341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 56
Текст из файла (страница 56)
19, Математическая статистика 310 а Выпишем результаты повторных наблюдений: Имеем: я = 13, т = 6. Находим вспомогательные суммы: ,д ьп уб = 17,8, ~~ ~~~ р~ = 31,12, ю=1 уая и;х, = 40,3, Сяьжэ = 148,05, ) х;у; = 64,08. Отсюда Я,э — — 64,86 — ' ' = 9,68, 40,3 17,8 13 40,3э Я,. = 148,05 — — ' = 23,12, 13 17 8г Яэ — — 31,12 — — ' = 6,74. 13 По формулам (7), (8) находим 9,68 - 17,8 40,13 А = — ' в 0,419, Во = — — 0,419 — 0,070 23,12 ' ' 13 ' 13 По формулам (15) находим сумму квадратов, обусловленную регрессией: Юа = 0,419 23,12 4,059. Остаточная сумма квадратов определяется из тождества (14): (;1„.
= 6,74 — 4,059 = 2,681. Для парных повторных наблюдений при вычислении („1р удобно пользоваться соотношением г ,~ (У У,) (Рг Рг) . 1=1 Используя это соотношение, а также то, что при э (уб — р )э 0,99, по формуле (19) получим 7=1 х = 4,3 имеем Яр — — — 0,4 + — ° 0,7 + — ° 0,5 + — 1,3 +0,99+ — 0,2 2,294. 8 7. Элементы регрессионного анализа 311 Используя тождество (18) находим сумму квадратов, обусловленную неадекватностью: 1З„= 2,681 — 2,294 = 0,387.
Выборочное значение статистики (20) равно 0,387/(6 — 2) 2,294/(13 — 6) Так как квантиль Ео,дд(4,7) = 4,14 (таблица П7), то линейная регрессия адекватна результатам наблюдений. 1> В задачах 19.333, 19.334 проверить адекватность линейной регрессии. Построить график остатков. Принять гт = 0,08. 19.333. х 10 10 10 10 10 20 20 20 20 35 35 35 У 5 б 5 б 7 12 13 14 13 17 19 16 х 35 35 40 40 40 40 40 60 60 60 60 60 У 15 15 18 20 21 18 20 17 19 16 14 16 19.334.
Выборка задана в виде таблицы частот: 2. Линейная регрессионная модель общего вида (криволинейная регрессия). В общем случае, если регрессия У на х отличается от линейной, рассматривают линейную (по параметрам) регрессионную модель вида М(У/х] = Во+ 0~а~(х) + . ° + Ц дав,(х), (21) где ад(х),, ад д(х) — известные функции, а,Зе, Д,..., рд ~ — неизвестные параметры. Пусть (х;, у;), 4 = 1, 2, ..., и — результаты наблюдений переменных х и У. С учетом случайных флуктуаций переменной У результаты наблюдений уд, уд, ..., у„являются реализациями случайных величин Уд = Д + Яа~(х) + ° . + Вд ~ад д(х) + ен Гл. 19.
Математическая статистика 312 где е, — случайные ошибки наблюдений, распределение которых удо- влетворяет условиям М (с,) =О, О, (~у, ат, 1=1, 1 1=1,2,...,н, Как и в п.1, при статистическом анализе регрессионной модели (21) предполагается, что случайные ошибки наблюдений е; имеют нормальное распределение, т.е. е; Ж(О,а), 1 = 1, 2, ..., п, и, следовательно, являются независимыми случайными величинами. Методы, используемые для решения задачи регрессионного анализа в и. 1, легко обобшаются на случай линейной регрессионной модели (21). Для нахождения оценок параметров Д, у = О, 1, ..., (с — 1, по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов.
При атом МНК-оценкн параметров модели (20) имеют те же свойства, что и МНК- оденки параметров линейной регрессии. По методу наименьших квадратов в качестве оценок параметров до, Д, ..., )Уь 1 (МНК-оценок) пРинимаютсн значениЯ Ро, А,..., (Уь ы даюшие минимум функции Ю (Ро, ", А-1) = ~ ~(у — у )— оы п [у, — ()уз+ 111о1(х;) + +)Уь ьаь 1(х,))]т. (22) а=1 Из необходимых условий минимума функции Я ()Зо, Д, ..., Дь 1) в (22) следует, что оценки До, Д, ..., )уь 1 являются решениями линейной алгебраической системы к уравнений (3оп+Д1 ~ а,(х;)+ +Д, 1~~ аь 1(х,) = ~~~ уо (уо,~ а1(х;) + Д1 ~~ а1(х;) а1(х,) +... +Д, 1 ~ аь 1(х;)а1(х;) = ~~ у,а1(х;), (23) (Уо " аь г(х;) + 111 "~ аь(х,) аь ь(х,) + ...
+ бь-1 ',) оь-1(х;) оь-1(х') = сь уьоь-1(х ), называемой нормальной системой. 9 7. Элементы регрессионного анализа С использованием следующих матричных обозначений: 313 — вектор наблюдений, 1 а~(х„) ... аь 1(х„) Ро А — вектор параметров, система (23) принимает вид (АтА) 9 АтУ где АтА = (а,.), 4, у = О, 1, 2, ..., Ь вЂ” 1 — квадратная матрица Ь-го порядка. При условии, что АтА — невырожденная матрица, решение системы (23) можно записать в виде 19 (АтА)-~ АтУ (24) 1)о А где Д = — вектор МНК-оценок параметров модели (21). П р и м е р 3.
Измерение температуры корпуса работающего агрегата, производимое с интервалом 5 минут, дало следующие результаты; 20 25 5 10 15 Т, 'С 59,3 59,6 60,1 64,9 70,2 Считая, что зависимость межу зтими переменными имеет вид Т = = а+ Ы+ сг~, найти оценки параметров а, Ь и с по методу наименьших квадратов. У~ фз Ъ' = 1 а~ (х1) 1 а~(хз) аь ~(х~) аь-~(хт) — регрессионная матрица размера я х я; 314 Гл. 19. Математическая статистика з Предварительно преобразуем исходные данные по формулам 1 — 15 х =, у = 10 (Т вЂ” 60) 5 и вычислим оценки параметров линейной модели у = Д> + Д х + 33гх . Так как в этом случае аг(х) = х, аг(х) = хг, то система нормальных уравнений (23) имеет вид Яп+ юг ~ х;+13г~ х; = ~~ р,, )3о ~ х; + Д ~~~ хг + ~3г ~ ~хг = ~~' хгр', (25) )3о~х;+)Зг 3 х;+)3г~~~ х, =~~~ х;уо Для вычисления коэффициентов системы (25) составим таблицу 7.1.
Таблица 7.1 Система нормальных уравнений (25) такова: 5До+ 10)3г = 143, 1013г = 269, 1033о+ 3413г = 427. Решая эту систему, получим 13о 8,457, юг = 26,9, )Зг ю 10,07; таким образом, зависимость между у и х имеет вид у = 8,457+ 26,9х+ 10,07хг. Переход к исходным переменным дает (Т вЂ” 60) 10 = 8,457+ 26,9 — + 10,07 ( — / 1 — 15 /С вЂ” 151 315 3 7. Элементы регрессионного анализа откуда получаем окончательно Т = 61,84 — 0,671+ 0,04Р. > Считая, что зависимость между переменными т и У имеет вид у = фо + Дт + р2х2, в задачах 19.335 — 19.338 найти оценки параметров по следующим выборкам: 19,335.
19.336. 19,337. 19.338. В задачах 19.339-19.341 найти оценки параметров,00 и Д, считая, что зависимость между переменными х и У имеет вид У=до+— Р"1 х 19.339. 19.340. 19.341. а 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 у 1б,50 13,75 13,31 12,50 13,52 12,75 12,30 12,83 12,28 12,34 Пусть (т;, р;), 1 = 1, 2, ..., я — результаты наблюдений двух переменных х и У. Записать матрицу А для следующих линейных моделей 1задачи 19.342-19.344): Гл.19.
Математическая статистика 316 19.342. у = 12о+)31х+ Дтх~. 19.343. у = ))о + ))2 з(ц а2х+ Р2 сов ь2х, где и2 — заданная константа. 19.344. у = Ро + Ае*. Как и в случае линейной регрессии, качество аппроксимации результатов наблюдений (х,, у;), 1 = 1, 2, ..., и, регрессионной моделью (21) определяется остаточной дисперсией (26) и — )с где Я, — остаточная сумма квадратов, равная Яе = Л~' (у1 ус) = ~~' [ус Д) /3!а1(хс) — ' ' ' — Вь-саь 2 (хс)] В практических вычислениях остаточную сумму квадратов вычисляют из тождества 1;22 = Юл+Ю.
(ср. с (14)). Величина Я„, называемая суммой квадратов, обусловленной регрессией, вычисляется по формуле ьт ~Ту -2 (27) Если модель (21) адекватна результатам наблюдений, то остаточнал дисперсил лвллетсл несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдений пз, т.е. М[в2] = аз, причем статистика с2,/от имеет распределение т с и — )с степенлми свободы. В зтвм случае можно 2 првверить гипотезы в параметрах модели и найти доверительные интервалы длл этих параметров.
Для проверки гипотезы Но . )12 = О,,В2 — — О, ..., Д 1 = О используют статистику Е Ю.Пй — 1) а. Я~((п — сс) (Й вЂ” 1) вт Если гипотеза Но верна (в атом случае говорят, что модель (21) статистически незначима), то статистика (28) имеет распределение Фишера с к — 1 и п — к степенями свободы. Оценка ковариационной матрицы МНК-оценок параметров К = в'(А'гА) '. (29) Границы доверительных интервалов длл параметров вычисляются по формуле Ву ~ 2с-ь72(п — lс) въ/аВ, 2 = О, 1, ..., /с — 1, (30) 3 7.
Элементы регрессионного анализа 317 (и й)а э (и й)8 э ( < э Хг-ауг(п ") Х„уэ(! ") (31) Пусть при различных значениях х!, хэ, ..., х переменной Х получены повторные наблюдения переменной У, причем при х = х! произведено и; т наблюдений 1'; у... у„, ..., у,„и ~~ и! = и, где и — объем всей выл=! борки. В этом случае можно проверить адекватность модели результатам наблюдений. Для этого используется статистика (сравните с (20)); Я„/(т — /с) = Г(т — !с, п — т), ь„!р/(п — т) где р= х~' у' 1 у=! з=1,2,...,т, Яи — Юе Юр. Пример 4.
Найти оценки параметров модели у = !уо + !8! х + отх по следующим данным: Проверить значимость модели. Определить коэффициент детерминации, вычислить оценки дисперсии ошибок наблюдений и ковариационной матрицы МНК-оценок параметров модели. Найти доверительные интервалы для параметров модели и дисперсии ошибок наблюдений. Принять а = 0,06. а Для вычисления оценок параметров составим таблицу 7.2.
Система нормальных уравнений (23) имеет вид 7,9о+ 28)Уэ = 3 28!У! = 28, 28До+ 196!Зэ = -92 (32) где а — диагональный элемент матрицы (А"А) ', а о — заданный уровень значимости; доверительный иитереал длл дисперсии ошибок наблюдений определяется соотношением Гл.19. Математическая статистика 318 Решая эту систему, получим 1то 5,38, А =1, )Уз = — 1,24. Таблица 7.2 Для проверки значимости модели последовательно находим у = 3/7 = в 0,429, ~~~ уу = 165, А У = (3; 28; -92)" — правая часть системы -т нормальных уравнений (32), 6 А~ э' и 158,22. Далее вычисляем 1~к —— )3 А~У вЂ” иуэ = 158,22 — 7 ° 0,429т и 156,93, Я„= ~~~ у1 — пуув = 165 — 7 0,429 ю 163,71, Я, = Яэ — Яв = 163,71 — 156,93 = 6,78. Выборочное значение статистики (28) равно 156,93/(3 — 1) 6,78/(7 — 3) Так как Года(2, 4) = 6,94 (таблица П7), то гипотеза о незначимости модели отклоняется.
Коэффициент детерминации по формуле (17) В~ = — ' ж 0,958. 156,93 163,71 Оценка дисперсии ошибок наблюдений определяется па формуле (26): 6,78 э~ = — ' = 1,695, а = 1,302. 7 — 3 3 7. Элементы егрессионного анализа 319 Оценка ковариационной матрицы по формуле (29) Определим доверительные интервалы для параметров модели. По таблице Пб находим 1о д75(4) = 2,776.
По формуле (30) границы доверительных интервалов для,Зо: 5,38 ~ 2,776 1,302 ~/О 333; для З1: 1х 2,776 1,302 ь/О,ОИ; для,уд: -1,24 х 2,776 1,302 . ~/0,012 или ;Зо Е (3 29; 7,47): А 6 (0,31; 1,69), Ад 6 ( — 1,64; — 0,84). Найдем доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений. По таблице П5 находим ~~од дж(4) = 11,1, сдд ддд(4) = 0,48. По формуле (31) доверительный интервал для ид имеет вид (7 — 3) 1,695 (7 — 3) 1,695'~ 11,1 ' 0,48 Большой разброс границ доверительных интервалов объясняется тем, что оценки параметров и дисперсии ошибок наблюдений определены по малому числу наблюдений (и = 7). о 19.345. Предполагается, что зависимость между переменными У и х достаточно точно описывается функцией р =,Зо+Дх+~З2хт. Найти оценки параметров До, Д и,Зт, а также оценку ковариационной матрицы этих оценок по следующей выборке: В задачах 19.346 — 19.348 по выборкам наблюдений требуется: а) найти оценки параметров модели р = Д + Д х + )Зтх; б) проверить значимость модели; в) найти оценки дисперсии ошибок наблюдений и ковариационной матрицы; 7 0 К=1,695 0 28 28 0 0,333 ж 1,695 0 -0,048 196 ) 0 -0,048 0,565 0 -0,081 0,036 0 = 0 0,061 0 0 0,012 — 0,081 0 0,02 Гл, 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
