341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Показательный с параметром а. 18.512. Указание. Записать выражение для Г„(1) в виде двойного интеграла по соответствующей области. 18.513. нг„„„= и — 1. 18.514. Ответы и указания 382 18.515, хь 0 1 Рь ч 2рч о'+ 2ро Ра О, — т< — 1, 02, — 1<я<0, 09, 0<я<1, 1, — 1<в. 18.516. К,(я) = э<0, 0<э<1, О, 18.51Т. У~(з) = 1/3, 1 Зтэ/э 1<я. — О, я<Оилия>2, 18,518, ~,(г) = — э~, 0 < г < 1; — аз+2», 1<э<2; (о, и < 0 или и > 1, '1 2 (1 — ), 0 «1.
1(1 1 18.519. р „(и, и) = 4 ~,тlи,~и) ' 0 в остальных случаях. О, а<Онана>т, 18. 520. У, (г) = — 0 < я < т. тэ О, т<0, 18.521. у,(т) = что соответствует закону — ехр (-тэ(2а~), 0 < т, оэ Рэлея. 18.522. По закону Коши с параметрами с = О, а = 1. 18.523 Ую (т, Ф) = с О, т<0, 18.524.Указание.
РассмотретьфункциюраспределенннГ» т (и, о) = Р1Х" < и, 1'" < о) отдельно для нечетных и четных и и показать, что как в том, так и в другом случае справедливо равенство Ответы и казания 383 Рх« е (и, и) = Р, (и) Г (и). 18.525. К,(и) = 1 — (1 — 6'(и))г, Ге(и) = = .ег(и), Указа нне. Использовать эквивалентность событий ((У > и) и (Х > и)(У > и), (Г < и) и (Х < о)(1' < и). (о, и(и, """"'" "'-)(6'(о) -(~(и) -~(и)), и <..
2 а<и<и<6, 18.527. у е(и, и) = (6 — а) 0 в остальных случаях. Указание. Использовать результат задачи 18.526. 18.528. 18.529. Р(Я = Ц = (6 — 1)ргуь г, 6 = 2, 3, ... 18.530. т = Рг = =Л, +Л,. О, г< — 2 1 4 2' 1 — — +— 4 2 О, -2 < г < О, (закон Сипсона с парамет- ром а = 2). 18.533. Уг(г) = 0<г<2, г>2 Указание. Сначала найти функцию распределения суммы. 1 18.534. уг(г) = — (т',(г — а) — Р',(г — 6)). 6 — а 18.535. уг(г) = — Ф вЂ” — Ф У к а за н не. Воспользоваться результатом задачи 18.534. О, г<0 18 536 Ь( ) = Л,Л, (е — мл е — Аг2) г > О Лг — Лг (О, г(0 18.538. у (г) = ~ (закон Зрланга 1-го поряака).
Лгге "', г>0 Указание. Найти плотность с помощью обратного преобразования Фурье от характеристической функции (свойство 6). 18.539. У к а з а н и е. Использовать результат задачи 18.538 и метод математической индукции. 18.540. Указание. Использовать свойства 4 и 6 характеристи- Ответы и указания 384 ческой функции и резудьтат задачи 18.494. 18.541. Показательное распределение с параметром рЛ. Указание. Найти условную характеристическун! функцию М[ен~/У = п) и использовать формулу полного математического ожидания. 18.542. Р (А) ) 0,84, Р (В) > 0,36, Р (С) ) ) 0,96. 18.543. Р(А) < 0,2.
18.544. Р(А) < 0,004. 18.545. Р(А) < < 0,002. 18.546. Р (А) < 0,16, Р (В) < 0,04. 18.54Т. р, ) О, рг > 0,75, рз > 8/9. 18.549. Указание. Воспользоваться результатом задачи 18.548. 18.550. Применим, так как Р[Х„] < 2, п 6 И.
18.551. Применим. 18.552. Применим. 18.553. Применим, так как выполняется условие (1). 18.553(1). Применим. 18.554. 0,666. 18.555. Р(Х < 15) > ) 0,96. 18.556. Р(В) 0,9066, Р(С) 0,8858. 18.557. Р(Р) - 0,1051. 18.558. Р (А) 0,9964, Р (В) 0,0176. 18.559. Р (А) = 0,0797, Р (В) = 0,5160. 18.560. Р (С) и 0,6689. 18.561. ( — 0,0283; 0,0283). 18.562. а) 0,8944; б) 0,4.
Указание. Относительной точ- Х вЂ” т„ ностью измерения называется величина 18.563. и 0,0392. гпх 18.564. (792,828). 18.565. Р(А) м 0 с точностью до пяти знаков. 18.566. Р (Вчоооо) 0,995, Р (Ваоооо) = 0,5, Р (Ваоооо) 0,005. 18.567.ю 0,9974. 18.568. 0,3888. 18.569. Не менее 1000 раз. 18.570. Не менее 127раз. 18.5ТО(1). 29. 18.571.
753. Указание. Применить интегральную теорему Муавра — Лапласа. 18.573. 0,9998. 18.574. Р (А) = 0,5, Р (В) = 0,9742. 18.575. 0,0008. 18.576. 0,84. 18.578. 0,0062. 18.579. а Если Х распределена по закону Бс(п), то п+1 / хг1 !пух(х) = 1иГ ~ ) — )пГ ~ — ) — — )и(ил) — 1и [1+ — ) . 2 ) 2 2 2 [, и)' Воспользуемся формулой Стирлинга для гамма-функции ') 1ч! 1 /11 1пГ(и) = и — -) 1ии — и+ — 1и(2л)+О [ — ) .
2) 2 и Отсюда следует, что 1 уи — 1Л и — 1 1и гх(х) = — — 1и(лг!) — — + [ ) 1п + 2 2 [, 2 ) п+2 уп — 1ч! п+1 / хг1 1 хг + — 1и~ )— )п [1+ — ) — у — — )п(2л) — —, 2 [ч 2 ) 2 [, п). е 2 2 ' -е~/г и, следовательно, 1ии Ух(х) = — е * г длЯ всех х 6 К. Р ->е 1/ 2л ! ) Из этой формулы, в частности, следует известная формула Стнрдннга ддя факторналов п! = Г(п-!-1) (и/е)" ч/2лл прн больших п. Ответы и указания 385 18.580. 1,28. Точное табличное значение 1,289.
18.581. 5,3%. 18.582. Не менее 33 испытаний. Указание. Представить бг(1) в виде Ф(1) = 0,5+1, где 1=М[У]= е 'Сгг(х, Ъ'=|р(Х)= — е *~, о Яч асимптотически (при больших п) распределена по закону )г'(О, 1). Так как события < б,я„=0,03 и (Т! < равносильны, то Р < 0,03 = 2Ф вЂ” ' — 1 = 0,9996. Решая полученное уравнение, находим наименьшее значение и.
18.585. тх(С) = иС, Р„-(С) 1+ Сг (О, Кх(Сг~ Сг) = ~ г (1+С, 18.586. тх(С) = 1/2, Рк(С) = 1/4 г= Сг, х<0 или у<0, 0<х<у, 0 < у < х. О, Ег(х, у/Сг, Сг) = Г,„(х) = 1 — е Е„(у) = 1 — е Х подчиняется закону распределения Л(0, 1). Кроме того, учесть, что Ф(1) = 0,8413, 1 = 0,3413. 18.583. 0,7372. 18.584. я м = 27427.
Указание. Вероятность пересечения иглой любой из параллельных прямых равна р = 1/л. Так как в данном эксперименте измеряется число 1 1 пересечений (т.е. случайная величина Х„), то — Х„= —, где л'— я и* приближенное значение числа я в методе статистических испытаний. По центральной предельной теореме случайная величина Ответы и указания х<О, 386 О, — 0 < х < ЗС, 1 х 2 3С2' 1 х>ЗС2; 18.587. Е) (хС'С) = ~((х/С) = ЗСг О, х ф (О, ЗС2). К (С) Сг) = 22(С( У)'р(С2 У)У (У)(СУ вЂ” т (С))тх(гг), 18.600. тх(С) = О; Рх(С) = 11 )( 1, если С Е (Ся, С44.(), С+т Е (Ся, С24.(), )(О, если С Е (Ся, С24.)), С+» ф (Ся, Ся+)), А=1,2,..., (с=1,2, ... 1 ( (х — Ст — Ь)2 ) 18.588. С) (х/С) = ехр ~ — ~, тх(С) = Ст + Ь, о )С! ~/2к ( 2Сог ок(С) = о' /С!, Кх(С(, Сг) = С(Сгп . 18.589.
т (С) = т(1+ С), Рх(С) = = ог(1+ Сг), К (С(, Сг) = ог(1+ С) Сг). !9499. (,(*(1) = р( — (* — (1 9 1)) (2 (1 91 )). 2 (1 91) 18.591. С((х/С) = ~~(и) С„(х — еС) с(е, С > О. 18.591(1). тх(С) = О, Р (С) С2 е4(' К (С С ) /2 е(21+(2)' 18592 К- (С, С ) = Кх (С (, Сг) К» (С(, Сг)+Кх (С(, Сг) т» (С) ) т» (Сг)+К» (С(, Сг) тих (С() тх (Сг). е ((2+2~21 18 595.
К»(С(, Сг) =, Р»(С) =ег' . 18 596. т,(С) =4+ С+ Сг, 1+(С( — Сг)' 9+ 4С(Сг + 6(С( + Сг) Рх(С) 9+4Сг 18 597 рх(С(, Сг) =ехр(-2 (Сг С()) /3+2С)! )3+2С2( 18.598 рх(С)1 Сг) = р»(С), Сг) = соа(С2 — С(), рх»(С(, Сг) = 24п(Сг — С(). 18.599. тх(С) = (р (С, у) ~»(у) (Су, Ответы и указания 387 18.601. т (1) = таЕ~(Г), Кх(С, 1+т) = тг 6~(Ю)(1 — 6~(С+т))+а~ 6~(1), с 1 ВУ хей где 6;(С) = / (в)с1в. 18.602.
/В(х/С) = а ехр1 — — ), где =,/2. ~ 2") х(1) = асов асс + 6сйп ьс1 — реализация случайного пропесса; 1 ( хг — 2ху совьст+ уг /г(хВ у/1, 1+т) =, ехр 2ясуг [айпи!1 [ с 2аге4п ыт где х = х(С) = ас сова!С+ Ь, а4п сот, у = х(с+ т) = а, сов ьс(т+ т) + + 6с всп ьу(С + т) — реализация процесса в сдвинутые на т моменты времени. 18.603.
/с(г/с) = (г — ас — Ь(1+ С~)) 2(4аг+96с+ ВаЬ) ) 1 Г 4аг 18.604. ри 1с, Сг)— + 9 Ьг ехр ( — 2 (1г — 1,)г) + ВаЬ совы (1г — Сс) 11.111.РСхСВ! РИС =! — Ф . Ун .и- С В-.РС! ~ 1 †,'( ! пользовать выражение для условной плотности двумерного нормального распределения, полученное в примере 8 33 п.2. 18.607. 1 15 10 г. 18.608. и 0,725. 18.609.
Не менее 128. 18.610. тх(1) = й„(С~ = Лй 18.611. Р (Х(гг) = О, т<п, = /Х(С ) =.) ФФ (Л(1, )) и ехр( — Л(1г — Сс)), и ( т. (т — п)! 18612 Кх(сс Гг) = Л гасп(1с, Сг). Указание. Учесть, что М[Х(гс) Х(гг)[ = ~ )В Р(Л(гс) = п) Р(Х(гг) = т[Х(гс) = и), и использовать результат предыдущей задачи. ГО, х(0, 18.613. /,(х/С) = ~ 18.614. Р (Х(1) > 200) 0,9, т Ле Фх х>0. = 2 10~,.0х = 4.10е. Указание. Использовать результат предыдущей задачи. Ответы и указания 388 х<0, (закон Эрланга 1-го порядка).
О, 18.615./,'~( /1) = (1 ) — А — * ( — 1) ! 18.616. Х(С) = -фз(Ю) + грг(Е) + Ъг|рг(1) + Ъгвгг(С), Кх(1ы гг) = Звгг(1г) згг(гг) + Згг(гг) уг(гг), гле ~р(!) = Агр(1), И = А(/, А = т/2 71 11 — г!. Указание. Воспользоваться методом ортогональ- 2 х1 1) ного преобразования, рассмотренным в примере 3. 18.617. Х(г) = = 1+ сов! + 2яп! + 1г~рг(г) + Ъг~рг(г), Кх(!г гг) = ьгг(11) ~г(гг) + 13 т -1 ' 1 г25 18т + — !рг(гг) хгг(гг), где !г(г) = Агр(г), 1' = (А") 'ь', А = — ~ О 24/, (А ) = — ! В 25!.
Указание. Применить метод Лагранжа, т-1 1 г24 01 120 ~ рассмотренный в примере 4. 18618. Х(!) = тх(г)+Ъ~згг(!)+ !г!гг(1) + + Ъзуз(г); Кх(аы Сг) = 8!гг(11)!рг(гг) + 4рз(гг)чгз(гг), где !г(С) = Агр(!), 1' = А(/, 1 1 ,/3,/3 1 — -0 х/2 1 2 ~/6 ~/6 1 ,/3 1 Л 1 ~/6 А= Ука зание. Использовать метод ортогонального преобразования, рассмотренный в примере 3. 18.619. тх(1) = 1, Рз(1) = 1+ совг1, Кх(М), гг) = в!п11в!и!г+2сов11совМг ° 18620 тх(1) 1~/2~ Рх(С) = = (1 — сов !) + 2(1 — сов !), К„(гы 1г) = в!и 1г в!и гг + 2 сов гг сов 1г — 2(совгг + совгг) + 2. 18.621.
тз(1) = О, К,(гы 1г) = 3+ 41гсг, где г(1) = —. 18.622. т,(!) = 1, Р„(1) = -!'+ -1в. 18.623. Н.- ИХ(з) 3 1 й ' " 4 9 прерывен, но не дифференцируем. Указание. Показать, что необходимое условие диффереицируемости не выполняется. 18.624. Диффес(Х(С) ренцируем. 0 = огаг. 18.625. т„(Т) = 2совы! — быв!пмг, ~ 41 ~ К (1ы 1г) = 9 (сов ьЛг — Зьг в!и А!1) (сов ьггг — Зи вш ьггг), Р (С) = 9(совы! — 2ыяпы1)г. Указание. Использовать общие формулы преобразования (13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
