341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 62
Текст из файла (страница 62)
х = О, у = -а. 7.553. х = у = -а. 7.554. х = у = -а. 5 5 5 оо оо 2 Т555 о 7556 х = — Я1п(отг+Вг)~ ого = — оо 7.557.1 = бс, в = 2д ат ' " л = 144м. Т.558. 250м. 7.559. 0,125 Дж. Указание. По закону Гука сила г пропорциональна растяжению пружины. 7.560. —,д упН Н . 7.561. — х 12 3 х д"тпйгНг. 7.562. — дуа Н . 7.563. -дупН Я . 7.564.
— ъ/22д'уар . г 1 г г, 1 г г 16 г 12 4 15 /1 1т еое 7.565. еое ~ — — -); —. Указание. По закону Кулона сила взаимота 5) а еое действгия аарядов в пустоте равна Г = †, где х — расстояние между тг ' зарядами. 7.566. 2066!п2. Указание. При изотермическом процессе Ответы и указания 400 ро = рого Работа равна А = р!)ю, где и! и от — начальное и конечв! ь-1 ро со / ( оо ! ное значения объема. 7.567.
~~ — ~ — 1 . Указание. При адиабгтическом процессе рюь = розог, где 5 1,4 (за44он Пуассона). Рая! У' рого 4 а бота равна А = — !1о. 7.568. — х тгуь!тВ . 7.569. — ь!ту!йаз. 2 5 2 ,/ юв 15 60 юО 7.5ЧО. — уан4з!от 7.571. -тп,Р уВ4Н, 7.572.. 7.573. ОупВтН. 2 2 4 24 4 3 2 0,241о Лп 7.574. -д7абт. 7.575. д упВН'. 7.576. 20,625 кг.
7.577. 3 Указание. По закону Пжоуля — Ленца количество теплоты, выделяемой 5 ~2Н постоянным током за время г, равно Я = 0,244'тЛГ. 7.578. — ~( — и 'рддр д 5,6 мин. У к а з а н и е. По закону Торричелли скорость истечения воды из отверстия на расстоянии х от свободной поверхности равна ю =44~/2дх, где р 0,6. !! а Ч 579. —. < Я = 4 ю 2атй = — ~ (а — т ) 41г = про 1 24гр 8ф / 4ф! о о ар г (ат — гт)т') " пра4 2ф), 4 /о 8ф 2СтМ 7.580., гдеС вЂ” гравитационная постоянная.
Указание. ПрипВ2 !'Н менить закон всемирного тяготения. 7.581. — ~/ — 11 мин. 2 3гт '4!! д 7.582. -44айь/2д)4. 3 Глава 8 8.1. Я = 0<х<р,О<у<р, о2 :,.у <!.8.!.! = — !!р — я! 0< ! < !'.8.!.я 3пт1з — !!* — !.-р! > . 8з.г -!у я 8.!... -!у я х+у х — у 8.6. ха+у' < Лт. 8.7. ~~ + у' > В~. 8.8. *~ у. 8.9. — 1 < ха+у < 1. 8.10. х + у < О. 8.11. х < х + у~ < 2х. 8.12. Полосы — — + 25п < < х < — + 25п (5 — целое число). 8.13. 0 < хт + ут < 1 при 0 < а < 1, 2 Ответы и указания 401 хэ + уз > 1 при а > 1.
ВЛ4. Два тупых вертикальных угла, образованных прямыми у = 0 и у = — 2х, включая границу без общей вершины (О, О). 8.15. 4 < хэ + уэ < 9. 8.16. Криволинейный треугольник, образованный прямой у = 2 и параболами уэ = хх, исключая вершину (О, 0). 8.17. О < у < л. 8.18. Часть плоскости, заключенная между л л Зя бл лучами ~р = — — и р = —, д = — и р = —. 8.19. хэ + уэ + яэ > Нэ, 4 4' 4 4 8.20.
0 < хэ + уэ < гэ, х ф О. 8.21. хэ + уэ — хэ < 1. 8.22. и-мерный куб -1 < хь < 1 (Й = 1, 2, ..., п). 8.23. и-мерный эллипсоид — ', + — ~~+...-(- —" <1. 8.24./(2,1) =1/4; /(1,2) =4; /(3,2) =0; о1 оэ о /(а, а) = — 1; /(а, — а) = 1. 8.25. /( — 3, 4) = — 24/25; /(1, у/х) = /(х, у). 8.26. з/Г+ хэ. 8.27. /(х) = хэ — х; х = 2У + (х — у)э. х~(1 — у) У и 8.28.. < Обозначим и = х+ у, о = —. Тогда х = 1+у х 1+о но и итоэ и (1 — о) у = — , /(и, о) — — — .
Остается пе- 1 + о (1 + о)э (1 + о)э 1 + о реименовать переменные и и о в х и у. > 8.29. а) х4 — 2хэуэ + 2У4; б) 4х'уэ. 8.31. а) соз2х; б) соз(хэ — уэ). 8.32. — 6. 8.33. 1. 8.34. О. 1 8.35. е. 8.36. 1. 8.37. 1пп з = — вдоль прямой у = йх; 11шя = 3 ь-ю Й вЂ” 1 а — ~е при й = 4/3; 1пп х = 2 при 9 = 3/2; 1ппз = 1 при й = 2; 1ппя = -2 при й = 1/2. 8.40.
Не имеет. 8.41. Не имеет. 8.42. Указание. Рассмотреть изменение х и у по параболе у = хэ. 8.44. (1, — 1). 8.45. (т, и), где гп, и 6 я.. 8.46. Линии разрыва — прямые х = вся и у = пзя, где й, п~ Е Е. 8.47. Линия разрыва — окружность хе + уз = 1. 8.48. Линии разрыва — прямая х -~- у = 0 и парабола уэ = х. 8.49.
Линии разрыва— окруаЬюсть хэ -~- уэ = 1 и гипербола хз — уэ = 1. 8.50. Поверхности разрыва — координатные плоскости х = О, у = О, я = О. 8.51. Поверхность хэ уэ зэ разрыва — эллипсоид — + — + — = 1. 8.52. Поверхность разрыва— от бэ сэ конус х'+ Уэ — зэ = О. 8.53. Поверхность разрыва — однополостный гиперболоид хэ + уэ — я' = 1. 8.54.
Поверхность разрыва — двуполостный гиперболоид хэ + уэ — зэ = — 1. дх дз ., да 8.55. — = 5х4 15хзуз 5у1 15хзуэ = 20хз 30хуз дх ' ду ' дхэ 2 2 3 э у — = — 45хэуэ — = 20уз — 30хэу 8 56 — = у — —, — = х+ —, дхду ' дуэ ' дх х'' ду х' Ответы и указания 402 дг» 1 д㻠— = 1 — —, хз дх ду хг дуг з дг Зхуз д'» дхг д» О.
8.57.— д» уз ' дх (хг+гуг)з/г' дг» Зхгуг дг» ду (хг + уг)з/2 дхг (хг + уг)з/2 дх ду (хг + гуг)з/г ' дуг Зхзу д» д» вЂ” 8.58. — = (1 — ху)е *", — = — хге (хг+уз)з/2 дх ' ду ' дхг дг» дг» д. = у(ху — 2)е *", = х(ху — 2)с ", = хзе з. 8.50. — = дхду ' ду' ' ' 'дх сову» д» 2уе4п рг дг» 2 сову» дг» 2у з!пуз хг ' ду х ' дхг хз ' дхду хг дг» 2 зпп уг + 4уг еоз уг д» д» д㻠— — 8.60.
— = ух1пу, — = ху* ду' х ' ' дх ' д, ' д' д» дг» = р*!п у, — = у* 4(х!ну -1- 1), —, = т(х — 1)у* 2 (у ) 0). дхду ' ' дуг д» 2х д» 2у дг» 2(уг — хг) дг» ' д, .2+ г' ду г+ г' д г ( г+угР' д ду 4ху дг- 2(хг — уг) д» гузяпх д» ~х~ ( г+,г)г дуг (.2+02)г' ' ' д. »2+уз' ду 2+462' дг» 21»1у дг» (уг — хг) 28п» дг» 21х1у дхг (хг -1- уг)2 дх ду (хг 4. уг)2 дуг (хг + уг)2 ди х дги 2»2 уг»2 дги 8.63. — =— дх (хг+уг+»2)з/2' дхг (хг 4 уг 1»г)з/г' дхду Зху ди» /у~= ди» /у~' ди (»2+уз+»2)з/г дх х (х/ ду у (х/ ' д» гу~л у д2и»(»+ 1) /у1к д2и»(» 1) /у1л дггг = (-)' — — = (-)' — = (-)' — = — ( ) (1 1»1п ) 8 65 — уг»з44+ '1 — 2»гу»з44 4 дуд. у~'~ ~ '/' ' 'дх ' ду 224 д44 2ЗЗ ди ди 24 2 г — = Зху» 1 + 2, — = 4ху» 1 — 1, — = Р, — = 2х»'г, д» дг дх2 ' ду2 дги дг д2и дги — бхуг»44 = 12., 2»212 = 2у»зг4, = Зуг»2~4, д»2 ' дзг " ' дхду ' дхд» ди гзз дг г4 ди ди дхдС ' дуд» дуде ' ' д»дг = 4уг»212,, = бхгу»214 — = Зх»ЗФЗ, — = 12»уг»ггз.
8.66. Д(З, 2) = 511, /з(3, 2) =- 42, „Г,",(3, 2) = Зб, Да(3, 2) = 31, ~„"„(3, 2) = б. 8.6Т. Д(1, 2) = е(2е4 — 1), Я(1, 2) = 4е', Д',(1, 2) .= Ответы и указания 403 »2-к НХ4 хс !пхс !пх4 с!ха + хс Х4 5сЬ вЂ” 2 с!х+24(у) 8.94.с(г"(1, 2, 1) = . 8.95.8,29. 8.96.2,95. 8.97.0,227. 25 8.98. 8,2мз. 8.99. Уменьшится на 1,57см. 8.100. Увеличится на 617,5 смз 8.101.4!г = Зх(х + 2у)с(х + 3(хг — уг)с!у, с!22 = 6((х + у)с!Хг + 2х с!х ду — ус!у~). »1 14 8.102. 412 = (х с!у — у с(х) 1 — + — ), 1Х2 2)' Н г = 2 ( — с!х + ~ — — — ) с!х с(у — — с(у ) .
1 хз (»уг хг) уз — уг с(хг + 2хус(х с!у — хг с(уг с!22 (хг + 2хр)з/г 8.103. 4Ь = ь ~. о ь +, Ф Ю 2*5 = е(бе» вЂ” 1), У,"„(1, 2) = Вез, ~„"„(1, 2) = 18ез. 8.70. Д" (О, 1) = О, д4 У,",'„(О, 1) = 2, У,"„'„(О, 1) = О, У„"„'„(О, 1) = О. 8.71. дх ду д~ д»! = — — + 6 48(х — ()2(у — »!)г дзи ° =,/~*-Сга-»Г. всг.
г» гз дх ду де+»»2 = — 6(созх+созу). 8.73. = р)с!!. 8.78.г~соз0. 8.85. Д(0, 0) = ' дхгду» = ~„'(О, 0) = О. Указание. Проверить, что функция равна нулю во всех точках осей Ох и Оу, и использовать определение частных производных. 8.86. Указание. Проверить, пользуясь правилами дифференцирования и определением частной производной, что Д(х, у) = /х' — у' 4х'у' 1хг+уг ( г+„г)г тельно, Д(0, у) = — у.
Отсюда У.,"„(О, у) = у,"„(О, 0) = — 1. Аналогично находим, что У„",(О, 0) = 1. 8.87. 452 = 0,33, сЬ = 0,3. 8.88. 432 = = 0,0187, сЬ = 0,0174. 8.89. 412 — + х ссх 41у ~/Схг + у2(у+,/у2 ! у2) 1»»хг + у2 у 1 х 8.90. 4Ь = (2х с!у — у с(х). 8.91. сЬ = — 18 — (х с(1» — у сТХ). хг созг (уг/х) у у ,ссг г 8.92. с!и = (ху)' ! — с!х+ — с!у+ !и (ху) сЬ 1х у 8.93. с(у = (хг — хз)х*г к» ~ !пх4 с(хс + хс~ *~ !пхс !пх4 с!Хг— Ответы и указ ния хг с!у — ху Йх 8.104. сЬ вЂ” г, )з дг~ = (у(2хг — уг)с!хг + 2х(2уг — хг)с!х с!у — Зх'ус!уг) (с г + уг)з/г 8.105.
с!г = е'""((уг + ху + 1) с!х + (хг + ху + 1) с!У), с!гг = е "(у(уг ~- ху 4- 2) дхг 4- 2(х -!- у)(ху ь 2) дх с!у .с х(хг -!- ху -~- г) с(уг) У 1 х г 1 г 2 х 8.103. сЬ вЂ” (!п — 1 с(х + — с(у, с( г — — — сЬ + йх с!у — с(!с х у х у у г 1 8.107. сЬ = (ус!х — хсзу), св г = —, 2хг + 2ху+ уг ' (2хг + 2ху + уг)г х (2у(2х + у)с!хг + 2(уг — 2хг)с!х Ну — 2х(х + у)с!Уг). 8.108.
с!и = = (у + г) с!х + (г + х) с!у + (х + у)сЬ, с!ги = 2(с!х с(у + с!у сЬ + с!г с(х). 8.109. Йи = е'"'(уз сЬ + зх с!у -!- ху сЬ), с1~и = е*з*((уз с!х+ гхс!у+ ху с(з) + 2(г с(х с!у+ хс(ус!г+ у сЬ с!х)). 8.110. с!зз = ео( — еовхс!хз — Зв!ихсЬг с(у + Зеовхс(хс!Уг + в!пхс!Уз). 8 111 с1зи 0(с(хз+ с(уз 4 сЬз Зс(хс(ус!з) 5)(с4х + с(у + сЬ)в (х+ у+ г)' В 113. с( и = е" св" ссс(ас!х+ Ус!у+ сс!з)'" 8.114. — = егх "(2вес 1 — З(21 — 1)). 8.115.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
