341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 64
Текст из файла (страница 64)
8.244. Точка возврата 2-го рода (О, 0). 8.245. Точка самоприкосновения (О, 0). 8.246.(0, 0) — изолированная точка, если а < 0; узел, если а ) 0; точка возврата 1-го рода, Ответы и указания 410 если а = О. 8.247. Узел (О, 0). 8.248. Точка возврата 1-го рода (О, 0). 8.249. Угловал точка (О, 0). Указание. Показап, что !пп у' = О, г — ьео !пп у' = 1. 8.250.
Точка прекращении (О, 1). Указание. Показать, я — — о г х что !нп у = 1. 8.251. у = — —. 8.252. хг+уз = рг. 8.253. х = хЛ. +о ' 4 4 8.254. Огибающей нет. 8.255. у = — — хг 8.256. хг~г + уггз = !г~з '3 3 8.257. рг = — . 8.258. а) Дискриминантнал кривая у = 1 лвллетсл х+ 2а огибающей и множеством точек перегиба данного семейства; б) дискри- 4 минантнал кривая распадаетсл на прлмые: у = х — — (огибающал) и 27 у = х (множество точек возврата 1-го рода); в) дискриминантнал кривал у = 1 есть множество точек возврата 1-го рода и не лвллетсл огибающей; г) дискриминантнал кривал распадаетсл на прлмые: т = -а (огибающал) и х = 0 (множество узлов). 8.259. а) 1 г, 0,0043%; б) 1 мм, 0,12%; в) 1', 0,066%. 8.260.
1) Л = 0,002 км, б = 0,008%; 2) Ь =- 30мг, б = = 2%. 8.261. Первое. 8.262. а) 0,05, 0,14%; б) 0,005, 6,25%. 8.263. 29,2 и 3,2. 8.264. 1) 5,373, 0,0004, 0,0074% 2) 5,73, 0,0026, 0,048%; 3) 5,4, 0,0274, 0,51%. 8.265. 202 10 з, 188 104 600. 10з 8.266. а) Два, 41 10~; б) один, 8.
10 г. 8.267. Не меньше, чем с двуми знаками. 8.268. Не меньше, чем с тремя знаками. 8.269 — 8.273. Указание. Воспользоваться формулой (1) г 4. 8.274. 185,7. 8.275. 1,3.10г. 8.276. 71,88. 8.277. Вычитание произвести нельзл. 8.278. 61,6. 8.279. 512 10. 8.280. 3,3. 8.281. 3 10. 8.282. 66 1О . 8.283. 7,397. 8.284. ( 12лсмг, ( 8,3%.
8.285. = 0,48. 8.28Т. ( 0,17мм. 8.288. 2,7х0,1 г/смз. 8.289. По принципу равных влилний Л измерить с относительной погрешностью 0,25%, а высоту Н с относительной погрешностью 0,5%. 8.290. 12". 8.291. 4. 8.292. 4. 8.293. По принципу равных влилний и можно взять с тремл верными знаками в узком смысле, радиусы измерить с точностью до 0,8 ем, а образующую — с точностью до 1,25см.
Глава 9 14 аз 3 9.2. —. 9.3. —. 9.4. — 1п —. 9.5. — (т+ 4). 9.6. -и. 9.Т. у = т, 3 6 2 11 4 2 у=х+3, х=1, х=2. 98.у=хг у=2 — хг х=х1. 99.х+у=2, х = /4 — рг р = О, у = 2. 9.10. у = ьгх, у =- з/2 — хг, х, =- О, х, = 1.
412 Ответы и указания 18— 2-4/4 — Ол г чы — О 9.19. / 41у / Дх, у) с(х+ / 41у / /(х, у)41х+ О О о 2+4/4 4 Фа-р' + ггу /(х, у)4(х. 2 О 81'г 4/4+8 Цао./л*/ Л,у) а. 9.21. /лу / Я*,514*. О л о гр-г а 9.22. / Иу / Дх, у)дх+ / 4(р ~ /(х, у)1(х. о о -агл рлб-1 9.23. Кт /(х, у) 4(у+ 4(х /(х, р) ду+ 4Ь /(х., у) Ыу. уд. о З 1О-р 9а4. /4ь / 11., Ыг, 9.2а — . а2т. 1121а 9. .28. 1 4.
9.29. 1/3. 1 Огл 9.30. 9/20. 9.31. 68/15. 9.32. лг/128. 9.33. -о . 9.34. е. 9.35. —,ягбг. Указание. О биа1 / . = д Н = ог соб 1( — аяп1) 441 ( удгу, где /хгуухду=41 х х у р= о о луг о последний интеграл получается из прсдыдуш у ЕГО П ГЕМ ЗаМЕНЫ Х лл О СОО С 9.36. Злга'. 9.3Т.
а . аз. 9.38. 1/4. Указание. Средним значениел1 1 // /(х у) в области 0 называется число /ар —— —, — /(х, р) й:Ыу, функции х, и С. 9.39. 163 < 1 < 2. Указание. По теореме где Я вЂ” плошадь области /(х, )11,г11у < МЯ, где Л! —- об оценке двойного интеграла паем < / /(:, у), наименьшее, — наи ль , Лг — бо,шее зна 1ения функции в области сл, Я вЂ” плолрб аог ЛЫ и лг'г а сал р а -* а. мо Ол 9л1. /лл / 11 ).а'~/лл / Д ).а.. о о лаиб О 413 Ответы и указания л/2 2а яп г 9.42. 41)р "(т соя р, г я)11 р)т сгт.
л/4 асоагг/*)пг р л/4 г!и гг/сог~ р 9.43. с/ср 1(г' соя р, т я|п ср)т с/т+ о о Зл/4 1/яп |а + сбр /(тсояср, тя)пср)ганг+ /» о яп я/ сог г . + с/>р 1(т соя)р, тя)пср)тс(г. Зл/4 о /я /ясо г л/2 Зогсол2т гг >.ы. / ал / С) ) а -:-/ гс / С| ) г. 9.гг. — 1" — 1). о о л/я о 2 9.46. -аз 9.47. — >г. 9.48. —. 9.49.
— га». 9.50. — (Зп — 2). 2 128 хаз 45 а 9 3 Г> 64 12 а а 2>с/2 1 Г Г /и(а — в) 1>и>» 9.51. а4, 9.52. — ) )Ги) /1, — ис(и. 15 а) ) (, а ' а) Ь 4 о о з я- 9.53. — / с(и / /(>)/изо, >)/ииз) с/и. 9.54. — / с/и ) ~~, с/о. а р 9.55. —, / с(и / Г' ~ )/ —, з/гси) —. 9.56. 2таб(с — >)/сз — 1). 9.57. — ' а 958 — '( -'/' — б-Я/Я)( '/' — '/') 9.59. — '. 9;66.
-(|5 — 16|п2). 642 1 48 9.61. аз(гг — 1). 9.62. — (52 — аз)(п + 2). Указание. Перейти к поляр- ным координатам. 963. — аз(8 — х). 964. (и — 1)а'. Указание. Перейти к полярным координатам. 9.65. аз/210. Указ'ание. Сделать зб замену переменных; х = г соя )р, р =- г ята ср П ( )р У к а з а н и е. Перейти к обобпсенным полярным координатам. 9.67. — (ба/4 — аз/4)(пз/4 — гпз/4).
Указание. Сделать замену переменных: Р = их, ир =. х ..' . з — — з. 9.68. —. Указание. Сделать ба б 414 Ответы и указания 4 аамену переменных: уэ = их, у = ох. 9.69. — а . 9.70. 8 Г2и «/3 9.71. 2«/2хр-. 9.72. — аэ. 9.Т3. -«/2ат.
9.74. 16ат. 9 75. 4хаэ(2 — «/2). 3 3 9.Т6. — (27 — 5«/5). 9.77. 2аэ(х — 2). 9.78. ггаэ(ъ/2+!и (1+ «/2)). 9.79. я/6. 6 9.80. 3«/2яаэ. 9.81. 2аэ(х+ 4 — 4«/2). 9.82. — аЬ . 9.83. -а (2 — «/2). 16 э 4э 3 3 Указание. Интегрировать в плоскости Оуз. 9.84. 16/15. 9.85.
аэ/2. 9.86. -хаэ(3 — «/2). 9.87. хаЬс ~1 — — ) . 9.88. — хая(2 — «/22). 9.89. — хаЬс х 3 ~, е) 3 3 1 х(2 — «/2). 9.90. — !п3. Указание. Сделать замену переменных и = 2 = ху, уэ = юх. 9.91. 9/8. Указание. Сделать замену переменных 1 . 4 5 и = ху, о = у/х. 9.92. — а51?э, 9.93.
М = — аэ, Мэ — — — ггаэ. 3 8 2 а аэЬ гг хэ 9.94. х = -а у = —. 9.95. —. 9.96. М = —, Мя — — 1 — —. 5 ' 2 6 * 24' 12 9.97. х =, у = . 9.98. 1, = 1/12, Хэ = 7/12. 20('? — 3 !и 2) ' 8(7 — 3 )и 2) 128а 21 4 49 4 35 9.99. х = у = †.
9.100. 1. = — ха4 1 ггаа 1о = гга ° 105х ' 32 ' " 32 ' 16 хаЬ ха Ь .гаЬ э э 26 4 9.101. Х = — Х = —, Хо = — (а + Ь ). 9.102. а) — а; 4 ' " 4 ' 4 105 б) — а~. Указание. 1,— „= Д (х+а)э(?хг!у. 9.103. 1 105 3 ь 7 1 = — Йаь, 1о — — — Йа, где ?с — коэффициент пропорционально- 20 ' 20 2а — эш 2а 2а + эш 2а сти. 9.104. хая/8.
9.105. 1 = а, Хэ — — а . 16 9.106. -7(сэ — Гг)(ХХ~ ~— Лг). Указание. Г~ = у(сэ — Г))ХЧ/ху!г!хг!у. 1 4а?гэ 9.107. †. У к а з а н и е. Е= О (2 х + у) г?х г?у. 5 С э (12-эх)/э !12 — эх — Зэ)/4 в.)оа./ ь / а / гг*,),*)ь о о о ((.),а ) ' — (*').) — (,( ) 9.109. / г?х / г?у / /(х, у, з) г?э. — -( ).) ° -*' -.
(*')) . '))--((, с)) Ф')) Ответы и указания 415 зггг Л/Ггг — Р )/2 9.110. г1х Ыу Дх, у, з) г/з. о -з,т; /г,г, ргг/з 1 г/Т-гт 1 9.111. Йх г1у /(х, у, з) г/з. 9.112. 1/6. 9.113. 81/4. — г гтг гт / г+ г 9.114. а~/12. 9.115. аг/8. 9.116. 1/96. 9.117. 4/15. 9.118. -а' Ь. 4 3 ла 19 4 4 з 16 9.119. —. 9.120. — л. 9.121. аг/10. 9.122. — ггазЬ. 9.123. — л. 4 24 15 3 9.124. ла" гйп †. 9.125.
1/105. 9.126. бл.а . 9.127. †(2 — ъ~2). 2 2 12 гга 8 г з 3 321' 9.128. —. 9.129. — лйг/з. 9.130. —. 9.131. г/ —. Укааание. Пе- 16 21 35 )/ Зл рейти к цилиндрическим координатам. 9.132. аз/45. Указание. Перейти к сферическим координатам. 9.133. лзаЬс/4. Указание. Перейти к обобщенным сферическим координатам по формулам: х = = от соя гггсовд, у = Ьт вгпг/г соя В, з = стяги О. При ятом Х = аустз сову г 19 т ) О, 0 < ьг < 2л, — — < 6 < — ) . 9.134. — лаз. Указание. Перейти к цилиндрическим координатам.
9.135. ла /3. Указание. Пез 3 9 рейти к сферическим коорлинатам. 9.136. М = 4л7оа г 7ср = 70. з 1 з 3 1 з 9137 М =- 7оя'Н 7р =-70 9138 М = — '7оа' 7гр = 12л70. 5 ' Р 5 24 31 з 93 4 г 9.139. М = — л7оа, у,р —— — уо. 9140. М = — л7ой Н, 7гр —— 5 ' '" 140 15 = — 'уо 9141 М = — лз7ойз, 7гр = — ггуо 9142. ~0, —.а, — Ь~.
2 9.146. О, О, -В). 9.147. — 7аЬЬ ~ — + — ) . 9.148. -и7ННг. '5 ) 21 г5 3) б 4 в 2луазЬ /Ь Ь 9.149. -л7ойз. 9.150. 1п 1 — + )( — — 1 9 г/Ьз — аз 1 а Гг' аз < Ньютонов потенциал тела Т в точке Мо(хо, уо, зо) — вто интег/х г1у гЬ - =/// р,,*) где 7(х, у, з) — плотность, т т 416 Ответы и указания /// »ьт»1У»1 (х — хо)г+(у — уа)г+(з — зо)г. Имеем: (/= «! ! ! г г =,/ц // «1х «1у»Ь Перейдем к цилиндрическим координатам: П /е+7+*' ь»»«ь>,Гь — »т С«= « = 2«»1д»(г — 1г! -+ — г — 1 9.151. 2л-«1»Н (з/Йг+ Нг — Н), где Й вЂ” постоянная закона тяготения. /Нг+ Нг < Приняв вершину конуса за начала координат, а его ось — за ось Ог, г получим уравнение конуса в виде х +у = — г . Вследствие симметрии г г Н г результирующая сила притяжения будет направлена вдоль оси Ог и вы///л «1х г)у г1х /// г «1х «19»Ь Разитсн интегРалом Я; = к'«Д/ з —— к'«Д ~, г т Перейдем к цилиндрическим координатам: гл я н о а «н«я« 9.152.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
