341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для малых п при вычислении Х2 по формуле (3) нужно п заменить на п — 1; П1. при этОм должно быть п1. > 5 и п2. > 3 Пример 4. Проверить гипотезу НО о равенстве вероятностей появления события А в двух сериях опытов по результатам таблицы 6.5. Принять а = 0,05. Таблица 6.5 О Минимальное значение ожидаемой частоты П1.П.1 13 9 911= — = — =3,25>3, я=36, п 36 слеловательно, для проверки гипотезы НО можно использовать критерий Х2. По формуле (3) выборочное значение Х2 равно Зб (3 17 — 6 10)2 13.23.9 27 0,04.
Число степеней свободы (2 — 1) (2 — 1) = 1. По таблице П5 находим ХО2 ээ (1) 3,84; так как Х2 < ХО ээ (1), то гипотеза Но принимается. с 19.303. Исследуются два производственных процесса изготовления поршневых колец. Используя критерий Х2, проверьте гипотезу о равенстве процента брака в обоих процессах по следующим В этом случае для вычисления выборочного значения статистики (1) критерия удобно использовать формулу Гл. 19.
Математнчесяая статистика 298 данным при сг = 0,01: 19.304. В течение месяца завод поставил предприятию 200 корпусов, из которых 3 оказались дефектными. В следующий месяц было поставлено 850 корпусов, из которых 7 оказались дефектными. Изменилась ли доля дефектных корпусов в поставках завода? Принять а = 0,01. 19.305. ГООО человек классифицировали по признаку дальтониама. По приведенным ниже данным проверить, есть ли зависимость между наличием дальтонизма и полом человека, при сг = 0,05.
19.306. Во время эпидемии гриппа изучалась эффективность прививок против этого заболевания. Получены следующие результаты: Указывают ли эти результаты на эффективность прививок? Принять а = 0,01. 3 7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов 1. Линейная регрессия. В регрессионном анализе изучается связь между зависимой переменной У н одной нли несколькими независимыми переменными. Пусть переменная У зависит от одной переменной х. При этом предполагается, что переменная х принимает заданные (фиксированные) значения, а зависимая переменная У имеет случайный разброс нз-за ошибок измерения, влияния неучтенных факторов или других причин. Каждому значению переменной х соответствует некоторое вероятностное распределение случайной величины У. Предположим, что случайная величина У «в среднем» линейно зависит от значений переменной х.
Это означает, что условное математическое ожидание 299 б 7. Элементы регрессионного анализа случайной величины У при заданном значении переменной х имеет вид М [У/х] = 1)о + Д х. Функция переменной х, определяемая правой частью формулы (1), называется линейной регрессией У на х, а параметры 13о и Д вЂ” параметрал«и линейной регрессии.
На практике параметры линейной регрессии (1) неизвестны, и их оценки определяют по результатам наблюдений переменных У и х. Пусть проведено и независимых наблюдений случайной величины У при значениях переменной х = хы хг, ..., х„, при этом измерения величины У дали следуюшие результаты: у«, уг, ..., у„. Так как эти значения имеют «разбросе относительно линейной регрессии (1), то связь между переменными У и х можно записать в виде линейкой (по параметрам 13о и Д) регрессионной модели: (2) 1' =до+Ах+е, где г — случайная ошибка наблюдений, причем предполагается М [г] = О, Р [г] = ог. Значение дисперсии ошибок наблюдений ог неизвестно, и оценка ее определяется по результатам наблюдений.
Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по результатам наблюдений (хп у,), е = 1, 2, ..., и: а) получить наилучшие точечные и интервальные оценки неизвестных паРаметРов 11о, Д и ог модели (2); б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели; в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется с результатами наблюдений (адекватность модели результатам наблюдений). В соответствии с моделью (2) результаты наблюдений зависимой переменной У: ум уг, ..., у„являются реализациями случайных величин 1)о + Дх; + гп е' = 1, 2,..., и, обозначаемых 1ь Задача линейного регрессионного анализа решается в предположе- нии, что случайные ошибки наблюдений г, и г не коррелированы при е ф у, «, у = 1, 2,..., т«имеют математические ожидания, равные нулю, и одну и ту же дисперсию, равную ог, т.е.
М[с;] = О, )'О, е Фу', (4) При статистическом анализе регрессионной модели (2) предполагается также, что случайные ошибки наблюдений г,, е = 1, 2, ..., и, имеют нормальное распределение, т.е. (5) г; Л«(О, а), е = 1, 2, ..., и. В этом случае ошибки наблюдений г«также являются независимыми случайными величинами.
Гл. 19. Математическая статистика 300 Лля нахождения оценок параметров модели (2) по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По атому методу в качестве оценок параметров выбирают такие значения До и Д, которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений случайных величин 1'к 1 = 1, 2, ..., п от их математических ожиданий, т.е.
сумму (6) Из необходимых условий минимума функции (6) — =О, — =0 дЯ дЯ дно д~Э~ получим, что МНК-оценки параметров линейной регрессии имеют вид: 1 х,у; — — ( С х,) ( ,'~ у,) ~) (х; — х)(у; — у) Г1 Р (7) )уо =У-Ах, (8) где 1 1 х= — 2 х„ у = -„~„ук Я,ь = ~~~ (х; — х)(у; — у), Я, = ~ ~(х; — х) .
Оценки параметров линейной регрессии, получаемые по методу наименьших квадратов, при любом законе распределения ошибок наблюдений г„ю' = 1, 2,..., и, при условиях (4) имеют следуюшие свойства: 1. Они являются линейными й1ункциями результатов наблюдений ук 1 = 1, 2,..., п, и нссмешснными оценками параметров, т.е. М [Д] = =,31, у =0,1. 2. Они имеют минимальные дисперсии в классе несмешенных оценок, являюшихся линейными функциями результатов наблюдений (теорема Гаусса — Маркова). Если ошибки наблюдений г, не коррелированы и имеют нормальное распределение, т.е. е, Н(0, а) (предположение (5)), то в дополнение к свойствам 1 и 2 выполняется свойство 3.
МНК-оценки совпадают с оценками, вычисляемыми по методу максимального правдоподобия. Функция у=11 +)1 * (9) определяет выборочную (змпирическую) регрессию У на х (см. также з 1, и. 3). Последняя является оценкой предполагаемой (теоретической) З 7. Элементы регрессионного анализа 301 линейной регрессии (1) по результатам наблюдений.
Разности между наблюдаемыми значениями переменной У при х = х„1 = 1, 2, ..., и, н расчетными значениями у; = Д + Ах, называются остатками н обозначаются е;: (10) е;=у,— у,, ~=1,2,...,я. 19.307. Найти оценки параметров линейной регрессии по выборке (9;6), (10;4), (12;7), (5;3). Нанести прямую регрессию на диаграмму рассеяния и показать отрезки, соответствующие разностям у; — у, у, — у и у, — у;, 1 = 1, 2, 3, 4, 19.308. Показать, что сумма остатков ~> е, равна нулю.
19.309. Для представления некоторых данных предполагается использовать модель у = ~9о + р1х, где значение р1 известно, Найти оценку параметра ро. 19.310. В модели у =,9о + р1х параметр ~уо иавестен. Найти оценку параметра Д. 19.311. Показать, что точка (х, у) лежит на прямой у = ро + + Ах. В задачах 19.312-19.315 исследуются статистические свойства МНК-оценок параметров линейной регрессии.
Оценки До и р1 (см. (7), (8)) являются линейными функциями случайных величин У; = )Уо + р1х + е;, г = 1, 2, ..., я, причем е, удовлетворяют предположениям (4). 19.312*. Показать, что МНК-оценки параметров. линейной регрессии являются несмещенными оценками этих параметров. 19.313». Показать, что дисперсии опенок )71 и ро равны соответственно 19.314*. Показать, что коэффициент ковариации К- - равен хоэ К-- = — —. доА 19.315*. Пусть независимая переменная х принимает значение хо. Вычислить математическое ожидание случайной величины Уо = )3о + Ахо. Показать, что от (хо — х)зоз О (Уо) — + Ях Гл.19.
Математическая статистика 302 19.316, Показать, что выборочную регрессию у = Во + Дх можно записать в виде у = у — гаи — (х — х), где вх и в„— вг оценки средних квадратичных отклонений переменных х и У по результатам наблюдений, а гго — выборочный козффициент корреляции (см.
задачу 19.62). 19.317в. При нескольких выбранных значениях х изменена величина У. Можно ли полученные данные использовать для оценки параметров модели х=А+Ауу 19,318. Найти МНК-оценки параметров модели у = Ро + А (х — х). Показать, что полученные оценки являются несмешенными. 19.319. Показать, что МНК-оценки параметров модели у = Д+4(х — х) являются некоррелированными и имеют дисперсии оз оз вр] = —, ищ = —. и ' ьвх 19.320. Пусть дм Вз, ..., Вп — результаты измерений величины О. Предположим, что ошибки измерений е; не коррелированы и имеют равные дисперсии. Используя метод наименьших квадратов, найти оценку О и несмещенную оценку дисперсии ошибок наблюдений. Качество аппроксимации результатов наблюдений (хь у;), 2 = 1, 2, ..., и, выборочной регрессии (9) определяется величиной остаточной дисперсии, вычисляемой по формуле: ег в' = ' = — 'у Ь, — уо+В2хг))2 = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
