341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 57
Текст из файла (страница 57)
р 8.303. — абтя!п(Ьх+ с)с!хз = — ЬЯ!сс!х'-. 6.304. 3 " !п0(2х'!пЗ вЂ” 1) с(х-'. 2 — азз яш х — 2х сос х Зта — 9х+ 7 хз (ха -З.г+ 2)з ° К вЂ” тя . х ь агсгйп х хз)зуя а(1+ аз) я!их 26хз Лх с!х 6.310.— с!х'. 6.312. (1+ ах я!пах)згз (х -!- 2у)я ' (у Ь)з' х(1 + Зуа) суха (х — у) сЬя 6.314. б а, 6.315.. 6.318. /(х) разрывна при (! Зуа)з ' ' (1 — а соя су)з х = 0 6 [ — 1, 1]. 6.317. О. 6.319. Указание. Провести доказательство методом от противного, предварительно установив, что производная левой части уравнения имеет единственный действительный корень х = 1. Ответы и указания 6.320. У к а з а н и е.
Провести доказательство методом от противного, предварительно установив, что производная левой части уравнения не имеет действительных корней. 6.321. Указание. Г(5) = Г(и). 6.322. ~ = = 1/х/3. 6.326. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 6.323. 6.328. Сг — — 1/2, Сз = 5/3. 6.329.
О. 6.330. 1/3. 6.331. — о™ 6.332. . 6.333. 1. 8.334. 2/3. 6.335. †, . 6.336. аз/Ьз. !па — 1пб 2 6.337. 2. 6.338. 2/3. 6.339. — 1/2. 6.340. 2. 6.341. 9/50. 6.342. 1/2. 6.343. 1/2. 6.344. О. 6.345. 1/2. 6.346. — со. 6.347. соя 3. 6.348. — 2. 6.349. 1. 6.350. О. 6.351. О. 6.352. О. 6.353. 2. 6.354. О. 6.355. +со. 6.356. 1/л. 6.357. а. 6.358. О. 6.359. -1. 6.360. О. 6.381. 1/12. 6.362.
— 1. 6.363. 2/3. 6.364. 1. 6.365. 1. 6.366. 1. 6.367. е. 6.368. 1. 6.369. 2. 6.370. 1/е. 6.371. 1. 6.372. 1/е. В.3Т3. 1. 6.3Т4. е Я В 3Т5. ег 6.376. е. 6.3Т7. 1/г/еа 6.378. 1/фе. 6.3Т9. — 9 + 17(т + 1) — 9(х + 1)з + + 2(х + 1) . 6 380. 7 + 11(х — 1) + 10(х — 1) + 4(1 + д(х — 1))(х — 1); а) д = 1/4; б) д — любое действительное число; в) д = 1/4.
6.381. Р( — 1) = 143, Р'(О) = — ВО, Р"(1) = 26. 6.382. 1 + — + — + ... 1! 2! хгг еде 3 я и ... + — + х"+'. 6.383. — — — + — —... + ( — 1)!" г!гз — + и! (и + 1)! 1! 3! 5! и! яьп (дт + (и + 1)(н/2)), х хз ть + (и + 1)! х"+', и нечетно; — — — + — —...+( — 1)"/т х ' 1! 3! 5! х" г сбп(дх+(и+1)(гг/2)) х~ х !,,! х" ' соя(дх+(и+1)(и/2)) 6.384. 1 — — + — —...+( — 1)!" гг/з + х м 2! 4! (и — 1)! (и + 1)! хз хз х" соя (дх + (и + 1) (х/2)) и нечетно; 1 — — + — —...+( — 1)"Уз — + х" яз, 2! 4! и! (и + 1)! хя гг хп+1 и четно.
6.385. х — — +... + (-1)" г — + х > — 1. 2 и (и, + 1)(1+ дх)"+' ' хз хя и хя 6.386. х — — + — —... + ( — 1)г" г!г~ — +Вьег(х), п нечетно; х — — + 3 5 п 3 я хп-г + — —... + ( — 1) "/ + Л„~. г (х), и четно. У к а з а и и е. Остаточный 5 и — 1 член записать в обпгем виде. а а(а — 1) т а(а — 1)...(а — и+ 1) 6.387. 1 + —,х + х +... + х" + 1! 2! и! а(а — 1)...(а — и)(1+дх)" " ' + (и+1)! х""', х > — 1. Ответь! и указания 377 .2 .4 .В гп 6388.1 — — + — +...+( — цп . Указание. В разло- 2 22,2! 2з 3! ''' 2п и! х 2 женин е" по формуле Маклорена (см, задачу 6.382) полол4ить и = — —.
2 1 / (2х)2 (2х)4, (2х)'" 1 6.389. — ~ — +...+( — Цп ' /!.Указание. Записать 2 [, 2! 4! (2и)! 2) 2 сбп х = -(1 — соз 2х) и воспользоваться результатом задачи 6.384. 2 бх (бх) з (бх) гп+' 2 6.390. — —, +... + ( — цп,, 6.391. 2!п2 +в 22пз ! (2И+ Ц!' 4 х4 х х2п / 1 .2 1 .4 — — + — +...
+ ( — Ц"т' . 6.392. 2 ~1+ — — — — + 42,2 4з.3 ''' 4п и ~, 2 8 22 2!82 1. 3 х" п 1 3...(2и — 3) хгп'4 + — +... + ( — цп — ) . 6.393. 2 — (х — 2) + 23 ° 3! 82 2п ° и! 8п (х — 2)' хз 1+ 2в!422 ух +(х — 2)2 — (х — 2)з + . 6.394. х +— (1+ Я(х 2)) 3 соз4 Ох 490 +без з ( ц 6.395. х + — + — . 6.396. 1 — + -(х — Ц б 4! (1 — Огхг)г/2 2 8 (х Ц + д 6.397. а) 0,842; б) 1,648; в) 0,049; 35 (. — Ц' б 128 (1+ д(х ц)'/' 1 хз 5 хз г) 2,012. 6.398.
а) — /2 б) — в/з 6'400. а) 1; б) 1/2; 16 (1 + Вх)з/2 ' 81 (1 + Вх)з/з ' в) 1/2. 6.401. Указание. Воспольаоватьсн разложением функции по фоРмУле ТейлоРа в окРестности точки хо до члена поРндка !4 включительно. 6.402. /(хо) = Π— минимум, если дг(хо) > 0 и и четное; /(хд) = Π— максимум, если дг(хо) < 0 и и четное; экстремума нет, если и нечетное. 6.403.
У к а з а н и е. Воспользоваться первым достаточным условием экстремума. 6.404. На ( — 1, — 1/з/2) и (1/з/2, Ц убывает, на ( — 1/а/2, 1/з/2) возрастает; у ы = у( — 1/з/2) = — 1/з/2, у,„= = у(1/з/2) = 1/2. 6.405. На ( — оо, — Ц и (О, Ц возрастает, на ( — 1, 0) и (1, +со) убывает; у,„= у( — ц = у(ц = 1. 6.406.
На (О, ц и (1, е) убывает, на (е, +ос) возрастает; у ы = у(е) = е. 6.407. На ( г! т гп я — (б(4 — ц, — (б(4+ ц) убывает, на ( — (б!4+ ц, — (бй+ 5)) возрастает; уть1 — у(2Ьг+ — 1 = 2Ь! + ( — — з/3) дз 2Ьг 0685, ртах = у (17 -~ — '~~ = ~Я а 1! — ('- —,З) г(ф.~ 1! "~ дада ~ а х. 3/ 3 6.408. На (О, 2) убывает, на (2, +со) возрастает; у ы = у(2) 378 Ответы и указания = 2(1 — 1в2) 0,61. 6.409.
Возрастает во всей области опредечени~. 6.410. На / — (8)г — 3), — (ВЙ + 1)1 возрастает, на ( — (8Й + 1), — (8Й + 5)) (О, 1/е) Убывает, на (1/е, +ос) возРастает; Рв,ь, = 9(1/е) = (1/е)О' = 0,69. 6.412. На ( — со, 0) убывает, на (О, +со) возрастает; р,„ы = 9(ОГ = '2. 6.413. М = 3, т = — 24. 6.414. ЛХ = 8, гп = О. 6.415. ЛХ = О,б, т = — 1. 6.416. М = 1, пг = О,б. 6.417. М = 2, гп = чг 2 2ж 1,26.
6.418. ЛХ = х/4, т = О. 6.419. М = 1, т = — 1. 6.420. ЛХ = 1/т/е е0,61, т = — 1/т/е = — 0,61. 6.421. Указание. Рзсгмотреть функцию р = е* — (1+к) и показать, что у нее сугцествуст единаог + Ьвз огненный минимум: р„,ы = у(0) = О. 6.425, с. 6.426. )АР) = пг + об 100зг 2р 1 г хит 500 — — ( км и 442,3км. 6.427. т =, у = — ~р — х — — /. з/3 4+х 21 2 Х 2х ай 4 .з 6.428.
о = —. 6.429. —. 6.430. ггаз 6 431. — хгзЙ. 6.432 — хг з 3 4 27 3 6.433. — 1з. 6.434. 2гз. 6.435. Лг(1, 1). 6.436. х = Аз/2, р = ХХ/з/2. 9 БАГЗ 6.437. Разделить отрезок пополам. 6.438. г— 6 439. Й вЂ” ( зуз — гузуз)згз (чгНз+ХХз — Н)(,Я~+ХХз+ 2й) ' ' 6.440. На ( — оо, 0) — выпуклость вверх, на (О, +со) — выпуклость вниз, ЛХ(0, 1) — точка перегиба, Й = 7. 6.441.
График всюду выпуклый вниз. 6.442. На ( — оо, 2) — выпуклость вверх, на (2, +со) . — выпуклость вниз, М(2, 0) — тачка перегиба, Й = О, 6.443. На ( — оо, — 1) и (1, +со) —— выпуклость вниз, на ( — 1, 1) — - выпуклость вверх, ЛХг( — 1, К2) и М (1, бг2) — точки перегиба, Йг = Йз -— — со. 6.444. График всюду выпуклый вверх. 6.445. На (-со, — 1) выпуклость вверх, на ( — 1, +со)— выпуклость вниз, М( — 1, 1 — е з) точка перегиба. Й = — е з - — 0,14.
6.446. На ( — оо, 0) - — выпуклость вверх, на (О, +оо) —. выпуклость вниз, ЛХ(0, 0) — точка перегиба, Й = оо. 6.447. На (О, е зуа) — выпуклость 5 за вверх, на (е ~г~, +ос) — выпуклость вниз, М е зга, 1 — -е зуа 3-зз 3 9 точка перегиба, Й = — -е згз — -0,28.
6.448. а = — —, Ь = 2 ' 2' 2 Ответы и указания 379 1 6.449. —. 6.451. Указание. Если хо — абсцисса точки перегиба, бт/2 т г 4 хат то хофбхо = 2. Тогда уод = ут(хо) = ходгбп хо — — . 6.452. х = 2, 4+ хо 1 у = 1. 6.453. у = х — †. 6.454. х = О, у = 1 (правая), у = -1 (ле- 3 вая). 6.455.
у = Зх+ — (правая), у = Зх — — (левая). 6.456. х = О, 2 ' 2 1 1 у = 2х, х = — 1 (левая). 6.457. у = О. 6.458. х = — — у = х+ —. с е я / 64'1 6.459. у = — х — 1. 6.461. у ы = у(0) = — 1; (~1, — — ) и 2 ' (, ' 125) (хт/5, О) — точки перегиба. 6.462. У„,„х = у(х1) = 1, у„,;и у б + т/2 1 1б + ~/21/ б + т/21 5 ' 20 (, 5 — 3 — точки перегиба. 6.463 уппх = / ~/6 7~/6 1 = у( -т/3) = т/3, у,;, = у(~/3) = -1/3~ (О, О) и '( ~ †, ~ †) [, 2' 16) 27 точки перегиба. 6.464. У,„ы = у(3) = —; (О, 0) — точка перегиба; х = 1 и у = — асимптотвк 6.465.
У~пах = у(0) = 0~ Упцп = У(94) 2 = — ~/4; ( — ~/2, — — ~/2( — точка перегиба; х = 1 и у = х — асимптоты. 6.466. (О, 0) — точка перегиба; х = х1 и у = х — асимптоты. 6.467 У~пах = У( /4) = 'х 4, Уппп = У(0) = О; х/2, 'х/2 точка перегиба; х = — 1 и у = х — асимптоты. 6.468. У,п„х х 1 х = У(1) = —, ( т/4, — ~/4) — точка перегиба; х = — т/2 и у = 0-- х 3'(, '6 асимптоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
