341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Пример 4. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий по данным прзмера 3. а При решении примера 3 было установлено, что характеристики положения у рассматриваемых генеральных совокупностей равны, следовательно, критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий применим. Воспользуемся упорядоченными результатами измерений из решения примера 3 и расставим ранги по приведенному выше правил . , Имеем Элемент 38 40 41 42 42 46 46 47 48 50 50 Ранг 1 4 5 8,5 8,5 12,5 12,5 16 17 20,5 20,5 Элемент 51 51 51 54 57 59 60 60 62 63 63 19,7 19,7 19,7 15 14 11 8,5 8,5 6 2,5 2,5 Ранг Вычислим сумму рангов для 2-й партии (пз — — 10); имеем йз —— = 110 9.
Выборочное значение статистики критерия определяем по формуле (10): зов 0,237. 10(10+ 12+ 1) 12 Так как при а = 0,10 имеем ио дь = 1,645, то при двусторонней альтернативной гипотезе Н~ . я~ ф от~ гипотеза Но не противоречит результатам измерений. > 19.407. Двум группам испытуемых предлагалось провести опознание трех начертаний цифры 5. Результаты эксперимента (время опознания в секундах) следующие: 1-я группа 25 28 27 29 26 24 28 23 30 25 26 25 2-я группа 18 19 31 32 17 15 41 35 38 13 14 Можно ли считать, что дисперсии результатов для первой и второй групп различны? Принять сг = 0,05.
3 8. Непараметрические методы математической статистики 351 19.409. В течение некоторого времени суточная производительность двух автоматов характеризуется следующими данными: 105 60 83 111 138 71 87 130 93 105 122 1-и автомат 172 45 51 155 117 103 82 93 31 51 2-и автомат Проверить гипотезу Но о равенстве дисперсий этих показателей. Принять с« = 0,10. 19.409.
Для контроля настройки двух станков-автоматов, производящих детали по одному чертежу, определили отклонения от номинальных размеров у нескольких деталей, изготовленных на обоих станках. В результате получили следующие данные 1в мкм): Станок А 44 -14 32 8 -50 20 -35 15 10 -8 -20 5 Станев В 52 -49 61 -35 -48 18 -45 35 23 21 -59 -19 Проверить гипотезу Но о равенстве дисперсий по этим данным на уровне значимости с« = 0,10. 19.410. Контролируемый размер несколы«их деталей был проверен до и после наладки станка.
В результате получены следующие результаты (в мм): До наладки 36,4 37,5 36,9 37,6 38,1 35,5 37,8 38,3 36,6 38,4 37,5 После наладив 36,8 39,2 37,6 39,9 39,6 34,2 36,5 36,3 39,8 Можно ли считать, что дисперсии результатов измерений до и после наладки станка различны? Принять а = 0,05. 4. Критерий серий. Критерий применяется для проверки гипотезы Нэ, утверждающей, что элементы выборки получены случайным образом и независимы.
Пусть хы хэ, ..., х„— выборка результатов наблюдений, а Ьх — выборочная медиана, определенная по этим данным. Каждому элементу выборки поставим в соответствие знак <+» либо « — » в зависимости о того, больше или меньше медианы его значение (нулевые значения не учитываются). Тем самым всей выборке поставлен в соответствие набор знаков. Обозначим п«число знаков «+», а пэ — число знаков «-» в полученном наборе знаков. Серией в этом наборе называется всякая последовательность, состоящая из одинаковых знаков и ограниченная противоположными знаками, либо находящаяся в начале или конце набора.
Например, в наборе + — + + + — — — — — ++, содержится 5 серий: (+), 1 — ), (+++), ( — — — — — ), (++), и« вЂ” — 6, и» вЂ”вЂ” б. Гл. 19. Математическая статистика 352 Статистикой критерия серий является число серий № Критическая область определяется неравенствами Н < № и Ф 3 Нэ.
Значения границ критической области № и № для уровня значимости а = 0,05 приведены в таблице П11. Пример 5. Скорости автомобилей в некоторой точке трассы образовали следующий ряд (км/ч): 31, 39, 40, 45, 27, 28, 35, 55, 21, 33, 42, 36. Можно ли считать полученные значения случайными? Принять а = = 0,05. 0 Найдем оценку медианы этих данных (э 1 и. 3). Для этого представим данные в виде вариацианного ряда: 21, 27, 28, 31, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 45, 55.
35+ 36 Оценка медианы Ь = . Исходному ряду наблюдений соответ- 35,5 ствует следуюшая последовательность знаков: где п~ = 6, яэ — — 6, число серий Н = 6. По таблице П11 прн а = 0,0о находим № = 3, Жэ — — 11. Таким образом, гипотеза Но принимается: полученные значения скорости можно считать случайньэми.
> При больших объемах выборки, когда либо ям либо пэ, либо оба значения больше 20, для проверки гипотезы Но можно использовать статистику Я, выборочное значение з, которой вычисляется по формуле При условии, что верна гипотеза Но, статистика Я имеет приблизительно нормальное распределение Н(0, 1). В этом случае критическая область определяется неравенствами «в ~~ ка/э или ее 3 ц1 — О/2 ° Замечание.
Критерий серий применяется для проверки случайности любой выборки, элементами которой являются два различных символа, например: 1 и О, А и В, + и —. Статистикой критерия является число серий в этой выборке. Пример 6. Можно ли считать, что последовательность 110010001010100111011010010000101000 получена из совокупности случайных последовательностей? Принять а = 0,01. э 8.
Непараметрические методы математической статистики 353 О В данной последовательности число нулей п1 —— 21, а число единиц нэ — — 15. Число серий Н = 23. Так как п1 > 20, для проверки гипотезы Но, утверждающей, что данная последовательность получена из совокупности случайных последовательностей, воспользуемся статистикой Я.
По формуле (11) выборочное значение в, этой статистики равно: 1,394. Так как и1 ут = ие 995 — 2,576 (таблица П1), гипотеза Но принимается: можно считать, что данная последовательность получена нз совокупности случайных последовательностей. ~> 19.411. Глубина слоя диффузии, определенная по выборке из партии микросхем, имеет следующие значения (в мкм): 9,8; 9,8; 8,6; 8,6; 9,2; 9,2; 9,8; 9,0; 10,0; 9,4; 9,0; 11,2; 10,8; 9,2; 9,4. Проверить гипотезу Но о том, что полученные результаты распределены случайным образом. Принять а = 0,05. 19.412.
При заданном токе 10 мА измерялось прямое падение напряжения на диодах. Получены следующие значения (в вольтах) 0,917; 0,918; 0,921; 0,909; 0,919; 0,917; 0,916; 0,917; 0,918; 0,919; 0,919; 0,916, Можно ли считать, что эти значения случайны7 Принять ст = 0,05. 19.413. Измерение массы некоторого вещества, полученного в результате химической реакции, дало следующие результаты (в граммах): 14, 14, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 17, 19, 23.
Случайны ли эти результаты? Принять гт = 0,05. 19.414. Производительность цеха в течение 12 рабочих дней характеризуется следующими цифрами (в условных единицах): 13,0; 13,1; 13,0; 12,5; 12,8; 12,3; 12,1; 12,2; 12,1; 12,7; 12,0; 12,6. Можно ли считать, что изменение производительности вызвано случайными причинами? Принять ст = 0,05. Гл.19.
Математическая статистика 354 19.415. Для 13 деталей получены следующие отклонения контрольного размера от номимального значения (в мкм): +8, +10, +5, -5, -9, +7, +6, — 11, -4, — 4, +15, +21, — 3. Можно ли считать, что эта последовательность есть случайная выборка? Принять сг = 0,05. 19.417. При подбрасывании монеты 45 раз последовательность результатов (à — выпадение герба, Р— выпадение решетки) имела следующий вид: ГГГГГГРРРРГГГРРРГРГРРРРРР ГГГГРРРРРГГГРГГГГРРР. Является ли такая последовательность случайной выборкой? При- нять сг = 0,05. 5.
Ранговая корреляция. Пусть (х;, у,), 1 = 1, 2, ..., и — выборка наблюдений непрерывных случайных величин Х и У. Каждому значению х;, е' = 1, 2, ..., и поставим в соответствие ранг х';, т.е. номер элемента х; в вариационном ряду х0~, х<з1, ..., х~ "1. Аналогичным способом определим ранги у; 'элементов у,, 1 = 1, 2, ..., и. Каждой паре (х;, у;) соответствует пара рангов (хн у,'). Вычислим коэффициент корреляции (э 1, и. 3, задача 19.62, формула (28)) по выборке рангов (х';, у,'), 1 = 1, 2,..., и.
Полученное значение г, называется выборочным зйайением рангового коэффициента корреляции Спармена р,. Ранговый коэффициент корреляции, так же как и коэффициент корреляции г, характеризует зависимость между случайными величинами Х и 1', но вычисляется значительно проще, а именно, справедлива следующая формула: 6 ~~ (х; — у ) и (пэ — 1) (12) Поэтому при большом объеме выборки для оценки зависимости между случайными величинами используется ранговая корреляция.
Коэффициент т, является непараметричеекой мерой связи и, следовательно, может использоваться при произвольном непрерывном распределении генеральной совокупности, в то время как использование коэффициента Можно ли считать, что полученная выборка представляет результаты случайных и независимых наблюдений? Принять а = 0,05. 19.416. Радист принял следующую последовательность символов: 3 8, Непараметрические методы математической статистики 355 корреляции г предполагает двумерное нормальное распределение генеральной совокупности.
Гипотеза Но . р, = 0 при альтернативной гипотезе Нг . р, ф 0 и при объеме выборки я > 9 проверяется по значению статистики , =Т(я — 2). (13) гг При условии, что верна гипотеза Но эта статистика имеет распределение Стьюдента с и — 2 степенями свободы. Если 1, > Гг „7г(я — 2), где о— заданный уровень значимости, то гипотеза Но отклоняется, т.е. между Х и У существует ранговая корреляционная зависимость. П р и м е р 7. Вычислить коэффициент ранговой корреляции для следующей выборки: х 68,8 63,3 75,5 67,2 71,3 72,8 76,5 63,5 69,9 71,4 у 167,0 113,3 159,9 153,6 150,8 181,2 173,1 115,4 125,6 166,2 Проверить значимость ранговой корреляции при а = 0,10. а Определим ранги элементов исходной выборки.
Предварительно перепишем исходную выборку, упорядочив ее элементы по верхней строке (т.е. по значениям х,), в результате получим х 63,3 63,5 67,2 68,8 69,9 71,3 71,4 72,8 75,7 76,5 у 113,3 115,4 153,6 167,0 125,6 150,8 166,2 181,2 159,9 173,1 Определим ранги для значения у,. Вариацнонный ряд для у; имеет вид 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113,3 115,4 125,6 150,8 153,6 159,9 166,2 167,0 173,1 181,2 у(0 Таким образом, упорядоченной по элементам х, выборке соответствует следующая последовательность пар рангов и их разностей: го Так как ~~~ (х; '— у,')г = 42, по формуле (12) находим б 42 10 (10г — 1) Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
