приводятся , ниже: Проверить гипотезу Но о том, что число отказов имеет распределение Пуассона, при ст = 0,10. В задачах 19.292 — 19.296 для приведенных группированных выборок, приняв 10 %-ный уровень значимости, проверить гипотезу Но о том, что они получены из нормально распределенной генеральной совокупности. 19.292. 200 отклонений размера вала от номинального значения 1мкм): Середина интервала — 0,14 -0,12 — 0,10 — 0,08 -0,06 — 0,04 — 0,02 Частота 3 8 11 20 27 36 29 Середина интервала 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 Частота 18 17 17 8 4 1 1 Гл.19.
Математическая статистика 292 19.293. 150 отклонений диаметров папф передней оси от номинального размера (мкм): 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 Середина интервала 1 4 13 23 22 29 29 16 11 2 Частота 19.294. Величина контрольного размера 68 деталей, изготовленных на одном станке (мм): 2,9-3,9 3,9-4,9 4,9-5,9 5,9-6,9 6,9-7,9 Границы интервала Частота 5 15 23 19 6 19.295. Входное сопротивление 130 электронных ламп (Ом): Границы кцтернала 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2 2 3 35 43 22 15 5 Частота 19.299. Рост 1004 девушек в возрасте 16 лет (см): 134-137 137-140 140-143 143-146 146-149 149-152 152-155 Частота 1 4 16 53 121 197 229 Границы интервала 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 Частота 186 121 53 17 5 2.
Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин. Предположим, что проведено и экспериментов, результаты которых являются значениями дискретных случайных величин Х и У, которые принимают соответственно значения хы тз, ..., хь и у1, уз, ..., уь Обозначим пи число экспериментов, в которых Х = х, и У = у„1 = 1, 2, ..., 1с; у = 1, 2,..., 1. Если Х и У вЂ” непрерывные случайные величины, то область значений каждой нз них разбивается на конечное число интервалов. В этом случае пи — число экспериментов, в которых случайная величина Х попала в 4-й интервал, а случайная величина У вЂ” в уьй интервал.
Результаты и экспериментов можно представить в виде таблицы гцппалжеккосгпи признаков размера 7с х 1 (таблица 6.4). з 6. Критерий Хз и его применение 293 Таблипа 6.4 Проверяется гипотеза Но, утверждаюшая, что случайные величины Х и У независимы. Если гипотеза Но верна, то по определению Р [Х = х,; У = у ] = Р [Х = х ] Р [1 = у ] = р ц,. ггг Пусть р; = — и ф = — ~ — опенки вероятностей р; и ц,. и ' я Если гипотеза Но верна, то ожидаемое число экспериментов й;„в которых случайная величина Х попала в гьй интервал, а случайная величина У в у-й интервал, равно Для проверки гипотезы Но по критерию тз используют следующую статистику; в (и;,— й,)- (1) ~=1 у=1 й; 9 При условии, что гипотеза Но верна, а все ожидаемые частоты й, > 4, 1 = 1, 2,..., )с; у' = 1, 2, ..., 1, статистика (1) имеет распределение Хв с ()с — 1)(( — 1) степенями свобопы.
Гипотеза Но о независимости случайных величин Х и У принимается на уровне значимости гг, если выборочное значение статистики (1) меньше квантили гт1 ((Й вЂ” 1)(! — 1)), т.е. если Если Хз > г'; ((к — 1)(( — 1)), то гипотеза Но отклоняется. 294 Гл. 19. Математическая статистика Длн вычислении выборочного значении статистики (1) критерия удобно использовать формулу 3 а м е ч а н и я. 1. Если ожидаемые частоты й," для некоторых клеток таблицы 6.4 не удовлетворяют условию 60 > 4, то соответствующие строки и столбцы должны быть объединейы с соседними строками и столбцами. 2.
Если (?с — 1)(1 — 1) > 8 и и > 40, то минимальное допустимое значение ожидаемых частот может быть равным единице. Случайные величины Х и У можно рассматривать как два признака, по которым классифицируется выборка объема и; независимость Х и У соответствует независимости этих признаков. Во многих случаих требуетсн проверить гипотезу об однородности нескольких выборок или, иными словами, гипотезу о том, что эти выборки получены из одной генеральной совокупности. Если провернется однородность к различных выборок с объемами им пю ..., вь и зти выборки могут быть записаны в виде таблицы соприженности признаков размера )г х 1 (см.
табл. 6.4), то лли проверки используетси тот же критерий, что и для проверки независимости двух признаков. Пример 3. Комплектующие изделии одного наименования поступают с трех предприлтий А, В и С. Результаты проверки изделий следующие: Можно ли считать, что качество изделий не зависит от поставщика? Принять г! = 0,10.
а Провернется гипотеза о независимости двух признаков: качества изделии и места его изготовления. По формуле (2) находим 29Я 38з 53з 1т 2з 7г (30 . 120 40 120 60 . 120 30 10 40 10 60 10 ) число степеней свободы (2 — 1)(3 — 1) = 2. Так как по таблице П5 ф~о(2) 4,605, слелует считать, что качество изделий не зависит от поставщика. З 6. Критерий з н его применение.
295 Заметим, что утверждение о том, что качество изделий ке зависит от поставщика, можно трактовать как проверку гипотезы об однородности трех выборок изделий объемом 30, 40 и 60, полученных соответственно от поставщиков А, В и С. с 19.297. Утверждается, что результат действил лекарства зависит от способа его применения. Проверить это утверждение при сь = 0,05 по следующим данным: 19.298.
Отношение зрителей к включению одной из телепередач в программу выразилось следующими данными: Отрицательное Положительное Безразличное Мужчины Женщины 14 29 24 Зб 2 15 Можно ли считать, что проведение этих мероприятий не влияет на производительность труда? Принять сг = 0,10. 19,300. Ниже приводятся результаты опроса 100 студентов первых трех курсов на вопрос «считаете ли Вы, что курение мешает учебе?» Можно ли считать, что отношение к включению данной передачи в программу не зависит от пола зрителя? Принять гь = 0,10.
19.299. Изменение производительности труда на предприятии при проведении мероприятий А, В и С выражаетсн следующими данными: Гл. 19. Математическая статистика 296 Подтверждают ли зти данные предположение о том, что отношение к курению студентов разных курсов различно? Принять гт = 0,01. 19.301, Для определения зависимости цвета волос жителей от их местожительства были обследованы три группы людей из районов А, В и С, Свидетельствуют ли приводимые ниже результаты обследования о зависимости цвета волос жителей от их местожительства? Принять гт = 0,05. 19.302. Содержание никотина (в мг) для двух марок сигарет характеризуется следующими данными: Указывают ли эти результаты на различие в содержании никотина в сигаретах зтих марок? Принять гг = 0,10.
3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух бииомиальных распределений. Предположим, что независимо проведены две серии, содержашие и~ и пт испытаний соответственно. В первой серии событие А произошло яы раз, а во второй нм раз. Требуется проверить гипотезу Не о том, что вероятность появления события А в обеих сериях одна и та же, т.е. Не .. р1 = рт. Результаты обеих серий можно представить в виде таблицы сопряженности признаков размера 2 х 2: Гипотеза Не . р1 — — рт эквивалентна гипотезе о том, что обе выборки получены нз одной генеральной совокупности, т.е. однородны, и проверяется по критерию Хт (см. п. 2 настоящего параграфа).
3 6. Критерий Х2 н его и вменение 297 2 П (П!1П22 — П12П21) Х, = П1.ПЭ.П.1П 2 Гипотеза Но принимается на уровне значимости а, если (3) Х! <Х2 .(1), если Х2 > Х21 (1), то гипотеза Но отклоняется. 3 а м е ч а н и е. Критерий Х2 можно использовать прн условии, что пыле все ожидаемые частоты п1 = > 3, 1, у = 1, 2 и п > 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
