341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 руб. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 руб. Найти вероятность события А = 1по истечении года работы страховая компания потерпит убыток). 18.566 (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятность события В = (страховая компания получит прибыль не менее т руб.), если т = 40 000, 60 000, 80 000.
18.567. 500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что относительная частота выпадения шестерки окажется в интервале — — 0 Оо — + 0 Оо)? г. г (~6 ' '6 ' ) 18.568. В опыте Бюффона монета была подброшена 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно при повторении опыта получить такое же или еще большее отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте? 18.569. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,975, утверждать, что относительная частота выпадения герба попадет в интервал (0,4; 0,6)? Получить оценку Указанного числа, используя второе неравенство Чебышева.
18.570 (продолжение). Получить оценку указанного в предыдугцей задаче числа подбрасываний монеты, считая применимой интегральную теорему Муавра — Лапласа. 18.570 (1). В жюри, состоящем из нечетного числа судей, каждый судья независимо от остальных принимает правильное решение с вероятностью р = 0,7. Каково должно быть наименьшее 138 Гл.18. Теория вероятностей число членов жюри, при котором решение, принимаемое большинством голосов, будет правильным с гарантированной вероятностью 0,99? 18.571Я.
В урне содержатся белые и черные шары в отношении 3: 2. Производятся последовательные опыты по извлечению одного шара с возвращением, причем каждый раз фиксируется цвет вынутого шара. Каково минимальное число извлечений, при котором с вероятностью, не меньшей 0,9948, можно ожидать, что отклонение относительной частоты появления белого шара от вероятности его появления в одном опыте не превысит величины е = 0,05? 18.572. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром Л.
Показать, что предельной формой закона рас- Х вЂ” Л пределения стандартизованной случайной величины Я = /л при Л -+ оо является нормальный закон Ф (О, 1). < Так как Х вЂ” пуассоновская величина с параметром Л, то ес характеристическая функция имеет вид (см. пример 5 24) Е„(1) = ехр(Л(е" — 1)). Величина Я линейно выражается через Х: Я = 1 =,/Л = — Х вЂ” л/Л, поэтому по свойству 2 характеристической функции Е (1) -и лЕ -и/л л( я//л 1) / =е „(=/) =е е е Разложим выражение в скобках в ряд Тейлора по степеням — с точ- /Л постыл до членов второго порядка малости: и,,/л 1 12 /22л) е'' — 1 1 — — — +о~ — /). л/Л 2Л ( Л) Подставляя ато разложение в выражение для Е,(г), получим (Г) -ол л(к/ъ~л — /)2л) +ой /л)) -2 /2 лой /л) -2 /2 Лооо что соответствует виду характеристической функции стандартизованного нормального распределения (см.
пример 3 з 4). Так как характеристическая функция однозначно определяет закон распределения (свойство 6)., отсюда следует утверждение, сформулированное в задаче. С Из решения задачи 18.572 вытекает, что при достаточно больших значениях параметра Л можно приближенно аппроксимировать пуассоновское распределение нормальным. 18,573. Оценить вероятность события А из задачи 18.554, если предполагается, что число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации, подчиняется закону распределения Пуассона с параметром Л = 5. 'З 5.
Закон больших чисел н предельные теоремы 139 18.574. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно Л = = 20 = т». Найти вероятности следующих событий: А = (Х > > 20), В = [10 < Х < 30). 18.575. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность, что из 200 студентов, сидягцих в аудитории, окажется не менее 10% носящих очки? 18.576. Рассматривается среднее арифметическое У 100 независимых пуассоновских случайных величин Х„с параметрами Л„= и. Найти Р([У вЂ” гп,.[ < Лг).
18.577. Пусть Х„подчиняется закону распределения Х~(я). Показать, что случайная величина Մ— я )оп— асимптотически распределена по закону АУ (О, 1), т. е. х Рг„(т) -+ ~ е й при п -> оо. х/2гг .l а Так как Х„ распределено по закону с~(я), то согласно «происхождению» распределения Лэ (см. задачу 18.494) существуют такие попарно независимые нормальные стандартизованные случайные велик чины Яь (/с = 1, 2,...), для которых Х„= 2 Яь~. Поскольку Ль ь=! попарно независимы, то н Еьэ попарно независимы (5 = 1, 2, ...
) (см. задачу 18.524). Кроме того, для дисперсии любой из величин Яьэ имеем Р [Л2[ М [Л4] 542 [Л2[ 2 3 4 4 2 4 т.е. дисперсии случайных величин Яь (й = 1, 2, ...) конечны. Следовательно, для случайных величин Х„(и = 1, 2, ...) выполнены все условия центральной предельной теоремы Ляпунова, поэтому стандартизованная случайная величина У„асимптотнчески распределена по закону М(0, 1). ~> 18.578. Случайная величина Х распределена по закону Хэ(200). Используя асимптотическую нормальность Х, оценить вероятность события А = (Х > 250).
18.579**. Случайная величина Х распределена по закону Яг (п). Доказать, что при и — > оо плотность распределения вероятностей случайной величины Х сходится при любом значении аргумента т к плотности распределения вероятностей закона АГ (О, 1) при том же значении т. Гл.18. Теория вероятностей 140 1 / 1 = ~о(х) дх = — / (6 — а) дт(х)дх. а а Значение интеграла 1 можно рассматривать как математическое ожидание функции случайной величины У = (6 — а) дт (Х), где Х распределена по закону В (а, 6). Пусть Хь (я = 1, 2,...
) — независимые случайные числа, распределенные по закону В (а, б) (существуют стандартные программы на ЭВМ, вырабатывающие так называемые шсевдослучайныее числа, которые обычно используют в качестве Хь). Случайную величину 1„= — ~~~ (б — а) у(Хь) 1 я ь=! (4) можно рассматривать как приближенное значение интеграла 1. Если дисперсия 0 [у (Х)] существует, то нз закона больших чисел следует, что 1„— > 1 при я -~ оо (следовательно, вероятности больших отклонений 1„от М [1„] = 1 малы при больших п), а из центральной предельной теоремы (в силу независимости у(Хь) (я = 1, 2,...
) и ограниченности дисперсий Р [~о (Хь)]) вытекает, что случайная величина !1= = ~/и 1„— 1 О (1„) пг асимптотически (прн больших и) распределена по закону Х (О, 1). 1„— 1 Пусть б = " — относительная погрешность вычисления ннтс- 1 трала 1. Так как распределение случайной величины 1! известно (стан- 18.580. Случайная величина Т распределена по закону Яс(бб). Найти приближенно квантнль 1о д(60), используя нормальное приближение, и сравнить с точным значением, полученным с помощью таблицы Пб. 3. Метод статистических испытаний. Прелельные теоремы теории вероятностей и их следствия лежат в основе вычислительного метода, известного как метод статистических исиытаний (меглод МонтеКарло), который часто применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, не выражающихся через элементарные функции, для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка, при решении краевых задач для уравнений в частных производных и во многих других задачах численного анализа, где обычные численные мстолы (такие, как метод сеток) приводят к чрезмерно большому объему вычислений.
Идею метода статистических испытаний проиллюстрнруем на примере приближенного вычисления определенного интеграла от функции у(х). Пусть З 5. Закон больших чисел и предельные теоремы 141 цартизованное нормальное), то можно найти такое минимальное значение относительной погрешности, которое гарантируется с заданной вероятностью р. Обозначим это значение б м. По определению, Р[Б < б;„) = р или Р [У[< б,цы — ~/я =р.
[у[ Отсюда следует, что 1 ~т„ ппп = ~ — ' [[у[ Гйег!ут, 1+р гле !ОерПт — квантиль порядка — цля нормального распределения Ф(0, 1). Так как о„конечно, то пво„может быть сделано сколь угодно малым при увеличении и. Пример 3. Какой объем я выборки необходимо взять в методе статистических испытаний цля того, чтобы при вычислении значения гамма-функции Эйлера Г(5/4) можно было с вероятностью, не меньшей 0,95, считать, что относительная ошибка вычисления будет меньше одного процента? а Воспользуемся выражением цля гамма-функции Эйлера в вице определенного интеграла: Г(з) = 1* 1е ~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
