341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 63
Текст из файла (страница 63)
18.90. 2/7. 18.91. а) 1/4; б) 1/6. 18.92. Р(А) = 1/60, Р(В) = 2/5. 18.93. Р(С) = 1/20, Р(В) = 2/5, Р(Е) = 9/10. 18.94 б); в) С" /С», и (я — 1) 2 (п1) (и+ 1) (п1)2 18.95. Р(А) =, Р(В) = 18.96. Р(А) = 1/45, (2п)! ' (2я)! Р (В) = 7/45, Р (С) = 1/15. 18.97. 1/11. 18.98. а) 1/30; б) 1/6; в) 1/10. 18.99.
р„=; рэ = 4/9, р1 — — 1/3. 18.100. Р(А) = ( — ) 0,1615, --.+3 — — — ~6)- Р (В) 0,8385, Р (С) 0,155. 18.101. 0,0016. 18.102. 1/4. 18.103. Р (.4) = = 0,001, Р(В) 0,0605. 18.104. Р(С) = 0,1, Р(В) 2,1 10 э 18.105. Р(А) = 1/216, Р(В) = — 0,16, Р(С) = 5/324, Р(Р) = 1/6 э. 5 48 18.106. Р(А) = 1/64, Р(В) = 1/64, Р(С) = 29/32. 18.107. Указание. Представить данный эксперимент как последовательность испытаний, каждое из которых состоит в случайном заполнении очередного ящика, и воспользоваться формулой для числа элементов прямого произведения множеств. 18.108. 1!1(й) = 4200, Р (А) = 2/15. 18.109.
30/143. 18.110. Р (А) = 14/323, Р (В) = 125/969. 18.111. а) З п1 элементов е1 можно разместить на я мест С„"' способами, при этом пт элементов еэ можно разместить на и — Д1 оставшихся мест С„"'„, способами и т.д. Совмещая все эти возможности, и! п1 )я2! ' ' ' нз' 112 яэ и! (я п1).
1 б) р =, ' х ...= — „, . 18.112. Р(А) 0,0013, я! п2)пэ! "я,! Сп' Р(В) 0,0154, Р(С) 0,3215, 18.113. 2!3!2!/10! - 6,6 . 10 э (12!)452' ' ' (13!)252! 18.115. Р (С) 0,01056, Р (В) 0,0552. 18.116. Сочетания: й (аЬ,ас,Ьс), Х(й) = 3 = С22 (выбор без возвращения и без упорядочивания); размещения: й = (аЬ, Ьа, ас, са, Ьс, сЬ), Ж(й) = 6 = = А2 2(выбор без возвращения и с упорядочиванием); сочетания с повторениями; й = (аа, ЬЬ, сс, аЬ, ас, Ьс), Х(й) = 6 = С4 (выбор с возвращением и без упорядочивания); размещения с повторениями; й = = (аа, ЬЬ, сс, аЬ, Ьа, ас, са, Ьс, сЬ), 111(й) = 9 = 32 (выбор с возвращением и с упорядочиванием). 18.117.
Е = (аа,аЬ,ас, Ьа, ЬЬ, Ьс), р = = 1/3. 18.118. С»/я". 18.119, 18.120. а) 1/и; б) 1/п(1 — 1/и)» '. 18.121. а) 3/55; б) 12/55. 18.122. а) Р(А) = Ответы и указания 363 Сь С~ ~с = 1 — — "„, если й < п — т; 1, если /с > и — т; Р(В) = и й Сь1С~ "' если Й < п — тп + 1; О, если Й > и, — т + 1; Р(С) если й < п — т+ Йт, О, если /с > п — т+ Йт. 18.123. р„= 1 — —, Аззз 365" ' рзз — 0,538, рзо 0,97 18125 Р(А) = РО в Р(В) = РО 18.126.
Р(С) = 28Аэ ° 10 т ж 0,17, Р(В) = 378А~ э° 10 э ж 0,64. 18.127. Р(Е) = 56Аэ з10 " 0,08, Р(Г) = Сз Зз 10 э — 0,008. 18.128. Р(А) = 25/546, Р(В) = 24/91. 18.129. а) 1/2; б) —. 2п 18.130. а) 1/3; б) (п — 1) (и — 2) 2" 18.131. Р(А) = —, Р(В) Зпз (2п)! ' п! 18 132 !7(й) 10з р 0 7210-з 18 133 тЗ/(й) 1 3 ° . (2п — 1) 1 / 1т" = Аэто Р = 1/210. 18134 Р(А) =: Р(В) = ~1 ) тв-1 ' тп 18.135. Р(С) = " Р(В) т" тв-1 18.136. Р(Е) = 9/64, Р(Г) = 27/128.
18.137. Р(Е) = 4/27, Р(Г) = = 2/9. 18.138. (3/4)". Указание. Учесть, что в состав всех подмножеств конечного множества Е входят и пустое множество, поэтому общее число всех возможных пар равно тУ(11) = 4". Пусть Яь — число всех пар подмножеств, в которых первое подмножество имеет ровно !т элементов. Число таких пар Яь = С„" 2" ь. Кроме того, необходнмо учесть, что пересекаются только те множества, которые имеют общие элементы (следовательно, пустые множества не пересекаются), поэтому если событие А = (два произвольно взятых подмножества множества Е и пересекаются), то !7(А) = ~ Яы э=о 2 0<а<1, 18.139. Р (В) = — / 2 11 аз — 1 + а — — агссоз -), 1 < а < 1/2, 14 а)' 1, з/2 < а. 18149.Р(В)=) а(1 — ! ), О<а<1, -',1, 1 < а.
т аз 18.141. Р(С) = ~ ' ' Р(.0) = а(2 — а). 18.142. 2/3. 18.143. 5/6. 18.144.тт/2х. 18.145. — ! 2 — - !. 18.146. э!и 364 Ответы и указания 18.147. а) 0,08; б) — — 0,433, в) — . 18.148. Р (А) = 7/16,Р (С) = л/3 и 4 ' ' 12 = 7/32. 18.149. Р (В) = 1/4, Р (Е) = 9/32, Р (Г) = 1/24. 18.150. 139/1152. 2 18.151. а) 1 — — 1 — — — — 1 — —; б) 1 — — 1— — — ~1 — — ) .
18.152. Р(А) = 2/3, Р(В) = 1/12. Указание. Пока- 1 г' 1э'г 2г, Т) зать, что .4 = ((а, Ь) ( ! а ! < 1, Ь < 1, аэ ) Ь) и В = ((ат Ь) ( — 1 < а < О, Й~ггг, ~г). 1В.ггг..у .и +4 линдра полностью характеризуется положением оси цилиндра при различных поворотах вокруг неподвижного центра масс. Лостаточно проследить за значениями какой-либо иной, помимо центра масс, точки оси цилиндра, например центра круга, лежашсго в основании цилиндра.
При этом множество всех возможных значений данной тачки представляет собой полусферу радиуса Ь/2, а множество тех значений, при которых цилиндр упадет на боковую поверхность, — сферический палс. 18.154. 1/4. Указание. Пусть длины отрезков х, у, 1 — х — у. Показать, что область, соответствующая искомому событию, выделяется на плоскости условиями х < 1/2, у < 1/2, х + у < 1/2. 18.155. Д гг/( Г5 — г/2 ).
Указание. Воспользоваться результатом примера 11. 18.156. 1/4. Указание. Обозначим событие В = (ЬАВС остроугольный). Пусть точки А, В и С фиксированы. Условимся измерять длины дуг между точками в таком направлении, чтобы при движении по окружности за точкой .4 следовала точка В, а за точкой  — точка С. Показать, что если при таком способе измерения х — длина дуги .4В, у — длина луги ВС, то Й = ((х, у)~0 < х < 2п, 0 < у < 2гг, х + у < 2п), В = 2 = ((х, у) ~ 0 < х < гг, 0 < у < л, 2х — (х+у) < и). 18.157. — агссоэ — . гг гт 2 1 21 18.158.
— )п2+ — 0,237. 18.159.. Укааание, Положение 9 12 ' (гг/а) иглы характеризуется двумя ггоординаталги (г, |р), где г — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой линии, Чг — угол между направлением иглы и прямой линией. 18.159(1). 1) 1/4. 2) 1/3. 3) 1/2. 18.163. 1/3, 18.164. 1/4. 18.165. 3/4. 18.166. Р (Аг/С) = 11/32, Р(Ат/С) = 9/16. 18.167. 1/3. Указание. Учесть, что множество элементарных исходов Й можно представить в виде Й = Йг х Йэ, где Й, = (М,Д), г = 1,2. 18.168.
1/3. 18.169. Р(В/А) = 0,5, Р(А/В) = = 60/91. 18.173. Не следует. 18.174. Указание. Показать сначала, что независимы событии А и В. 18.176..4 и В, Г и В независимы, .4 и Г зависимы. 18.177. Зависимы. Р (Р/С) = 9/16. 18.179. а) Е и Г независилгы; б) не являются. 18.181. 2/9. 18.182. 48/95. 18.183. 8/9. 18.184. 20/21. 18.185. 1/4. 18.187.
а) 0,216; б) 1/6. 18.188. Р (ВЕ) = = 2/9, Р(АГ) = 1/9, Р(АВЕ) = 1/18. 18.189. 1/я. 18.190. 5/8. 18.191. Р (.4) = (1 — рг)(1 — рэ), Р (В) = рг + рт — 2ргрг. 18.192. 0,664. Ответы и указания 365 18.193. Р (А) = 0,24, Р (А В) = 0,48, Р (А+ В) = 0,88, Р (АЬВ) = 0,4. 18.194.
Р(В + Е) = 13/18, Р(Š— А) = 1/3, Р(à — АВ) = 7/18. 18.195. 1 — (1 — рг)(1 — рг). 18.196. Р (А) = 0,8, Р (В) = 0,4, Р (С) = 0,6. 18.197. 228/253 и 0,901. 18.198. 0,104. 18.199. Р(А) = 1/2, Р(В) = = 3/4, Р (С) = 1/2, Р (О) = 25/36. 18.200. 0,22. 18.201. Р (А) = 0,729, Р (В) = О 972, Р (С) = 0 891. 18 202. (РзРг+ (1 — Рз)(1 — Чг))(ЧзЧг+(1— (!и (1 — рг) — Чг)(1 — рг)). 18.203.
и > 25. 18.204. и = ~ + 1, где [х]— '! !и (1 — рг ) целая часть числа х; п (0,3; 0,9) = 7, п (0,3; 0,95) = 9. 18.205. 1 — Зргрзг. 18.206.С мелкой мишени. 18.206(1). В отношении 7: 1. 18.207. Р(А) = = 1 — (1 — ррз)" г, Р(В) = 1 — (1 — ррз)" ь 18208 1 — ЧзЧгЧз 18209 1 — (1 — Рзргрз)(1 Рарзра) 18 210 Рзрз(1 — ЧгЧз) 18.211.
(1 — ЧгЧг)(1— — ЧзЧз) 18 212 Рз(1 — ЧзЧг)(1 — ЧзЧ4) + Чз(рзрз + Ргрз — Рзргрзрз). 18.213. р(т+ и) — р(т) 18 214 рз = 2/3, рг = 1/3 18 215 рз = 1- р(пг) 1 — (- ) —, рг —— — + — -~! ж — . 18.216. Рз — 4/7, рг = = 3/7. 18.217. Р (А) = 7/9, Р (В) = 2/9. 18.218. Р (С) = 5/9, Р (В) = = 4/9. 18.219.
Могут существовать О, 1, 2, 3, 4 амебы соответственно с вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32. 18.220. Указание. Исп пользовать метод математической индукции. 18.221. р„= ~~~ ь=1 19 рз = —, рзо — — 1-е '+Ли а 0,649, где „— остаточный член разложе- 30 ' ния в ряд Тейлора функции е* в точке х = — 1. Указание. Пусть собы(п — 1)! тие Аь = (й-й адресах получил свое письмо). Тогда Р (Аь) = п! (и — 2)! 1 Р(АьА,„) =, ' (!г ф пз), ..., Р(Аз ...А„) = —,. Для вычисления искомой вероятности р = Р (Аз + Аг + + А„) воспользоваться формулой сложения для и слагаемых.
18.222. р. 18.223. р > > 1/2. 18.224. р. 18.225. 0,84. 18.226. 0,895. 18.227. 00 (я! + пг) 18.228. 1 — прЧзЧ" ' — Ч", где Чг — — 1 — ры Ч = 1 — р. 18.229. 0,574. 1 18 230. (Чз (1 — Чг)+ (1 — Чз) рг + (1 — рз)(1 — Чг)+ргрг). 18 231.
67/120. 2 18.232. 0,452. 18.233. 0,445. 18.234. 0,763. 18.235. В одну урну поместить один белый шар, в другую — два белых и три черных. Р,„(а) = = 0,7. 18.236. В первый район следует послать пго геологоразведочи 1 1 — рз ных партий, где пзо — ближайшее целое к числу — + — 1п 2 2 рз Указание. Пусть событие А = (хотя бы одна из п посланных геолого разведочных партий обнаружила нефть на заданной территории). Ответы и указания 366 р1+р2+рз = 1. Рассмотрим две гипотезы: Нг — — (при первом подходе первый игрок не достал черный шар) и Нз — — Йз. Тогда Р(Н,) = 0,7, Р(НЗ) = = 0,3, Р (Аз/Нз) = 0 и Р (Аз/Н!) = Р (Аг) = Ры так как если первый игрок не достал черный шар, то второй оказывается в положении начинающего игру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
