341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 67
Текст из файла (страница 67)
18.626. П ~ ~ = (2а+ 11г) Рх. 18.627. т„(1) = (ИХ(!)1 ~Й = 7гг + 2Ю, Р„(1) = 4!г. 18.628. тх(1) = — С вЂ” — вш2ыг, Рх(1) = 3 1 2 4ю — — в!и ы1. 18.629. Р~(1) = иг1 1+ -е "' . 18.В31. Кхх(1ы !г) = Ответы и указания 389 г Х(з) й о 18.641. Р Р„ жг ~ ы„' а=о где а определено в предыдущей задаче. 18.643. Не является. 18.644. Является. 18.646. Кк(т) = е гг~'~, т = Зг — Зм Указание.
Для вычисления ковариационной функции описать закон распределения двумерного случайного вектора (Х(г), Х(г+ т)). 18.647. Кк(т) = р(1 — р)е "~'~. Указание. При вычислении Кк(1,1+ т) воспользоваться формулой полного математического ожидания на разбиении (А, А), где событие А = (за время т процесс не совершит ни одного скачка): М [Х(г) х Х(З+т)] = М [Х(З) Х(1+т)/А[ Р (А)+М [Х(1) Х(З+т)/А[ Р (А). 18648. тг(1) = О, Р,(З) = ог, К„(т) = о'е ~~'. Укааание. См. указание к предыдущей задаче.
18.649. Непрерывен, но не дифференцируем. Указание. См. указание к задаче 18.623. 18.650. Диффес(г Х(1) ренцируем бесконечное число раз. Если У(З) = Й , то Рт(З) = 4~К„(г) = Всгго~. 18.651. Дифференцируем дважды. Р, = 2сгго~~. г=о = фг+ — Сггг+ — 1г. 18.632. Ккз(бм 1г) = Й1+4гг. 18.633 Кхг(йм Зг) = з 1 г 2 з 2 3'г' д' ~Р(гг) Кз(1ы 1г) + Ф(1г) — г Кх(Ь, 1г). 18.634. /кх'(т У) г г 1 г — ехр~ — -(т — 1) + — у г. 18.635.
Не является. 2я~/2 [[ 2 4 ) 18.636. Указание. Так как тк(1) = 0 и Кз(1, З + т) = соаыт, то процесс Х(1) стационарен в широком смысле. Для доказательства второго утверждения показать, что существует сдвиг т такой, что, например, Р(Х(0) = 1) ф Р(Х(0+ т) = 1), т.е. уже одномерный закон распределения процесса Х(г) не является инвариантным относительно произвольного сдвига по времени. ( Л (1 — .), О < т < 1, 18.637. т„(С) = Л, Кт(З, г+ т) = ~ '(о, 1 < т. Указание. ПРи вычислении Кг(1, З + т) = М[У(З)У(З + т)[— — пгг(З)т„(З + т) РассмотРеть Два слУчаЯ: 1) т > 1 и 2) 0 < г < 1 — и воспользоваться тем, что пуассоновский процесс — процесс с независимыми приращениями. 18.638. 2 (К„(0) — К„(т)). ч п 18.639.
К„(З, З+т) = ~~> Рьсоаыьт; Р = ~ Ры 18.640. Р[Х(1)[ = а=о а=о 390 Ответы и указания Пг 18652. Не дифференцируем. 18653. К,(1, Г+т) = К»(т)+ — К»(т) + тг ~4 д + — К»(т). 18.655. К „(т) = — К»(т). 18.656. К» (С, С+т) = Йт~ дт е ~ +'~а1пфг + го). Указание. Использовать резульгн +Р— а с-но д г г -а)т! тат предыдущей задачи. 18.657. К»„(г, г+ т) = --п~сг~е ~'~(1 + 3 + гг ! т) — о т ). 18.659. Указание.
В двойном интеграле, определяю- щем дисперсию а~ (1), сделать замену переменных и изменить порндок интегрирования. 18.660. 11 (г) = 4С вЂ” 2(1 — е г'). Указание. Ис- пользовать результат предыдущей задачи. 18.661. Процессы не явля- ются стационарно связанными.
Указание. При вычислении ковариа- ционной функции использовать результат аадачи 18.658. 18.662. яг» = г+дг / = О, К (т) = и~. ~ ~ соа|3т — — а(п д ) т ~, 1З„= пг (аг + дг). У к а з а н и е. При доказательстве нормальности воспользоваться опреде- лением производной случайного процесса и свойствами линейной функ- ции нормальной случайной величины, 18.663. РЦ < /131= 26З(-) — 1=0,383. Г(ВХ(1) 1 1 Ц й ) 2 1 ( 1 /, уг~) 18.В64. /г(х, у/1, 1) = ехр ~ — — ~х + — )). 2ягитг»з/2 1. 2пг» ~ ггг)) У к а за н и е. Использовать результат задачи 18.662.
ыг ыг г +, сбп( г) 18.869. » ( ) = 2 / ыг — ьгг 2 18.670. К (т) — ~ и» сов ыгт при ыг -+ им что соответствует гармониче- скому колебанию на частоте ым 18.671. К (т) = — е ~~'~„В» = —, 2 " 2' г»т = 2/гг. 18.672. К»(г) = — е ~" ~(1+ а (т (), П» = —, Ьт = 2/а. ь 5 18.673. К»(т) = г г, гг» = оыо, г1т = —. 4а /з1пиот '1 4 Зп 18.674. К»(т) = — ~ — совьют), гг» = — оыо, 18.675. Я»(ы) = ехр ~ — — з, г»ы = 2а з/я, /лт = —. 1 ( от+ (я — ы)г аг+ (ея+ р 18.678. Указание.
Использовать результат предыдущей задачи и пра- вила дифференцирования несобственных интегралов по параметру. Ответы и казакия 391 У к а з а н и е. Использовать определенный интеграл »» /'"'*-"- "— тг» дг = — ед ' (1 — Ф(/Урх/2)). 18.694. ггг = —, 4а ' о г — = 2а, г г ах 2 г гог+4 3 „г 18.695. гп = 2, 5»(го) = — гтх ( г+1)( г+25) Р» 10 18.696. Р» = — (агсС — — вгсг — ). 18.697. 5»(ог) = — ха Л Л ) ' ' " и (ьгг+аг)г' Р» = аг (аг + /гг), гзог = — (а + Д ). Указание. Использовать рег г 4 зультат задачи 18.672. При вычислении Р» применить теорию вычетов.
18.698. Р» = Рк 1 — — агсГ — ). 18.699. Р» = — х(1 — е Д'). ХХ ого Х Л пгх Хыо И иго Лг сгт 18.700. Р» = 18.701. Р (Л + )У)г 45 18.679. Ьаг/4. 18.680. 5 (ьг) = (о' + Ьгогг) 5„(го). 18.681. 5„(го) = 2~~ 2п — (1 — совог1о), г3го = —, процесс не дифференцируем. ггы го го 2Лр (1 — р) 18.682. 5х(го) = г г, гхьг = пЛ, процесс не дифференци„(Лг +,г) ' 4аг Рк 1 руем. 18.683. 5~(аг) =, гхьг = — па, процесс дифференцируем. 18.684. 5х(ог) ( г+рг+ г)г-45г„,г , процесс дифференцируем. 18.685.
т = О, К»(1, 1+т) = .г (а + Х»~) 2а = 2Кк(т) — Кх(т + 1,) — Кх(т — 1г). Стационарность сохранлетсн. 18 686. 5„(ьг) = 4в1пг — 5х(ы). 18 687. 6Кх(О) + 2Кх(21г) + ВКх(гг ). 2 18 688 Р» = Рх (6+ 2е-4 г, Ве г ) 18 689 5 (ьг) 2 (Лг + Лг) У к а за н и е. Использовать результаты задач и (юг + 4 (Лг + Лг)г) 18.692, 18.646 и примера 7. 18.690. т» = 3, Р» = 9/5. 18.691. т» = О, Р» = — агсС —. 18.692. Р» = пДс /2. Указание. В выраже- 2/У ого ыо д нии для Р», полученном в предыдущей задаче, положить гг = с ого г г гг» и ого» г и перейти к пределу при гоо -+ со. 18.693.
— » = — е" ~ (1 — Ф (х/2 аД)); в указанном частном случае это отношение равно а 0,671. Ответы и указания 392 ГЛАВА 19 19.1. О, 3, 5,6,8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 19 — вариационный ряд, х, ! 0 3 5 б 8 9 11 12 13 14 15 16 19 статисти- к, 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 ческий ряд, ю = 19. 19.2. 15,16,16,16,16,17,17,17, 17,18,18,18,18,18,19,19 — вариацион- ный ряд, х, ~ 15 16 17 18 19 — статистический ряд, ю = 4.
я, 1 4 4 5 2 19.5. ю = 63, Ь = 9, Ь = 7, н = 50, результаты группировки сведены в таблицу: 19.6. ю = 13,5, Ь = 2, й = 7, н = 65, результаты группировки сведены в таблицу: и," и Границы интервала Номер интервала и,' 19.7. График эмпирической функции распределения изображен на рис. 59, гистограмма частот — на рис. 60, полигон частот — на рис. 61. 19.8. График эмпирической функции распределения изображен на рис.62, гистограмма частот — на рис.63, полигон частот — на рис.64, 19.9. График эмпирической функции распределения изображен на рнс. 65, гистограмма частот — на рис. 66, полигон частот — на 1 2 3 4 5 б 7 8,4-10,4 10,4-12,4 12,4 — 14,4 14,4-16,4 15,4 — 18,4 18,4 — 20,4 20,4 — 22,4 9,4 11,4 13,4 15,4 17,4 19,4 21,4 3 7 13 21 17 2 2 3 10 23 44 61 63 65 0,0462 0,1077 0,2 0,3231 0,2б15 0,0308 0,0308 0,0462 0,1539 0,3539 0,6770 0,9385 0,9б93 1,0001 Ответы я указания рис.
67. 19.10. График эмпирической функции распределения изображен на рис. 68, гистограмма частот — - на рис. 69, полигон частот -- на рис. 70. 19.11. а) Гистограмма изображена на рис. 71, полигон О,б 0,6 0,2 0,2 0 15 17 19 х Рис. 59 0 15 16 17 18 19 г, Риг. 60 1,0 0,6 0,2 Риг. 62 Рис. 63 1,0 1,6 0.6 1,2 0„8 0,2 0,4 2 4 б 8 а 15 35 55 75 г 20 40 60 80 х Ряг. 64 Рис. 65 Ряг. 66 накопленных частот -- на рис. 72; б) гистограмма изображена на рис. 73, полигон накопленных частот -- на рис. 74; в) гистограмма изображена на рис.75, полигон накопленных частот — на рис.76. 19.23.
З Из определения выборки и формулы 11) следует, что Г„'(х) есть относительная частота события А = (г, ( х) в н независимых испытаниях, 15 17 19 х, 0 Рис. 61 2468х02468 Ответы и указания 394 причем в каждом испытании Р (А) = Гх(х).
Утверждение теоремы следует теперь из теоремы Бернулли 1гл. 18, 8 5). С> 19.24. И' = Ь„" = 3, %= 3,5, Вх =365 19'25'дх = 31 Ьх = 2,5, х 2,39 Вх 043. 2О 15 1О 55 75 х, 19 23 27 3! х !а 22 2б 30 34 х Рис. 67 Рис. 68 Рис. 69 19 23 27 31 х, Рис.
70 0,7 ,3 1,9 2,5 3,1 3,7 4,3 4,9 х Рис. 71 1,0 \ 0,8 О,б 20 0,4 О, 0,7 1,3 1,9 2,5 3,!хои3,7 4,3 х 0,7,9 3,! 4,3 5,5х Рис. 72 Рис. 73 19.26.а)И* =5,Ьх =4,х 4,14,й* ж5,84. 6)И*„=5,Л' =4, х е 4,57, В' е 11,10. Для выборки б) среднее и дисперсия увеличились, а мода и медиана не изменились. 19.31. х ы 6,54, И'„= 6, Ь* = 6, Ьх = 6~ Ох 7~34' 19.32. х 11~78~ !1х = 10~ Ь» = 10~ Вх 32~39 Ответы и указания 395 19.33. х и 10,49, дх = 10, Ь*„= 10, Р„' — 6,29.
19.34. б) Указа нне. Найти значение параметра а, при котором ~~ (х! — а) принимает в=1 'Х 1,О о,з 0,0 0,4 0,7 1,9 3,!хв в!4,3 5,5 х 0,7 3,! 5,5 х 0,7 1,9 3,1х„„4,3 5,5 х Ркс. 75 Ркс. 74 Рис. 73 наименьшее значение. 19.35. 47 Пусть х10 < х17! « ... хв"1 — ва- вв риациониый рнд выборки. Рассмотрим сумму ~~хв'1 — а~, а 6 К, и в=! покажем, что она достигает минимума при а = Ь'„. Положим а = Ь'„+ а и рассмотрим случай гв > О.
Тогда для некоторого 1 < 11 выполняется соотношение х07 < а < х11+17, причем 21 > я. Получаем !х1!1 — вх~ = ~~ 1Ьх+вт — х !в)+ ~~в (х~'1 — Ьх — а) = в=1 1=1 в=!4.! и и = ~ ~х10 — Ь ~+а(21 — я) > ~ ~~хв!1 — Ь в=1 Случай вх < 0 рассматривается аналогично. > 19.36. х, !1', Ь' изменятся на величину а, Р' не изменится. 19.37. х, 11', )!', увеличатся (уменьшатся) в Ь раз, Р*„— в Ьт раз. 19.38.
1) х = 17,7, Р* = 20,08; 2) х = 17,20, Р" 19,17. 19.39. 1) х = 70,4, Р'„т 9,6; 1 — в ) 2 х — 69,8, Р' 9,2. 19.40. 1) х — 5,96, Рв„1,35; 2) х = 5,94, и 1,31. 19.49. х — 17,92, Р' = 52,15, ах ы 0,89, ех - -7,55. 19.50. х = 61,6, Р„' 19,53, а'„- — 0,47, е'„— 0,25. 19.51. х = 35,72, Р,*, 19,96, а'„= — 0,03, е' — 1,09. 19.52. х ю 0,05, Р'., 0,02, е ж — 0,61. 19.54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
