341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 50
Текст из файла (страница 50)
19.249. Из суточной продукции цеха случайным образом отобрано и проверено 200 приборов. При этом 1б приборов признаны негодными к эксплуатации. Можно ли считать, что годная продукция цеха составляет 90%, если о = 0,10? Длл проверни гипотеаы Но. р1 = р2 о равенстве пар метров двух биномиально распределенных совокупностей проводятся две серии испытаний. Пусть некоторое событие А в серии из п1 испытаний появилось п11 раз, а в серии из п2 испытаний — пм раз. Проверяется гипотеза о равенстве вероятностей появления события А в обеих сериях испытаний. Представим результаты испытаний в обеих сериях в виде таблицы.
П11 П21 П11 + П21 П.1 Обозначим 61 — — —, 52 = —,?1 = П1. П2. П1. + П2. П 3 4. Проверка статистических гипотез 271 ~2 — Ь2 52 л,-л, (5) где балт „, — оценка дисперсии разности случайных величин Ь2 и Ь2, вычисляем по формуле -г /1 11 д-л, „, =Ь(1-Ь) 1' — + — ~. П! П2. (6) Если гипотеза Но верна, то распределение статистики (5) блиако к нормальному распределению Х(0, 1). Критическая область критерия при уровне значимости а определяется неравенствами 2, > и2 при альтернативной гипотезе Н, : р2 > р2, (1) . 2, < и при альтернативной гипотезе Н, : р2 < р2, (2] 2, > и2 ?2 при альтернативной гипотезе Н,: р1 ф.р2.
(з] ~~-л В случае, когда результаты наблюдений таковы, что условие — 2- > > 5, 2, у = 1, 2, не удовлетворяется, для проверки гипотезы Но слелует использовать критерий хз (см. 26, и. 3). П р и м е р 7. Ниже приведены результаты выборочного обследования двух партий изделий: Можно ли считать, что доля брака в обеих партиях одна и та же, если уровень значимости а = 0,05? а Проверяется гипотеза Но. р2 —— р2 при альтернативной гипотезе П (Пр Н2. р2 ф р2. Условие > 5, 2, у = 1, 2, выполняется, следова- П тельно, для проверки гипотезы Но можно использовать статистику (5). По результатам обследования определим 8 13 21 Ь2 = — = 0,08, Ь2 = — а 0,043, Ь = — 0,052.
100 ' ' 300 ' ' 400 При больших значениях и и при условии, что наименьшая из велиПзяу. чин, 2, у = 1, 2, будет больше 5, в качестве статистики критерия П для проверки гипотезы Но. р2 — — р2 используют статистику Гл. 19. Математическая статистика 272 Предварительно по формуле (6) найдем оценку дисперсии: /1 Ю~ = 0,052 (1 — 0,052) ~ — + — ) 6,57 10 4. ' ~ Г00 Зоо) Выборочное значение т, статистики критерия по формуле (5) 0,08 — 0,043 6,57 10 Так как ио 97я — 1,96, то выборочное значение статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Не; поэтому следует считать, что доля брака в обеих партиях одна и та же.
~> 19.250. Два пресса штампуют детали одного наименования. Из партии деталей, изготовленных первым прессом, проверено 1000 деталей, из которых 25 оказались негодными. Из 800 деталей, изготовленных вторым прессом, негодными оказались 36 деталей. Согласуются ли эти результаты с предположением о равенстве доли брака в продукции двух прессов при а = 0,10? 19.251. Предполагается, что применение новой технологии в производстве микросхем приведет к увеличению выхода годной продукции. Результаты контроля двух партий продукции, изготовленных по старой и новой технологии, приведены ниже: Подтверждают ли эти результаты предположение об увеличении выхода годной продукции? Принять а = 0,01.
16.252. Для изучения эффективности профилактического лекарства против аллергии обследовались две группы людей, предрасположенных к этому заболеванию. Результаты обследования следующие: 3 4, Проверка статистических гипотез 273 Агсй г — АггЬ ро 1/~/и — 3 (7) 1 1+т где АгсЬ г = — )и —. 2 1 — г Если гипотеза Не верна, то статистика (7) имеет распределение, близкое к нормальному А((0, 1).
Критическая область критерия при уровне значимости а определя- ется неравенствами з, > из при альтернативной гипотезе Н, : р > ро, (1) з, < и„ при альтернативной гипотезе Н, : р < ро, (з) ! з, ( > и1 7з прн альтернативной гипотезе Н,: р ~ ро. (з) В случае, когда нужно определить значимость выборочного значения коэффициента корреляции г, т. е. проверить гипотезу Но. р = О, можно использовать другой критерий, статистикой которого является г.
На уровне значимости о критическая область этого критерия определяется неравенствами (1 — а(я — 2) г> при альтернативной гипотезе Н1( ): р > 0; (1) ( (я — 2) г< ~Г -2,'-Р( -2) при альтернативной гипотезе Н, ): р < 0; '(г! > 7з(я — 2) при альтернативной гипотезе Н,: р ф О. (з) Показывают ли эти результаты эффективность лекарства, если уровень значимости сз = 0,05? 19.253. В 105 опытах событие А произошло 42 раза. Повторная серия опытов состояла из 195 опытов, причем событие произошло 65 раз. Можно ли считать, что вероятность события А в обеих сериях одна и та же, если исходы опытов независимы.
Принять гг = О 01. 3. Проверка гипотез а коэффициенте корреляции р. Пусть г — выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема я из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение. Для проверки гипотезы Но . р = ро, где ро — заданное значение, используют статистику Гл. 19. Математическая статистика 274 П р и м е р 8. Из генеральной совокупности, имеюшей двумерное нормальное распределение, получена выборка объема и = 67. Выборочный коэффициент корреляции оказался равным г = — 0,159. Можно ли считать, что наблюдаемые переменные отрицательно коррелированы, если уровень значимости а = 0,05? <) Проверим гипотезу Но . р = 0 при альтернативной гипотезе Н,: р < О. Вычислим выборочное значение статистики критерия (7).
Значение АгсЬ г находим по таблице П8. Имеем А г1Ь ( — 0,159) — АгсЬ 0 1/)/67 — 3 Так как ио оь —— — 1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Но, следовательно, наблюдаемые переменные не коррелированы. Такой же результат получим, воспользовавшись критерием, статистикой которого является г. Найдем границу критической области при альтернативной гипотезе Н2 . р < О.
Определим квантили го,оэ(65) = — 1о эв(65) — 1,67 (таблица Пб). Вычислим границу критической области: 1 (я — 2) — 1,67 -261 ~ -2) ~67 — 26(-1,67) Так как выборочное значение г = -0,159 статистики принадлежит области принятия гипотезы Но, то гипотеза Но принимается; следует считать, что наблюдаемые переменные не коррелированы. > Пусть г1 и гэ — выборочные коэффициенты корреляции, вычисленные по выборкам объема я2 и иэ из генеральных совокупностей, имеюших двумерное нормальное распределение. Для проверки гипотезы Нэ .
'Р1 — — Рэ использУют статистикУ АгсЬ г~ — АгФЬ гэ (8) При условии, что гипотеза Но верна, статистика (8) имеет распределение, близкое к нормальному распределению Ф(0, 1). Критическая область критерия при уровне значимости а определяетсн неравенствами аа > и~ „ при альтернативной гипотезе Н, : р2 > рэ, (2) . в6 < и при альтернативной гипотезе Н,: рг < рэ7 (2) / з6 / > и, „~э при альтернативной гипотезе Н,: р2 ф Рэ )з), Пример 9.
Сравнить коэффициенты корреляции двух нормально распределенных генеральных совокупностей по следующим выборочным данным: г2 — — 0,77, пг = 28, гэ — — 0,604, яэ = ЗЗ. Принять а = 0,10. З 4. Проверка статистических гипотез э Имеем Но, р1 = рз; Нн р| ( рт Вычислим выборочное значение статистики критерии (8): Агй 0,77 — Агрй 0,604 1,85. 1 1 28 — 3 33 — 3 Так как ие 95 1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области; коэффициенты корреляций генеральных совокупностей следует считать различными. С В задачах 19.254-19.260 предполагается, что выборки получены из генеральных совокупностей, имеющих двумерное нормальное распределение.
19.254. Выборочный коэффициент корреляции т, вычисленный по выборке объема п = 39, равен 0,25. Проверить значимость этого результата при альтернативных гипотезах: а) Н~. р ф О, 6) Нр р > О. Принять а = 0,05. 19.255. Проверить значимость коэффициента корреляции по следующим данным: а) т = — 0,41, и = 52, а = 0,1, альтернативная гипотеза Н1. р<О; б) т = 0,15, и = 39, а = 0,01, альтернативная гипотеза Н1. р~О; в) т = — 0,32, п = 103, а = 0,05, альтернативная гипотеза Нр р~о.
19.256. По выборке объема и = 28 вычислен коэффициент корреляции т = 0,88. Согласуются ли следующие гипотезы относительно коэффициента корреляции генеральной совокупности р с результатами наблюдений: а) р ) 0,90; б) р < 0,6; в) р Ф 0,96? Принять а = 0,05. 19.257. По двум выборкам объемов п1 = 28 и пз = 39 для наблюдений над двумя определенными переменными некоторого процесса вычислены оценки коэффициента корреляции, равные т, = 0,71 и тз = 0,85 соответственно.
а) Можно ли считать, что оценки коэффициентов корреляции, вычисленные по двум выооркам, действительно различны? б) Для каких значений тэ можно считать, что разница оценок коэффициентов корреляции т1 и тз незначима? Принять а = 0,01. Решить задачу 19.257 для следующих данных: 19.258. п1 — — 124, т~ = — 0,87, пз = 147, тз = — 0,65, а = 0,10. 19.259. п1 = 12, т1 = 0,42, пг = 19, тг = 0,36, а = 0,05. 19.260.п1 — — 82, т1 — — 0,95, пг = 67, тэ = 0,82, а = 0,01. Гл. 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
