341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Например, при т ) 0 т о,( грх К (т) =о~» — 2хг~выч~ г 2 г;га + е'р" г х -ах (рг+ „г) ( г+ ц' В силу четности автоковариационной функции получим окончательно сГ2 К„(т) = — е 1+а Гл.18. Теория вероятностей 182 Дисперсия сигнала на выходе равна Ог Р =К„(0) = Таким образом, дисперсия на выходе системы в 1+а раз меньше дисперсии на входе. Это обънсняетсн тем, что данная динамическая система является, по существу, интегрирующей цепью, а операции интегрирования процесса сглаживает шум.
С 18.690. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением 29'(1) + р (2) = Зх (1), поступает стационарный сигнал с характеристиками гп„ = 1, Кх(т) = е г~'~. Найти тпх и В,. на выходе системы. 18.691. На вход интегрирующей ЛС-цепочки (рис. 16), описываемой дифференциальным уравнением у'(1) + )3у (1) = 13х (1), )3 = — > О, поступает стационарный низкочастотный белый шум Х (г) с характеристиками тх = О, п~ = 2 и частотой отсечки а2о.
Найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе системы. 18.692* (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти дисперсию П» в случае идеального белого шума на входе (т.е. рассматривая входной процесс как предельный случай низкочастотного белого шума с постоянной спектральной плотностью Яя(ш) = = сг при всех а2). 18.693Я. Напряжение на входе интегрирующей ВС-цепочки., описанной в задаче 18.692, представляет собой стационарный слу-а2М2 чайный процесс со спектральной плотностью я„(а2) = ог е и " . Найти отношение дисперсии выходного напряжения У (1) к дисперсии входного напряжения.
Чему равно зто отношение в частном случае )3 = гг = 1? 18.694. Случайный стационарный процесс Х (1) со спектральаг ной плотностью Яя(а2) = (а > О, сг > 0) поступает („,г +,2г)г на вход дифференцирующей цепочки. Рассматривая дифференцирующую цепочку как простейший пример линейной стационарной дХ (1) системы, найти дисперсию стационарного процесса У (г) =— г г <й и отношение дисперсий с2„/о„. з б. Случайные функции (корреляционная теория) 183 18.695. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением р (2) + 59 (2) = х'(2) + 2х (2), поступает стационарный случайный процесс с ковариационной функцией гсх(т) = охе и математическим ожиданием гп„= 5.
Найти математическое ожидание, спектральную плотность и дисперсию стационарного рлучайного процесса на выходе системы. 18.696. На вход идеальноео полосового фильтра с амплитудно-частотной характеристикой 1, если ш1 < (ш! < ы2, !Н(г )!'= О, если со! <оц или (ы! >ы2, поступает случайный телеграфный сигнал. Найти дисперсию процесса на выходе фильтра.
18.697Я. На вход линейной динамической системы, описывае- Нх (г) мой уравнением у (г) = ~ух (2) +, поступает стационарный о'г сигнал с ковариационной функцией Кл(т) = о2 е о~ с ~(1+ а ~ т !). Найти спектральную плотность, аффективную ширину спектра и дисперсию, характеризующие стационарный сигнал на выходе системы. 18.698*. Работа электрической цепи (рис. 22) описываетсн дифференциальным уравнением у (г) + — у (с) = х (2). На ес вход поступает низкочастотный белый шум, описанный в Рис. 22 Рис.
23 примере 8. Найти дисперсию случайного процесса на выходе в ста- ционарном режиме работы цепи. 184 Гл. 18. Теория вероятностей 18.699*. Случайный сигнал У(~), возникающий при прохождении случайного стационарного сигнала Х(г) через ВС-фильтр (рис. 23), определяется дифференциальным уравнением у'(й) + 139 (й) = х'(1), 33 = — > О. ЯС Найти дисперсию процесса У(г), если на вход ВС-фильтра поступает импульсный сигнал, определенный в задаче 18.645.
18.699* (продолжение). На вход ЛС-фильтра, описанного в задаче 18.699, поступает стационарный случайный процесс с ковариационной функцией Кх(т) = е ~~'~(1+ Л)т!), Л > О, Л уе 13. Найти дисперсию процесса У(г) на выходе фильтра. 18.700*, На вход резонансного контура, описываемого дифференциальным уравнением уя(1) + 2339'(1) +мой(С) = х(С) (ыо > ~3), поступает идеальный белый шум (Ях(ю) = с~ при — оо < м < оо). Определить дисперсию стационарного случайного сигнала У(г) на выходе системы.
Глава 19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Б 1. Методы статистического описания результатов наблюдений Статистическая обработка данных в настоящее время проводится с использованием компьютеров. Современные пакеты статистических программ (ПСП) позволяют использовать при анализе данных не только огромное число алгоритмов и процедур статистического анализа, но и проводить их проверку, заполнять пропущенные значения, формировать определенные подмножества данных, обрабатывать данные представленные в нечисловом виде, моделировать выборки из генеральной совокупности практически с любым заданным законом распределения.
Перечислим наиболее популярные пакеты статистических программ: Бсайзйса, БгасдгарЫса, Бьаг)1а, БРББ и другие. Большой набор функций для статистической обработки данных содержат пакеты Маг)аЪ и Ехсел. Описание ПСП и примеров их использования можно найти в специальной литературе, например [13 — 16]. Использование ПСП значительно упрощает использование статистических методов.
Читателю мы рекомендуем использовать ПСП при решении почти всех задач, связанных с выполнением расчетов и построением графиков. Более того,на стадии обучения работе на ПСП следует решить на компьютере примеры из теоРетических разделов задачника, сравнить ответы и проанализиРовать результаты. При использовании ПСП выполняется только Расчетная часть решаемой задачи. Выбор метода с учетом конкретных условий, учет ограничений при использовании тех или иных статистических процедур, интерпретация полученных результатов требует, конечно, знания теории математической статистики.
1. Выборка и способы ее представления. Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности Наблюдений над ними — выборке. Выборка понимается следующим образом. Пусть случайная величина Х наблюдается в случайном зксперименте б. Повторим зкспериМент б п раз, предполагая, что условия проведения зксперимента, а 186 Гл.
19. Математическая статистика следовательно, и распределение наблюдаемой случайной величины Х нс изменяются от эксперимента к эксперименту. Этот новый составной эксперимент связан си-мерной случайной величиной — случайным вектором (Х!, Хэ, ..., Х„), где Х! — случайнан величина, соответствующая унму эксперименту. Очевидно, Х,, у = 1, 2, ..., и, — независимые в совокупности случайные величины, каждан из которых имеет тот же закон распределения, что и случайнан величина Х. Закон распределения случайной величины Х называетсн распределением генеральной совокупности, а случайный вектор (Х!, ..., Х„)— выборочным вектором. Числа х!, ..., х„, получаемые на практике при и-кратном повторении эксперимента Е в неизменных условиях, представлнют собой реализацию выборочного вектора и называются выборкой (х!, ..., х„) объема и. Выборку (х!, хэ,..., х„) при необходимости можно рассматривать как точку выборочного пространства, т.е.
множества, на котором задано распределение выборочного вектора (Х!, Хэ, ..., Х„). Аналогично определяется выборка в случае, когда случайный эксперимент Г связан с несколькими случайными величинами. Например, выборка объема и из двумерной генеральной совокупности есть последовательность (х!, у!), ..., (х„, у„) пар значений случайных величин Х и У, принимаемых нми в и независимых повторениях случайного эксперимента Е. Результаты наблюдений х!, хэ, ..., х„генеральной совокупности Х, записанные в порядке их регистрации, обычно труднообозримы и неудобны для дальнейшего анализа.
Задачей статистического описания выборки явлнется получение такого ее представления, которое позволяет выявить характерные особенности совокупности исходных данных. Вариаиионным радам выборки х!, хт,..., х„называетсн способ се записи, при котором элементы упорядочиваются по величине, т.е, записываются в виде последовательности х01, х<э!,..., х! "1, где х! О ( х!э1 ( ( ... ( х!"!. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки хбй — х!!! = а! называется размахом выборки.
Пусть выборка (х!, хэ, ..., х„) содержит 1с различных чисел г!, гэ, ..., зю причем г; встречается и; раз (! = 1, 2, ..., А). Число и, !. называетсн частотой элемента выборки ви Очевидно, что ~ и; = и. 3=1 Статистическим рядом называется последовательность пар (г;, и,).
Обычно статистический ряд записываетсн в виде таблицы, первая стропа которой содержит элементы хи а вторая — — их частоты. П р и м е р 1. Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Определить размах выборки. ( Объем выборки и = 15.
Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Размах выборки а! = 10 — 2 = 8. З 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 187 Различными в заданной выборке являются элементы г! —— 2, дэ — — 3, дэ = 4, д4 = 5, да = 7, да = 10; нх частоты соответственно равны п! — — 3, пэ — — 1, па = 2, п4 —— 3,' па — — 4, па = 2. Следовательно, статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы: Для контроля правильности записи находим 2 и! = 15 '). > Для каждой из приведенных ниже выборок определить размах, а также построить вариационный и статистический ряды. 19.1.
11, 15, 12, О, 16, 19, б, 11, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3. 19.2. 17, 18, 16, 16, 17, 18, 19, 17! 15, 17, 19, 18, 16, 16, 18, 18. 19.3. В группе на занятии по статистике проводится эксперимент по регистрации номера месяца рождения каждого из студентов (опрос проводится, например, по списку группы). Построить вариационный и статистический ряды полученной выборки. 19.4. Из художественного произведения некоторого автора (с числом страниц, ббльшим ста), используя таблицу случайных чисел (таблица П12), выбрать случайным образом 20 страниц. На каждой из выбранных страниц, используя ту же таблицу, выбрать строку, содержащую некоторое предложение либо его начало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
