341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказать «соотношение неопределенности«(22). 18.666. Стационарный в широком смысле процесс Х (1) таков, что его автоковариационная функция принимает лишь положительные значения. Показать, что для такого процесса неравенство (22) обращается в равенство. В задачах 18.667 и 18.668 заданы автоковариационные функции некоторых случайных процессов. В каждом из зтих случаев найти спектральную плотность и, проверив ее свойства, убедиться, что заданный процесс не является стационарным в широком смы- сле (а при )т(<Т, 18 667 Кх(т) = ~ О при )т(>У.
з б. Случайные функции корреляционная теория 177 тг 18.668. К (т) = г то О при )т! > то. 18.669. Спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса Х (1) имеет следующий вид: г Пх при ы~ < )ы~ < егг (ыг > ы~ > 0), хгы) = ыг — а» ~О в остальных случаях (колосовой белый шрц). Вычислить автоковариационную функцию Кх(т). 18.670 (продолжение). В условинх предыдущей задачи рассмотреть случай ыг -+ ач. Какому случайному процессу соответствует этот предельный случай? В задачах 18.671-18.674 определить ковариационную функцию, дисперсию и эффективную ширину спектра стационарного процесса, имеющего заданную спектральную плотность. а 18.671.
Ях(ы) = — г г, Ь > О, сг > О. пш +гг ,з 18.672. Ях(ы) = э г г~ Ь > О, а > О. , (ег+ г)г 18 673 Ях(ы) = ае ~" ~! я а > О ыо > О. „г'1 18674 Я (ы) = ыг) ' ~ ! о' ыо О, )ы( >ыо. 18.675. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и средний интервал коррелнции стационарного случайного 'процесса Х (г) с ковариационной функцией Кх(т) = Д е '"~т~, о > О. 18.676. Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра стационарного случайного процесса Х (г) с ковариациониой фУнкцией Кх(т) = Йхе ~~т~ совет. ИХ (г) 18.677.
Показать, что дисперсия процесса У (1) =, где ат' Х (г) — дифференцируемый стационарный в широком смысле случайный процесс со спектральной плотностью Ях(ы), может быть записана в виде .0т = ы ох(ег) айаг. о Гл. 18. Теория вероятностей 178 18.678~. Доказать, что условие Г ы ох (ь~) <й~> ( с ( оо о является необходимым и достаточным условием дифференцирусмости стационарного в широком смысле случайного процесса Х (~) со спектральной плотностью Ях(м). Решить вопрос о дифференцируемости стационарных процессов со спектральными плотностями, заданными в задачах 18.671-18.б74. 18.679.
Найти дисперсию процесса ЫХ (1) У(1) = Й где Х (1) — стационарный процесс из задачи 18.672. 18.680. Стационарный процесс Х (г) имеет спектральную плотность Ях(ы). Найти спектральную плотность процесса У (г) = аХ (1) + о с~Х (1) В задачах 18.б81-18.684 найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра, а также проверить условие дифференцируемости следующих процессов. 18.681.
Х (~) — импульсный сигнал длительности 1о (см. задачу 18.645). 18.682. Х (г) — фототелеграфный сигнал (см. задачу 18.647). 18.683. Х (1) — стационарный случайный процесс с автоковариационной функцией Кх(т) = Рхе ~~'~(1+о)т)), сг) О. 18.684. Х (г) — стационарный случайный процесс с автоковариационной функцией Кх(т) = охе 1" ~ соэ(1т+ — э1пр~т~ Р 18.686. На вход линейного устройства, состоящего из линии задержки на время Г1 и вычитающего устройства (рис. 20), поступает стапионарный случайный процесс Х(г) с математическим ожиданием тх и ковариационной функцией К„(т).
Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса У (г) = = Х (1+ 11) — Х (1) на выходе устройства. Сохраняется ли стационарность процесса на выходе? з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 179 18.686 (продолжение). На вход линейного устройства, описанного в предыдущей задаче, поступает стационарный случайный процесс, характеризуемый спектральной плотностью Ян (ы). Найти спектральную плотность Яг(1о) процесса на выходе устройства. 18.687. На вход фильтра, состоящего из двух последовательно включенных линейных устройств, описанных в задаче 18.685 Рис.
20 Рис. 21 (рис. 21), поступает стационарный сигнал Х (2) с ковариационной функцией К„(т). Определить дисперсию процесса на выходе фильтра. 18.688 (продолжение). В условиях задачи 18.687 входной сигнал Х (г) характеризуется спектральной плотностью Найти дисперсию сигнала на выходе фильтра. 18.689*.
Найти спектральную плотность случайного сигнала Я(с) = Х (с) У(1), где Х (1) и У (с) — два независимых телегвафных сигнала с параметрами Л1 и Л2 соответственно. б. Преобразование стационарных случвйных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами. Линейной динамической системой с постолнны.ни коэффиииенгпами называется Система, описываемая линейным дифференциальным уравнением с постояннымк коэффициентами с дп дп — 1 / рп ап — +ап 1, +...+ао) у(1)=(Ь вЂ” + +Ьо х(1), (23) где х(с) — реализация входноео случайного стацонарного процесса, У(с) — реализация процесса на выходе системы. Передаточной функцией линейной дина ической системы называется ф; нкпия комплексной переменной р, определяемая формулой Ь, р +Ь,„1р '+ +Ьо Гл.18.
Теория вероятностей 180 Функция Н (р), как видно из определения, есть отношение преобразованных по Лапласу выходного сигнала к входному сигналу, определяемых из уравнения (23) при нулевых начальных условннх. Свойства сигнала на выходе линейной динамической системы полностью определнются свойствами передаточной функции Н (р) и свойствами входного сигнала. Говорят, что линейная динамическая система удовлетворнет условию устойчивости, если функция Н(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости р. Если на вход устойчивой линейной динамической системы с постояннымн коэффициентами подается стационарный входной сигнал, то по прошествии достаточно большого времени с момента начала воздействия (именно, при 1 > то, где то — характерное время релаксации переходных процессов) сигнал на выходе системы будет близок к стационарному в шираком смысле процессу.
Если Х (1) — входной стационарный сигнал с характеристиками тх и Ях(ы), то соответствующие характеристики выходного процесса У (г) в стационарном режиме (т.е. при 1 » то) будут ь т„= — тл, оо К,(ы) = ~ Н ((ы) ~э лх (ы), (25) Функция (Н(иио) )з называется амялитпудно-частотной характеристикой системы. Дисперсии стационарного процесса на выходе системы в силу формулы (25) равна О,, = — / Я, (ы)ды = — / !Н(ио) / ли(м)сил. (26) 1 Г 1 У 2/ " 2/ Для конечности дисперсии необходима н достаточна сходимость несобственного интеграла в формуле (26). Достаточным, например, является условие, чтобы порндок оператора дифференцированин входного сигнала в формуле (23) был не выше порядка дифференцирования выходного сигнала (т.е, условие т < п).
Пример 9. На вход линейной динамической системы, описллваемой дифференциальным уравнением у (1) + бу'(1) + 4у(1) = х'(1) + 4х(1), поступает стационарный случайный процесс с математическим ожида- нием тх = т и ковариацнонной функпией Нх(т) =оэе а!'! (о >О). а) Проверить условия конечности дисперсии на выходе и устойчивости системы. 26. Случайные функции корреляционная тео ия 181 б) Найти математическое ожидание, коварнационную функцию и дисперсию стационарного процесса на выхопе системы. < а) Так как т = 1 < я = 2, то условие конечности дисперсии выполнено.
Преобразуя по Лапласу данное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями, находим передаточную функцию системы: р+4 Н (р) = Полюса передаточной функции р1 —— -4, рг —— -1 имеют отрицательные действительные части, следовательно, условие устойчивости системы выполнено. б) Учитывая, что Н(р) — дробно-рациональная функция, находим амплитудно-частотную характеристику системы по формуле 1 ~Н(г )~2=Н(Р )Н(-ъы) = 2 Учитывая, что для процесса с ковариационной функцией Кх(т) 2а 1 = ог е ~"~ спектральная плотность 5 (ы) = ог— (см. прих — х „„2+Ог мер 7), получим по формуле (25) ох (ы) 2 2а Я (,) х О2 ,г+1 х „(„,2+„г)(, г+ ц Ковариациониую функцию выходного сигнала находим с помощью пря- мого преобрааовання Фурье: -~-О0 ~-оо 1 Г К„(т) = — / Я„(ы)е™Аг = о Последний интеграл вычисляем с помошью теории вычетов., замыкая контур интегрирования в верхней (при т ) 0) или в нижней (при т < 0) полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
