341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Принять сг = 0,01. 19.399. Изменение урожайности при применении одного из видов предпосевной обработки семян характеризуется следующими данными (в центнерах с гектара): Гл. 19. Математическая статистика 344 Выборочное значение и, статистики критерия есть наименьшее из чисел ю1 и юэ. В таблице П10 приводятся вероятности того, что И' < ю„при условии, что гипотеза Но верна, т.е. значения р = Р (Иг < и в /Но) для выборок объема п1 и пэ (п1 > пэ). При односторонней (двусторонней) альтернативной гипотезе Н1 гипотеза Но отклоняется, если р < а (р < св/2), где сг — заданный уровень значимости.
В противном случае гипотеза Но не противоречит результатам наблюдений. Если объем каждой из выборок больше 8, то проверку гипотезы Но можно проводить, используя статистику 1 И вЂ” п1пэ 2 (9) имеющую (при условии, что верна гипотеза Но) приблизительно нормальное распределение Х(0, 1). В этом случае гипотеза Но отклоняется на уровне значимости св, если выборочное значение 2, статистики Л удовлетворяет неравенству хв < 11а (хв ) 111-а) при левосторонней (правосторонней) альтернативной гипотезе Н1 и если ~ хв ~ ) п1-а?2 при двусторонней альтернативной гипотезе Н1.
Пример 2. Измерялось напряжение пробоя у диодов, отобранных случайным образом нз двух партий. Результаты измерения (в вольтах) следующие: Можно ли считать, что у диодов из второй партии напряжение пробоя выше, чем у диодов из первой партии? Принять а = 0,10. О Воспользуемся критерием Вилкоксона. Составим вариационный ряд, отмечая принадлежность элемента к первой партии черточкой сверху В результате получим следующую ранжированную последовательность: Элемент 39 40 40 40 41 42 50 53 54 54 60 61 63 67 69 Ранг 1 3 3 3 5 6 7 8 9,5 9,5 11 12 13 14 15 3 8. Непараметрическис методы математической статистики 345 Сумма рангов первой выборки Нг — — 49,5, сумма рангов второй выборки Ла — — 70,5, и, = 7, яз — — 8. По формулам (б) и (7) находим вг —— 7 8+ — 49,5 = 34,5, 7 (7+1) юз — — 7 ° 8+ — 70,5 = 21,5.
8 ° (8+ 1) Используя соотношение (8), провернем правильность вычислений: 34,5+ 21,5 = 56. Выборочное значение статистики и, равно меньшему из чисел 34,5 и 21,5, т.е. гл, = 21,5. По таблице П10 находим (с интерполяцией) р = Р 1Иг < 21,5] = 0,25. Так как предположение о том, что у диолов второй партии напряжение пробоя выше, соответствует односторонней альтернативной гипотезе Нг, а вероятность р = 0,25 превышает уровень значимости сг = 0,1, гипотеза На не противоречит результатам измерений. Следовательно, результаты измерений не дают оснований считать, что напряжение пробоя у диодов второй партии выше, чем у диолов первой партии.
1> П р и м е р 3. В условиях примера 2 получены результаты новой серии измерений напряжения пробоя у лиолов (в вольтах): Имеются ли основания утверждать, что напряжение пробоя у диодов обеих партий различно? Решить пример, используя; а) критерий Вилкоксона; б) проверку гипотезы о равенстве средних (в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей).
Принять а = 0,1. 3 а) Как и в примере 2, упорядочим результаты измерений и определим ранги кажлого результата. Имеем Элемент 51 51 51 54 57 59 60 60 62 63 63 Ранг 13 13 13 15 16 17 18,5 18,5 20 21,5 21,5 Гл.19. Математическая статистика 346 Найдем суммы рангов Нг = 129,5, Лг = 123,5 Так как п1 — — 12, пг — — 10, по формулам (6) и (7) находим гог = 12 10+ — 129,5 = 68,5, 12 (12+1) гог = 12 10+ — 123,5 = 51,5. 10 (10+1) 2 Выборочное значение го, статистики критерия таково: ю, = 51,5.
Так как п1 > 8 и пг > 8, то для проверки гипотезы Но используем статистику Я. Выборочное значение этой статистики определяется по формуле (9): 51,5 — — 12 10 1 2 — 0,56. г,— Проверяемое предположение соответствует двусторонней альтернативной гипотезе, следовательно, значение ~ г, ~ сравнивается с квантилью и1 которая определяется по таблице П1; ио,оо = 1,645 Таким образом, утверждение о том, что напряжение пробоя у диодов обеих партий различно, следует отклонип . б) Проверим гипотезу о равенстве средних (з4 п.2).
По результатам наблюдений вычислим оценки средних и дисперсий для каждой выборки: т1 50,17, аг 55,06, хг = 51,90, ог г— 76,32. Предварительно следует проверить гипотезу о равенстве дисперсий Но .. я~г = сог~ при альтернативной гипотезе Н1, о~ ~ цг~. Лля этого найдем отноцгение выборочных дисперсий и сравним его с квантилью Р~ уг(пг — 1,пг — 1) (таблица П7): г г 1,39, Ро,оо(9,11) = 2,90. эг Так как 1,39 < 2,90, гипотеза о равенстве дисперсий принимается, следовательно, проверку гипотезы о равенстве средних можно проводить на 38. Непараметрические методы математической статистики 347 основе статистики Стьюдента (34, таблица 4.2).
Выборочное значение этой статистики равно х~ — хэ 50,17 — 51,90 — 0,5. Так как значение квантили 11 (ц~ + яэ — 2) по таблице Пб равно Года = 1,725 и !1, ! ( 1,725, гипотеза о равенстве средних принимается. Таким образом, утверждение о том, что напряжение пробоя у диодов обеих партий различно, следует отклонить. Это совпадает с результатом, полученным в а).
1> 19.400. У полевых транзисторов из двух партий, изготовленных с применением различных технологий, измерялось дифференциальное сопротивление канала Ль Результаты измерений (в микроомах) следующие: Технология А 0,01 0,02 0,12 0,30 0,29 0,15 0,21 Технология В 0,15 0,07 0,25 0,15 0,22 0,18 0,18 0,27 Влияет ли технология изготовления на величину дифференциального сопротивления канала Л,7 Принять сг = 0,05. 19.401. В условиях задачи 19.400 у полевых транзисторов измерялась еще одна характеристика: емкость затвор — сток. Увеличилась ли величина емкости затвор — сток у транзисторов, изготовленных по технологии В, если измерения дали следующие результаты (в пикофарадах): Принять сг = 0,05. 19.402. В биохимическом исследовании, проведенном методом меченых атомов, по результатам изучения 8 препаратов контрольной серии получены следующие показания счетчика импульсов (в импульсах в минуту): Опыт 340 343 322 349 332 320 313 304 Контроль 318 321 318 301 312 Гл.19.
Математическая статистика 348 Можно ли считать, что полученные значения опытной и контрольной серий различны? Принять сг = 0,10. 19.403. По выборкам из двух партий микросхем после операции легирования поликремния измерялось удельное сопротивление. Результаты замеров следуюшие: 1-я партия 52,2 33 76 32,5 49,5 32,5 191,5 112,5 2-я партия 119 17,5 43,5 43,5 90,5 40 50 108 1-я партия 52,9 114,8 33,7 69,1 112,5 48,5 16,5 2-я партия 62,4 16,5 97,5 96 46 Можно ли утверждать, что обе партии получены из одной генеральной совокупности? Принять а = 0,10. 19.404.
В условиях задачи 19.403 после операции разгонкн бора измерена глубина слоя диффузии и получены следующие результаты (мкм): Можно ли считать, что глубина слоя диффузии в микросхемах из обеих партий различна? Принять а = 0,10. 19.405. Длина тела личинок шелкуна, обитающих в посевах озимой ржи и проса (выраженная в мм), варьируется следуюшим образом: На основании этих проб создается впечатление о более крупных размерах личинок щелкунов, обитающих на просе. Проверить это предположение, используя критерий Вилкоксона.
Принять а = 0,01. 19.406. Изучалось влияние кобальта на увеличение массы тела кроликов. Опыт проводился на двух группах животных — опытной н контрольной. Возраст кроликов колебался в пределах от 1,3 3 8. Нелараметрические методы математической статистики 349 до 2 месяцев. Исходная масса тела особей находилась в пределах от 500 до 600 г. Опыт длился 8 недель. Обе группы содержались на одном и том же кормовом рационе, но в отличие от контрольных, опытные кролики ежедневно получали в виде водного раствора по 0,06 г хлористого кобальта на 1 кг массы тела.
За время опыта у животных наблюдались следующие прибавки в массе (за 1 неделю): Можно ли утверждать, что прибавки хлористого кобальта действительно дают прибавку массы тела? Принять сг = 0,10. 3. Критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Этот критерий может использоваться вместо критерия, основанного на отношении выборочных дисперсий (э 4, и. 2, таблица 4.1), при условии, что у рассматриваемых генеральных совокупностей равны или близки характеристики положения, т.е.
средние или медианы (см. пп.1,2 настоящего параграфа). Критерий применяется следующим образом. Объединенная выборка объема я~ + пт упорядочивается в порядке возрастания и отмечается принадлежность каждого элемента к той или иной выборке. Ранги присваиваются по следующему правилу: наименьшему значению присваивается ранг 1, два наибольших значения получают ранги 2 н 3, ранги 4 и 5 получают следующие наименьшие значения и т.д.
Схема расстановки рангов показана ниже: 1,4,5,8,9,...,7,6,3,2. Кажлому из совпалаюших по величине элементов присваивается ранг, равный среднему арифметическому (как в критерии Вилкоксона). При п~ > 10, от > 10 статистика Я критерия определяется по формуле (10) г я~(п~ + пт + 1) 12 где Яэ — сумма рангов для выборки меньшего объема пт (пт < пс). При условии, что верна гипотеза Но. дисперсии сравниваемых генеральных совокупностей равны — статистика Я имеет приблизительно нормальное распределение Н(0, 1).
Гипотеза Но отклоняется, если выборочное значение з, статистики Е удовлетворяет неравенству ав ( оч (лв > о! — а) при левостороиней (правосторонней) альтернативной гипотезе Н~ и если Гл.19. Математическая статистика 350 при двусторонней альтернативной гипотезе Н1 . о1 ф ггз. В противном 2 2 случае гипотеза Но не противоречит результатам наблюдений на уровне значимости сг. Если объем одной из выборок меньше или равен лесяти, то приведенный выше критерий может использоваться только для приблизителъных расчетов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
