341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 62
Текст из файла (страница 62)
19. Математическая статистика 356 Проверим значимость полученного результата. Найдем выборочное зна- чение статистики (13): 10 — 2 С, = 0,745 ж 3,159. Так как 1длд(8) = 1,860 (таблица Пб), ранговая корреляция значима. ~> 19.418. Бегуны, ранги которых при построении по росту были 1, 2, ..., 10, заняли на состязаниях следующие места: б, 5, 1, 4, 2, 7, 8, 10, 3, 9. Как велика ранговая корреляция между ростом и быстротой бега? 19.419. Цветные диски, имеющие порядок оттенков 1, 2, ..., 15, были расположены испытуемым в следующем порядке: 7, 4, 2, 3, 1, 10, 6, 8, 9, 5, 11, 15, 14, 12, 13. Охарактеризовать способность испытуемого различать оттенки цветов с помощью коэффициентов ранговой корреляции между действительными и наблюдаемыми рангами. 19.420.
Найти коэффициент ранговой корреляции между урожайностью пшеницы и картофеля на соседних полях по следующим данным: 19.421. Для контрольной партии интегральных схем по нескольким параметрам определено значение критерия годности К. Найти коэффициент ранговой корреляции между значениями К и удельного сопротивления р-кармана Л„, а также между значениями Л и напряжением отсечки $о по следующим данным: Проверить значимость полученных коэффициентов при сг = = 0,10. 38.
Нелараметрические методы математической статистики 357 19.422. Измерения длины головы (х) и длины грудного плавника (у) у 16 окуней дали результаты (в мм): л 66 61 67 73 51 59 48 47 58 44 41 54 52 47 51 45 38 31 36 43 29 33 28 25 36 26 21 30 20 27 28 26 а) Найти коэффициент ранговой корреляции. Проверить значимость полученного результата при сг = 0,05. б) Найти коэффициент корреляции и проверить его значимость при гг = 0,05 в предположении, что выборка наблюдений получена из нормально распределенной двумерной совокупности. 19.423. Связь между массой тела (х) и количеством гемоглобина в крови (у) у павианов-гамадрилов характеризуется следующими данными: 18,3 17,7 19 18 19 22 21 21 20 30 Масса тела, лг Гемаглебил (ла Сали) 70 74 72 80 77 80 80 89 76 86 а) Найти коэффициент ранговой корреляции.
б) Найти коэффициент корреляции. 19.424. Предположим, что между переменными х и у существует линейная зависимость: у = ах + 5, а ) О. Показать, что коэффициент ранговой корреляции г, = 1. 19.425. Пусть ранги двух характеристик соответствуют обратному порядку. Показать, что ранги х'; и у, 'связаны следующим соотношением: х', + у,' = и + 1, 4=1,2, ...,гг, и, следовательно, г, = -1. 19.426. Изменяется ли коэффициент ранговой корреляции, если вместо исходных значений выборки (х„у,), 4 = 1, 2, ..., гг, рассмотреть значения (у (х;), ф (у;)), 4 = 1, 2, ..., гг, где д и ф— монотонно возрастающие функции? 19.427*.
Коэффициент корреляции по выборке (х,, у;), 4 = 1, 2, ..., и, вычисляется следующим образом: (х, — х)(у; — у) г ~~> (х; — х) ~~~ (у; — у) Используя этот результат, вывести формулу (12) для определения коэффициента ранговой корреляции. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ГЛАВА 18 18.1. й = ((А, т) ( 1 < А, т < 6), А = ((3, 3), (6, 3), (3, 6), (6, 6)), В = ((А, т) )1 < А, т < 5), С = ((А, т) )4 < А, т < 6), Р = ((/с, А) / 1 < )с < 6). 18.2.
й = (ггг), (цгг), (гцг), (ггц), (гцц), (цгц), (ццг), (ццц)). А = ((гцц), (цгц), (ццг)), В = ((ггг)), С = ((ггг), (цгг), (ггг), (цгг), (ггц)). 18.3. Й = (п ! п 6 сл'), А = (3), (гцг), (ггц)), Р = ( у 1 о Рис. 37 Рис. 38 В = (п(п = 3, 4, ...) = Й1(1, 2). 18.4. й = ((с, у, А) (1 < с' < 3, 1 < у < 3, 1 < (с < 3), А = ((с, у, lс) ! 2 < с' < 3, 2 < у < 3, 2 < )с < 3), В = ((с, у, (с) ) 1 < 1 < 3, 1 < у < 3, 1 < А < 3, с ~ у' ф А), С = = ((с, с, 4) ! 1 < с < 3). 18.5. й = ((х, у) ! < — 2 < х < 2, — 1 < у < 1).
Множества, соответствующие указанным событиям, см. на рис. 37-39. Пары совместных событий: А и В, В и С, А и С. 18.6. Множество эле- У У 1 ь -2 -1 О а Ь л Рис. 39 Рис, 40 ментарных исходов й и множества, соответствующие указанным событиям, изображены на рис. 40 — 43. Пара несовместных событий: А и С. 18.7. й = ((х, у) )О < х, у < 60).
Множество, соответствующее событию А, изображено на рис. 44. 18.8. Множества, соответствующие событиям В и С, изображены на рис. 45 и 46. 18.9. Множества, соответствующие событиям Р, Е и Р', изображены на рис. 47 — 49. 1810. Й = ((х, у) (х 6 Жо, у б Уо).
А = ((х, у) ) х 6 Жо, у 6 уо т > у), Ответы и указания 359 В = ((х, у) 1х б Ко, у Е Жо, х ф у), С = ((х, у) ) х = 1, у = 3) = = ((1, 3)), П = ((х, у) ! х Е а:о, у Е Ко, х + у 3 3). Указа ние. Пусть х — количество голов, забитых командой «Динамо», у — количество голов, забитых командой «Спартак», Ео — множество неотрицательных целых чисел. При записи множества й и его подмножеств-событий предполагается некоторая идеализация реальных условий, позволяющая формализовать модель футбольного матча как вероятностного эксперимента. У Ь У Ь у Ь а 2 а а«ь Ь х 2 Ркс. 42 0 а Ьс О 0 а а«ь Ьх 2 Ркс. 43 Рис.
41 У 60 у 60 у 60 45 15 15 45 60 0 45 60 Рис. 44 Рис. 46 Рис, 45 У 60 У 60 55 45 15 15 0 15 20 45 60 0 15 60 0 5560 Ркс. 47 Рис. 48 Рис. 49 В частности, множества возможных значений х и у следует считать неограниченными, поскольку до игры нет никаких оснований установить верхнюю границу счета. Практически, конечно, сколь угодно большой счет ни в какой игре не осуществим.
18.11. Событие В наблюдаемо, А и С не наблюдаемы. Указание. Множество элементарных исходов данного эксперимента можно записать в виде !1 = ((о, 50) ! о ) О, л 15 ! ! 0 15 45 45 ! 15 !х ЬО О Ответы н указания 360 (2п)' ( у ( (2я+2)', и = О, 1, ..., 179). 18.14.б) А1+ А2+ + А„= = А,А2... А„, А,А2... А„= А, + А2+ + А„. 18.15. а Преобразуем правую часть. Используя доказанное в примере 4 свойство дистрибутив- ности умножения относительно сложения, получим (А + С)(В + С) = = А(В + С) + С (В + С) = АВ+ АС+ СВ + С = АВ + (А+ В) С + + Сй = АВ + (А + В + й) С = АВ + С.
~> 18.17. У к а з а н не. Воспользоваться тождеством из задачи 18.16. 18.21. Учесть, что В = = А + ВА. Далее перейти к противоположному событию В и воспользоваться правилом де Моргана. 18.26. У к а з а н и е. Преобразовать правую часть, используя тождество из задачи 18.16 и правила де Моргана.
18.2Т. У к а за н ие. Воспользоватьсн тождеством из задачи 18.16 и правилами де Моргана. 18.32. Х = В. 18.33. З Необходимость. Пусть А — В = п1, тогда АВ = й1 и АВ = й. Следовательно, А+ В = й и АА + ВА = Ай = А. Последнее соотношение доказывает, что АВ = А.
Отсюда в силу доказанного в задаче 18.19 утверждения следует, что А С В. Достаточность. Пусть А С В. Тогда АВ = А (см, задачу 18.19), т.е. АВ+ А = А+ А = й. Следовательно, А + АВ = а или А АВ = 121, откуда А (А+ В) = АВ = А — В = 1а. > 18.34. У к а ванне. Обозначим ыь = (среди 2п собравшихся ровно Й человек знакомы вошедшему). й = (ыо, и1, ..., сов„).
Показать, что А + В = й. Для доказательства второго утверждения учесть, что А — В = В. 18.35. Е1 — — АВ С+ АВС + + АВС, Г1 = АВС+ АВС+ АВС 1836 Е2 = А+ В+ С, Е2 = = Е1 + АВС. 18.3Т Ев = АВС, Гв = Е1 + АВС = Г» С = А + + В+ С = АВС. 18.38. а) й = (и1ы сс = 1,2, ..., 8), где ы1 — — Р1Р2К, а~2 = Р1Р2К ыв = Р1Р2К~ ыб = Р1Р2К~ ыб = Р1Р~2К, о1б = Р1Р2К, ыт = Р1Р2К ыв = Р1Р2К. 6) А = Р,Р2 + К = ыб + и1б + . + ыв в) а ы, + ы, + ".
+ ыв = Р,Р,(К+ К) + К (Р1 Р2 + Р,Р, + Р,Р, + + Р1Р2) = Р1Р2+К(Р1+Р2+Р1Р2) Р!Р2+К(Р1Р2+Р!Р2) = Р1Р2 + К. ~> 18.39. В = А1 + А2Ав + А4. 18.40. В = (А1 + + А2+ Ав(Аб + Аб). 18.41. Множество й и указанные события изо- У Ь у Ь У Ь аеЬ 2 О а Ь х О а Ьх О а аеЬ Ьх 2 Рис. 50 Рис, 51 Рис. 52 бражены на рис. 50-55. 18.42. а) й = (ым ыъ ..., ыв) = (А1А2Аз, А1А2Ав, А1А2Ав, А1А2Ав, А1А2А2, А1А2Ав, А1А2Ав, А1А2Ав); б) 4 = ы2+ыв+ы4 —— А1А2Ав+ А1А2Ав+А1А2Аз В = ыт+ +ыв = Ответы и указания 361 =Я! —— А!АгАз = А!+Аз+Аз С =ь12+ +юг — — йз = А2АгАз = = А»+Аз+Аз В = ма+ага +а!2+ь2з = А!АгАз+А!АгАз+А»АгАз + + А!АгАз Е = ы, + ы» = А2АгАз + А»А»Аз = А!Аг 18.43.
а) й = = (ь2», ь!!ым 2а!ауг2аз, ., ь2! ь2гь1з). 6) 4 = 222аггь1з + 2а2»ага!зь24 + + + 2а! ...Г21аз = 1и!1аг. 1844. й = (А1, А!В1, А»В»Аг, У ь У Ь У ь а»-Ь 2 ° ь 2 О а 4.1Ь Ьк О а а»Ь Ьк О а ааЬ Ьз 2 2 2 Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55 А = А! + А»В,Аг + ..., В = А»В! + А!В!АгВг + ...
18.46. Нет. 18.48.16. 18.52.Использовать тождество!2!+й = й. 18.54. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 18.55. а Используя тождество А + В = А + АВ (см. задачу 18.20в), находим Р (А+ В) = = Р(А) + Р(АВ), так как события А и АВ несовместны. Из тожде- ства В = АВ + АВ следует Р(В) = Р(АВ) + Р (АВ) в силу несо- вместности событий АВ и АВ. Отсюда Р(АВ) = Р(В) — Р(АВ) н Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
!> 18.59. Указание. Ис- пользовать результаты задач 18.206 и 18.55. 18.60. Указание. Ис- пользовать результаты задач 18.20 и 18.55. 18.64. Указание. Поло- жить В + С = Р и применить дважды формулу сложения для двух событий (см. задачу 18.55). 18.65. а Из условия задачи следует, что АВ С С, откуда Р(С) > Р(АВ) (см. пример б). Отсюда получаем Р(С) > Р(АВ) = Р(А+В) = 1 — Р(А) — Р(В) + Р(АВ) = Р(А) + + Р(В) — 1+ Р(АВ) > Р(А) +Р(В) — 1. с 18.66. 5/б. 18.67. 0,05. 18.68.
Р (А) = 1/б, Р (В) = 1/3, Р (С) = 1/2, Р (В) = 2/3, Р (Е) = 2/3. 18.69. Р (А) = 1/6, Р (В) = 5/12. 18.70. Р (С) = 1/2, Р (О) = 35/36. 18.71. Р(Е) = 5/б, Р(Е) = 11/36, Р(С) = 1/9. 18.72. Р(А) = 0,01, Р(В) = 0,2, Р(С) = 5/144. 18.73.1/720. 18.74.1/тя" '. 18.Т5. Р(А) = 1 1/64 Р (В) 5!/6». 18.76. 7/9. 18.77. 1/28. 18.Т8. 1 Сг /Сггз 0,932. 18.79.
Р(А)=1/2, Р(В)=1/42. 18.80. Р(А) = 1/143, Р(В) = С, С',С, ь = 2/91, Р(С) = 12/143. 18.81. Р(А) = ', Р(В) = С221+1аг С, С, 1 18.82.Р(С) = 1 — ', Р(Р) = ~~1 С",С, ". 18.83.о„= 1а! -~-»12 С, — 18.84. Р(А) = 0,264 10 г, Р(В) 0,2813. 18.85. Р(А)= 2я — 1 362 Ответы и указания СЯ! С~! Сп С" Р (В) = ' ' ж' . 18.86. ~с/2" ! я С" !!ь!4"!!ь!+ 4-!!! !!!1 1 !!!2 1 ' ' ' 1 !!! 18.87. 1/9!. 18.88. Р (В) = 1/9, Р (С) = 1/12. 18.89. Р(В) = 1/126, Р(Е) = 1/945.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
