341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Так как ~о эм(4) = 2,776, то по формуле (30) получим границы доверительных интервалов: для 4> . 5,49 х 2,776 ь/2,508 8/0,303; для 732: 1,08 х 2,776 ~/2,508 ~/0,02; 6: -1,28862,776 2,808 278,06 10 или )уо 6 (3,08; 7,90), Д 6 (0,46; 1,70), ()0 Е ( — 1,65; — 0,87). ~> 19.387. Решить задачу 19.345, если ошибки наблюдений не коррелированы, а веса дисперсий ошибок наблюдений заданы следующим образом: и7~ = ц77 = 2; ц7э = гое = 175; п0з =ц04 = ц0э =1.
Найти оценку дисперсии результатов наблюдений. 19.388. Масса тела т определяется по результатам и независимых взвешиваний гя1, тт, ..., т„, причем результат 4-го взвешивания имеет дисперсию, равную с7 /ю„где щ — заданные значения, 4 = 1, 2, ..., и. Найти оценку массы тела по этим результатам. Определить дисперсию полученной оценки. 19.389. Пусть для оценки параметра )3 модели д = Дх используется выборка (х,, у;), 0' = 1, 2, ..., и. Предполаким, что дисперсия наблюдаемой случайной величины У пропорциональна х. Найти оценку параметра,9 и дисперсию этой оценки. 19.390.
Решить задачу 19.389, если дисперсия У пропорциональна хт. 19.391. Используя результаты, полученные при решении задачи 19.389 и 19.390, найти опенку параметра )3 модели у =,Зх по выборке 38. Непарамстрические методы математической статистики 339 если а) результаты наблюдений имеют равные дисперсии; б) дисперсия результатов наблюдений пропорциональна х; в) дисперсия результатов наблюдений пропорциональна х~.
Вычислить дисперсии оценки параметра, если коэффициент пропорциональности в б) и в) равен единице. 3 8. Непарйметрические методы математической статистики 1. Основные понятия. Критерий знаков. В практике обработки результатов наблюдений распределение генеральной совокупности часто неизвестно либо (для непрерывных случайных величин) отличается от нормального распределения, так что применение методов из 3 3 — 5 настоящей главы не обосновано н может привести к ошибкам.
В этих случаях применяют методы, ие эависли4ие (или свободные) вт распределения генеральной совокупности, называемые также непараметрическими методами. Непараметрические методы используют не сами численные значения элементов выборки, а структурные свойства выборки (например, отношения порядка между ее элементами). В связи с этим теряется часть информации, содержащаяся в выборке, поэтому, например, мощность не- параметрических критериев меньше, чем мощность их аналогов из 3 4.
Однако непараметрнческне методы могут применяться при более общих предположениях и более просты с точки зрения выполнения вычислений. Большая группа непараметрнческих критериев используется для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок хы хэ, ..., х„, и уы уэ, ..., у„, одной и той же генеральной совокупности, т.е. о том, что функции распределения двух генеральных совокупностей рх(х) и г,(у) равны: Г,(х) = Г„(у)~ . Такие генеральные совокупности называют однородными. Необходимое условие однородности состоит в равенстве характеристик положения и (нли) рассеивания у рассматриваемых генеральных совокупностей — таких, как средние, медианы, дисперсии и др. Используемые для этих целей непараметрическне критерии в качестве основного предположения используют только непрерывность распределения генеральной совокупности.
Простейший критерий такого рода, кригавриб эиаквв, применяется для проверки гипотезы Но об однородности генеральных совокупностей по попарно связанным выборкам. Такая задача возникает, например, прн сравнении двух измерительных приборов. При этом используют и объектов и над каждым из них производят по одному измерению с помощью обоих приборов.
Обозначим х; и уо 1 = 1, 2, ..., п, результаты измерения 1-го объекта, полученные соответственно при помощи первого и второго приборов. Если сравниваемые выборки получены из однородных совокупностей, то значения х; и у, взаимосвязаны, и, следовательно, вероятности появления положительных и отрицательных разностей х; — у; равны. Вероятности появления нулевых разностей равны Гл.19. Математическая статистика 340 нулю в силу предполагаемой непрерывности распределения измеряемого признака. Таким образом, вероятности появления положительных и от- рицательных разностей равны 1/2, т.е.
Р [х, — у, > О] = Р ]х, — у; < О] = 1/2, 1 = 1, 2, ..., 1, или при Н1 ! р > 1/2 выполняется неравенство )г) (2) нли, наконец, при Но: р ф 1/2 выполняется одно из неравенств )2) (3) Если при соответствующих альтернативных гипотезах неравенства (1)-(3) не выполняются, то гипотеза Но не противоречит результатам наблюдений и принимается на уровне значимости с«. Часто более удобно проводить проверку гипотезы Но, используя статистику Фишера.
Гипотеза Но отклоняется, если при Н,: р > 1/2 выполняется неравенство '(1) г Р,= ~~ «'1-а(а1~ нг)~ 1 — т+1 (4) где 1 — число ненулевых разностей, 1 < и. Нулевые разности могут появиться из-за случайных погрешностей или ошибок округления, и соответствующие им пары наблюдений исключаются из рассмотрения. Статистикой критерия знаков является число «+» или « — » в последовательности знаков разностей парных выборок (х», у,), » = 1, 2, ..., С В дальнейшем для определенности берется число знаков «+» . При условии, что проверяемая гипотеза Но верна, а пары наблюдений (х„у!) и, следовательно, знаки разностей х! — у! независимы, число знаков <+» имеет биномиальное распределение с параметрами р = 1/2 и 1, т.е. В (1, 1/2).
Задача сводится к проверке гипотезы Но. р = 1/2 при одной нз альтернативных групп Н)~ ): р > 1/2, Н1 ): р < 1/2, Н1 ): р ф 1/2. Пусть г — наблюденное число знаков «+», а с« — ааданный уровень значимости. Гипотеза Но отклоняется, если при Н, : р > 1/2 )1) выполняется неравенство 3 8. Непа аметрические методы математической статистики 341 где й~ — — 2(1 — г+ 1), Аэ = 2г, или при Н,: р с 1/2 выполняется 12) неравенство (5) Пример 1. Предполагается, что один из двух приборов, определяющих скорость автомобиля, имеет систематическую ошибку. Для проверки этого предположения определили скорость 10 автомобилей, причем скорость каждого фиксировалась одновременно двумя приборами.
В результате получены следующие данные: Позволяют ли эти результаты утверждать, что второй прибор действительно дает завышенные значения скорости? Принять о = 0,10. О В предположении, что скорости движения автомобилей не зависят друг от друга, задачу можно решить, применяя критерий знаков. Составим последовательность знаков разностей о~ — ит: †, †, +, †, +, О, †, +, †, †. Число ненулевых разностей 1 = 9, число положительных разностей г = 3. Проверим гипотезу о том, что различие в показаниях приборов вызвано случайными ошибками, т.е. гипотезу Но . р = 1/2.
Альтернативная гипотеза предполагает, что показания второго прибора имеют положительное смешение; в этом случае вероятность появления положительных разностей должна быть меньше 1/2. Таким образом, альтернативная гипотеза формулируется так: Нэ . р < < 1/2. Для проверки гипотезы Но используем неравенство (5). Имеем Г, = — =1,5.
9 — 3 3+1 й~ = 2 (3+ 1) = 8 йг = 2 (9 — 3) = 12, Так как по таблице П? Рр,эо(8,12) = 2,24, гипотеза Но не противоречит результатам наблюдений. Следует считать, что различие в показаниях приборов вызвано случайными ошибками. с 19.392*э. Сформулировать параметрический аналог критерия знаков (для случая нормально распределенной генеральной совокупности). 19.393. Можно ли применить критерий знаков в случае, когда пары (т;, у,), г = 1, 2, ..., и, статистически зависимы? Если нет, то почему? где А~ = 2(г+1), Аэ = 2(1 — г), или, наконец, при Н,: р ф 1/2 должно 1з> выполняться одно из неравенств (4) нли (5) с заменой а на о/2. Гл. 19.
Математическая статистика 342 Для решения задач 19.394-19.399 использовать критерий знаков. 19.394. Ниже приводится время (в секундах) решения контрольных задач одиннадцатью учащимися до и после специальных упражнений по устному счету. Можно ли считать, что этн упражнения улучшили способности учащихся в решении задач? Принять сг = 0,10.
До упражнений 87 61 98 90 93 74 83 72 81 75 83 После упражнений 50 45 79 90 88 65 52 79 84 61 52 19.395. Для 10 человек была предложена специальная диета. После двухнедельного питания по этой диете масса их тела изменилась следующим образом: Масса до диеты (нг) 68 80 92 81 70 79 78 66 57 76 Масса после диеты (нг) 60 84 87 79 74 71 72 67 57 70 а) Можно ли рекомендовать эту диету для людей, желающих похудеть? б) Оказывает ли эта диета вообще какое-либо существенное действие на массу тела? Принять сг = 0,10. 19.396. Сравнивалось действие двух экстрактов вируса табачной мозаики. Для этого каждая из половин листа натиралась соответствующим препаратом. Число пораженных мест приводится ниже: Можно ли считать, что действие этих экстрактов различно? Принять сг = 0,01.
19.397. Изучалось влияние черного и апрельского пара на урожай ржи. Опыт длился шесть лет. Учитывалась масса 1000 зерен в граммах. Результаты опыта следующие: 3 8. Непараметрическис методы математической статистики 343 Можно ли считать, что предпосевная обработка увеличивает урожайность? Принять гт = 0,05. 2. Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни. Критерий применяется для сравнения двух независимых выборок объема и, и иэ и проверяет гипотезу Но, утверждающую, что выборки получены из однородных генеральных совокупностей и, в частности, имеют равные средние и медианы. Статистика И' критерия определяется следующим образом. Расположим п1 + пэ значений объединенной выборки в порядке возрастания, т.е, в виде вариационного ряда. Каждому элементу ряда поставим в соответствие его номер в ряду — ранг. Если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому нх номеров.
Последний элемент в ранжированной объединенной выборке должен иметь ранг и1 + пэ. Этот факт можно использовать при проверке правильности ранжирования. Пусть Л1 — сумма рангов первой выборки, Лэ — сумма рангов второй выборки. Вычислим значения 1е1 и ш21 п1(и1 + 1) Ю1 — П1П2 + 2 — Л1, (6) пг(пэ + 1) Юэ = П1П2 + 2 Л2 Правильность вычислений проверяется по формуле (7) (8) Юг+ Юг = П1И2. Можно ли считать, что урожай ржи по апрельскому пару значимо выше, чем по черному? Проверить это предположение, если ст = 0,05. 19.398.
Проверить предположение о том, что предлагаемый лечебный препарат не меняет состав крови (в частности, числа лейкоцитов), если препарат испытывался на десяти особнх, а последующий анализ крови дал следующие результаты: 0,97; 1,05; 1,09; 0,88; 1,01; 1,14; 1,03; 1,07; 0,94; 1,02 (числа выражают отношение числа лейкоцитов в опыте к числу лейкоцитов в норме).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
