341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Математическая статистика 320 г) определить доверительные интервалы для параметров в дисперсии ошибок наблюдений при заданном уровне значимости сг. Предполагается, что ошибки наблюдений не коррелированы и имеют нормальное распределение г110, о). 19.346. сх = 0,10. 19.347. а = 0,05. 19.348. сг = 0,10. В задачах 19.349-19.352 предполагается, что результаты наблюдений достаточно точно описываются многочленом второго порядка.
Найти МНК-оценки параметров втой модели и проверить адекватность модели результатам наблюдений. Можно ли использовать для представления данных линейную регрессиюч 19.349. сх = 0,5. 19.350. х 2,5 4,5 5,0 1,5 3,5 6,0 6,5 4,0 3,5 2,0 р 0,5 1,2 1,7 0,3 0,8 2,7 3,3 1,0 0,7 0,4 сг = 0,10. 3 7. Элементы регрессионного анализа 321 19.351. Использовать данные из задачи 19.333. Принять а = = 0,05. Построить график остатков. 19.352. Использовать данные из задачи 19.334. Принять а = = 0,05. В задачах 19.353 — 19.356 найти оценки для параметров модели У = Ро + А*+ А*'. 19.353. 19.354. х 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 0,43 0,94 1,91 3,01 4 4,56 6,45 8,59 11,15 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 6,4 6,8 у 13,88 16,93 20,4? 24,15 28,29 32,61 37,41 42,39 19.355. х 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 25 26 4 7 6 13 30 26 32 40 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 у 32 21 11 5 16 3 21 22 19 32 19.356.
х 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 0,22 0,23 0,31 0,43 0,56 0,82 1,06 1,25 1,72 2,28 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 у 2,67 3,26 3,72 4,32 5,11 5,98 6,64 7,02 8,32 Гл. 19. Математическая статистика 322 В задачах 19.357, 19.358 найти оценки для параметров модели 9 = до+А1 19.357.
19.358. В задачах 19.359-19.360 найти оценки для параметров модели ф,+д еодх 19.359. 19.360. В задачах 19.361, 19.362 найти оценки для параметров модели У = А+Дппх+~~созх. 19.361. 3 7. Элементы регрессионного анализа 323 19.362. 3. Использование ортогональных систем функций. Система функций фо(х), ф1(х), ..., фь 1(х) называется ортогональной на ыножестиве хы хг,..., х„, если 4~ (х)вч(х) =0 при т~1; т,1=0,1,..., )с — 1.
Пусть (х,, у;), 1 = 1, 2,, н — результаты наблюдений переменных х и У. Оценки параметров линейной модели у = Яфо(х) + Дф1(х) + + Ц 1фь 1(х), определяемые по методу наименьших квадратов, при использовании ортогональной системы функций ф (х), у = О, 1, 2, ..., Й-1, вычисляются по формулам В случае, когда длл представленин данных используетсл палиномиальнал модель, а значения хы хг,..., х„ переменной х одинаково отстолт одно от другого с шагом 6, применают артогональные на атом множестве нногочлены Чебышева; и+1 1о(х) — = 1, 6 (х) = х — — , 2 многочлены более высокого порядка определлютсл по рекуррентной формуле Р( г (г) Ог ы(х) = С1(х) Ях) — 0,(х).
Конкретные вычислении удобно проводить, используя табулированные значении ортогональных многочленов Рь(1) = ЛьСь(г), где 1 принимает аначения 1, 2, ..., и. В таблице П9 приведены значения Рь(1) при й = = 1, 2,..., б, и и = 8, 10, 12, 13. Там ие приведены значения ~~ Рьг(1), 3 7. Элементы регрессионного анализа 325 Пример 5.
Подобрать порлдок и найти оценки параметров полиномиальной модели (33) длл представления данных х 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 у 0,11 0,26 0,16 0,28 1,27 2,32 2,68 3,85 4,83 7,2 Предполагается, что ошибки наблюдений не коррелированы, имеют равные дисперсии и нормальное распределение.
Принять а = 0,05. а Длл вычислений используем модель (33). Значения х; преобра- Х; — Х1 зуем по формуле (34): 1 = ' + 1, 4 = 1, 2, ..., 10. В таблице 7.6 Таблица 7.6 выписаны значения переменных 1 и у и первых трех ортогональных многочленов при и = 10 (см. таблицу П9). Предварительно вычислнем у = 2,276, сЗ„ = 50,659.
Использул зна- и ченил Р~(4) в третьем столбце таблицы 7.6, получим ~~ у;Р~(1) = 121,1. 121,1 Следовательно, по формуле (35) А = — ' = 0,367, а значение остаточной суммы квадратов и оценка дисперсии по формулам (36) и (37) таковы: Ю. (до, А) = 50,659 — 0,367з 330 = 6,219; з~(1) = — ' = 0,777, 6,219 10 — 2 Гл. 19. Математическая статистика 326 Далее, используя значения Рт(с) в четвертом столбце, вычислим ~у Рт(т) = 26,39. Находим ьы с т = 0,200~ Ое())о~ )Ум Дт) = 0,853, в (2) = ' = 0 122, 26,39 - - - т 0,853 132 ' ' ' ' ' ' ' 10 — 3 вт(1) 0,777 Так как ва(1) > вт(2), причем — = ' = 6,372, что больше, чем вт(2) 0,122 Ро,вв(8, 7) = 3,726, увеличим степень многочлена на единицу.
По значениям Ра(1) в пятом столбце таблицы 7.6 находим ~ у,Рз(т) = 20,45, следовательно, 20,45 0,804 ~За = 0,0024, Яе())о~ )У1~ /Ут~ 1)а) = 0~804~ а (3) = = 0 134 8580 ' ' ' ' ' ' ' ' 10 — 4 вт(3) 0,134 Так как — = — ' = 1,099 а), что меньше, чем Ро вв(б, 7) = 5,119, вт(2) 0,122 различие оценок дисперсии ат(2) и вт(3) незначимо и вычисления прекрашаются. Таким образом, длн представлении данных получена модель 2-го порядка: у, = 2,276+ 0,367Р1(с) + 0,2Рт(с), 1 = 1, 2, 3,..., 10. ~> По выборкам, приведенным в задачах 19.363-19.365, найти оценки параметров и порядок полиномиальной модели. Предполагается, что ошибки наблюдений не коррелнрованы и имеют распределение Ф(0, сс); уровень значимости ст задается.
19.363. се = 0,10. 19.364. ст = 0,05. а) Здесь, ааа обычно при сравнении дисперсий, в числитель ставится ббльшая дисперсия. я 7. Элементы регрессионного анализа 327 19.365. 19.366. Пусть фу(х), у = О, 1, ..., й — 1 — ортогональная система функций на множестве значений хм хэ, ..., х„. Показать, что оценки параметров модели вычисляемые по результатам наблюдений (х;, р,), г = 1, 2, ..., и, не коррелированы. Определить дисперсии этих оценок. 19.367. Показать, что система функций фо(х) = 1, ф1(х) = х — х ортогональна на множестве значений хм хэ, ..., х„. 19.368*.
Система функций 1, соях, я1пх, соя2х, я1п2х, , соятх, я1птх ортогональна на множестве значений ха = = 2пЦп, где й = О, 1, 2, ..., п — 1, п > 2т+ 1. Вычислить МНК-оценки параметров модели у = по + а1соях+ р1 апх+ + а,„соятх+ 13 жигах по результатам наблюдений (ха, уа) и найти дисперсии этих оценок. Используя результаты задачи 19.368, найти оценки параметров модели указанного порядка гп и вычислить дисперсии этих оценок по выборкам в задачах 19.369 и 19.370.
19.369. Гл. 19. Математическая статистика 328 19.370. т = 1. 1 — = Ро+ Ах. 1 Обозначим — = у; тогда получим у = По+ 31х. Полученная модель г линейна по параметрам По и Д. Р В задачах 19.371 — 19.376 преобразовать каждую нелинейную модель в линейную по параметрам. 1 1 19.372. — = Д + —. у Дх' 19.371.
9 — е — д1*+дэ +Д 19374 „зп„у + 19.376. р = Ро+ агх ' 19.375. у = 9охд1 Для нахождения оценок параметров в задачах 19.377-19.381 использовать метод наименьших квадратов, предварительно выполнив преобразование нелинейной модели в линейную по параметрам. 4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям. Во многих практически важных задачах зависимость между переменными У и х нелинейна по параметрам. Однако часто можно найти преобразование переменных, которое приводит к линейной модели.
Как правило, вычисление оценок параметров для линейной модели существенно упрощаетсл. Тем не менее следует иметь в виду, что при вычислении оценок параметров по методу наименьших квадратов в этом случае минимизируется сумма квадратов отклонений преобразованных, а не исходных данных. Очевидно, что свойства полученных оценок и возможность их дальнейшего статистического анализа зависят от того, удовлетворяются ли условия, сформулированные в начале этого параграфа, для преобразованных переменных. Пример б.
Зависимость между переменными г и х имеет вид г = 1 . Преобразовать эту модель в линейную по параметрам. Ро+ д1х' а Запишем зависимость между г и х в таком виде: 3 7. Элементы регрессионного анализа 329 19.377. Барометрическое давление связано с высотой следующим соотношением: — = ехр где р — барометрическое давление на высоте г, Т вЂ” температура, а ро и й — параметры. Найти оценки параметров ЦТ и ро по результатам 6 наблюдений, проведенных при приблизительно постоянной температуре: 19.378.
Для исследования зависимости давления р насыщенного пара 1Н/см2) от удельного объема о (мз/кг) составлена таблица опытных данных: е 3,334 1,630 0,866 0,423 0,265 0,170 0,115 р 0,482 1,034 2,027 4,247 7,164 11,480 17,60 Считая, что функциональная зависимость между этими переменными имеет вид р=Ро, найти оценки параметров а и 17. 19.379. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварца р (Ом см) от абсолютной температуры Т1К) имеет вид 16(а!Т 1+5 Используя опытные данные Щм 4 Щм 3 Ц)м 2 Щм 2 Щм 1 5 Щм 1 Н1м Т 335 365 400 445 500 570 670 найти оценки параметров а и 6.
19.380. Исследование зависимости продолжительности 1 реше- ния систем линейных уравнений от порядка системы и дало следующие результаты: п 2 3 4 5 б 7 8 9 10 й мин 12 35 75 130 210 315 445 600 800 Предполагая, что 1 = Апт, найти оценки параметров А и 7. Гл. 19. Математическая статистика 19.381. Получена выборка наблюдений переменных х и у: х 1 2 3 4 5 6 7 330 у 62,1 87,2 109,3 127,3 134,7 136,2 136,9 Для представления этих данных предлагается использовать модель Оценки параметров модели (38) могут быть найдены по формуле |3 = = (АтА) ' Атг', однако более удобно находить оценки для модели в в — |81(х| х|) + Цг(хг хг), Последовательность вычислений в этом случае следую|цап.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
