341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 29
Текст из файла (страница 29)
о Путем замены переменных е ' = х данный интеграл приводится к ко- нечному промежутку: 1 Г(с) = !и' — Нх. о Обозначим через ! искомое значение гамма-функции: 1 у=à — = ! гм — !. о Очевидно, ! представимо в вице ! = М [У], гце У = у (Х) = !и ~ [ — !, ! 4 и Х равномерно распределена на отрезке [О, Ц. Вычислим величину Гл.18.
Теория вероятностей 142 ое/] 1 ~. Используя известную формулу, выражающую дисперсию через второй начальный момент, получим 1 И = О 1п'74 — = М[ т(Х)] — 54'[ (Х)] = !и'7' — е(х — 1' о Отсюда следует, что ое М [1лт(Х)] % Используя известное свойство гамма-функции: Г(я+ 1) = «Г(л) и учитывая частное значение Г(1/2) = ~/я (интеграл Пуассона), получим значение интеграла в правой части: 1 1~'У~ — дх = à — = — Г о Чтобы найти точное значение величины ае/[У[, необходимо знать точное значение интеграла 1, а оно только еще вычисляется.
В этом состоит известная трудность при оценивании погрешности в методе статистических испытаний. Обычно вместо точного значения величины 1 используют ту или иную ее приближенную оценку снизу (а для а„по тем же причинам часто используют оценку сверху), при атом получают несколько завышенное значение величины и„/]1[, что приводит к более еосторожным» оценкам для относительной ошибки. Используя для данного примера таблицы гамма-функции ), найдем, что с точностью до 5 10 а искомое значение Г(5/4) = 0,9065, и, таким образом, а„/[1[ = 0,280.
Далее, по условию задачи Р(б < О,ОЦ > 0,95, или Р [Т[ < 0,01 ~/й — ~ > 0,95. Отсюда следует, что 1у]1 0,280 ~/и > го,ать = 54,88; 0,01 следоватедьно, наименьший объем выборки, обеспечивающий относительную погрешность вычисления Г(5/4) не более 1% с вероятностью не менее 0,95, я ы = [54,88т + 0,5] = 3012, где [х] означает целую часть числа х. > а) См., например; Янке Е., Змде Ф., Леш Ф. Специальные функции,— Мл Наука, 1977. О.
55. з 6. Случайные функции (корреляционная теория) 143 л/2 18.581. Вычисление интеграла соахс?х производится метоо дом Монте-Карло на основании 1000 испытаний. Какую максимальную относительную погрешность вычисления можно гарантировать с надежностью 97,22%в? 18.582*. Сколько требуется провести статистических испытаний при вычислении значения функции нормального распределения Ф (1), чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, гарантировать величину относительной погрешности в пределах 2%? 1 18.583. Вычисление интеграла 1 = х дх производится метоо дом Монте-Карло на основании 10" независимых испытаний. Вычислить вероятность того, что относительная погрешность вычисления не превзойдет 1% 18.584*.
Вычисление числа к производится методом статистических испытаний, состоящих в и независимых случайных бросаниях иглы длины 1 на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 2? (см. задачу Бюффона 18.159). Измеряется число пересечений иглой любой из параллельных прямых.
Найти наименьшее число испытаний, которые требуется провести, чтобы с вероятностью 0,9996 относительная погрешность определения числа к была не более 3% 36. Случайные функции (корреляцнонная теория) 1. Заковы распределения и осреднениые характеристики случайных функций. Пусть С~ — некоторое множество действительных чисел. Если каждому значению г е С~ поставлена в соответствие случайная величина Х(г), то говорят, что ка множестве С1 задана случайиал функция Х(г). Множество С~ прн атом называется областью определения случайной функции. Название случайный процесс относится к классу случайных функций, у которых параметр г играет роль времени. Случайная величина Х (гв), соответствующая значению случайной функции прк фиксированном значении аргумента г = го е См называется сечепием.
Каждое испытание дает конкретную функцию х(г), которая называется реализацией (траекторией) случайной функции. п-мерпьш законом распределенил случайной функции Х (~), завислщим от и действительных параметров Гм Г2,..., Г„, называется Закон совместного распределения и сечений Гл. 18. Теория вероятностей 144 В корреляционной теории описание характерных свойств случайных функций строится на основе не более чем двумерных законов распределения. Одномерная функция распределения Р1(х/1) значений случайной функции Х (1) при фиксированном Ф представляет собой функцию распределения сечения Х (1): Р1(х/2) = Р (Х (1) < х).
Соответствующая одномерная плотность существует, если сечение Х(1) — С.В.Н.Т., причем в точках дифференцируемости функции Р1 (х/1) справедливо равенство ( дР) (х/2) дх Если сечение Х (1) — С. В. Д. Т., то одномерный закон распределения описывается перечнем вероятностей Р(Х (1) = хь(1)) = рь(1) = г1(хе+1/1) — р1(хь/1), рь($) = 1, Г к 61. двумерной функцией распределения г2(х, у/11, 12) называется функция совместного распределения двух сечений случайной функции (Х (11), Х (12)), 1„12 б 6',: Г2(х, у/11, 12) = Р (Х (11) < х, Х (22) < у).
Соответствующая двумерная плотность существует, если случайный вектор (Х (11), Х (12)) — С. В. Н. Т., причем если в точке (х, у) функция г2(х, у/11, 22) дважды дифференцируема, то д Р2(Х, у/11, 12) /2(Х, у/21, 12) = дх ду Зная двумерную плотность, можно по общему правилу (см. формулу (4 'З 3) вычислить одномерную плотность сечения Х (1): /1(х/1) = /2(х~ у/11 12) е(у Если случайный вектор (Х (11), Х (12) ) — С. В. Д. Т., то двумерный закон его распределения описывается перечнем вероятностей Р (Х (11) = х,(11), Х (12) = у1(12)) = рй (11 12) ри (11, 22) = 1, 11, 12 б О1.
й 6. Случайные функция (корреляционная теория) 145 Основнымн характеристиками случайных функций являются матемаи!ическое ожидание, дисперсия и автоковариационная функция Математическим ожиданием и дисперсией случайной функции Х'(С) называются такие неслучайные функции тх(С) и 1т»(С) = ог (С), которые для каждого фиксированного значении С равны математическому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения.
Таким образом, если, например, Х (С) — С. В. Н. Т. при С Е С! и написанные ниже интегралы абсолютно сходятся, то т»(С) = М [Х (С)] = х/1(х/С) дх, Пх (С) — 1т» — 0 (Х (С)] — М [Х (С)] — [х — тп» (С)] /1 (х/С) 11х. Автоковариациокной утункцисй называется такая неслучайная функцин К»(С1, Сг) двух действительных аргументов С1 и Сг, которая для каждой пары фиксированных значений С1 И Сг Равна коваРиации соответствующих сечений Кх(11 С2) = М [(Х (С1) — т»(С!))(Х (С2) — т» (Сг))] = (х! — т,(С1))(хг — т»(С2)) /2(хт, хг/Ст, Сг) дхт дхг. =Г Нормированная автоковариационная функция К»(С1, Сг) Р» (С! С2) 1т» (С1) Ох (Сг) называется автокорреляциопкой утункцией.
Основные свойства автоковариационной (автокорреляционной функции): 1. К»(С1, Сг) = К»(С2, С1) (р»(С1, Сг) = рх(Сг, Ст)) (СВОЙСТВО СИМ- метрии) . 2. (К»(С„С2)( < а»(С1) 1т»(С2) ((р»(С1, Сг)] < 1). 3. Функция Кх(С1, Сг) неотрицательно определенная. Это значит, что для любого натурального и, любых вещественных значений хт, хг, ..., х„и любого набора значений аргументов С1, Сг, ..., С„ из области определения функции К» (С', Св) имеет место неравенство в п К (Ст, С ) х х > 6.
1=1 1=1 Взаимной ковариациоккой утункцисй связи двух действительных случайных функций Х (С) и У (С) называется неслучайная функции К»»(11~ С2) = М [Х (С1) У (С2)], где Х (С1) и У (Сг) — центрированные сечения случайных функций. Гл.18. Тео ия вероятностей 14б Взаимнал корреялционнал функция связи (норл«ированнал автоковариационная функция связи) определяется равенством К~~ (гы 22) Р '(гы~г) ( ) ( )' В дальнейшем для краткости часто будем опускать приставку «авто» в названии «автоковариационная функция» в тех случаях, когда речь будет идти о характеристиках самого процесса Х (2).
Пример 1. Задана двумерная плотность случайного процесса Х(2) в виде 1 ( (х+21пг,)г+(у+а)пгг)г /2(х, у/21, 12) = — ехр )— 2н 2 Вычислить основные характеристики процесса т„(2), «гя(1) и Кя(«ы 22). < Найдем сначала одномерную плотность процесса. Из формулы (1) получаем »1(х/») = 22(х~ у/2, »2) е»у 1 (х+ ьбпг) (у+ сйпгг) С помощью замены и = у+ сйп 22 приходим к интегралу Пуассона Отсюда, в частности, следует, что сечения Х (2«) и Х (22) при 2» ф 22 независимы, так как /2(х, у/См 22) = уг(х/2«)уг(у/Сг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
