341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 65
Текст из файла (страница 65)
†«)ьа4 9 153 ,«лНК» 9 154 1/4 9 155 »г/2 9 156 4л. 15 10 9.157. 1. 9.158. Расходится. 9.159. Сходится прн гь > 1. 9.160. 4. 9.161. —.г. 9.162. л/2. 3 2 9.163. Сходится при г» < 1. Указание. Изолировать прямую у= ! в — » /«»гх'гу / / ььу = х узкой полоской и положить О = 1пп »1х Д (х — у)в »-»а « / (х — у«в а а а 9.164.
Сходится при гг < 3/2. 9.165. 15/4. 9.166. 3/7. 9.167. /(ха). 2 2у+ 1 2Р— 1 9.168. — !п(1+ у ). 9 169. ебпу(1+ у) — вшу(у — 1). У У+У у у л' у 9.170. 2уе " — е " — г~х е "* «1х. 9.171. /(х(х — у) сазху — гбпху)»1х. а а 9.172. х(2 — Зуг)/(ху) + — / — ~ + хгу(1 — уг)/'(ху). 9.174. Е' уг 1, Е Г = — (Š— Г), Е' = — —.
Указание. При вычислении Е покай ' «»(1 — йг) «с ' Ответы и указания 417 т/г ;г/г 1 зать, что (1 — Й яш чг) 'г Жр= / (1 — /с я!лги)'ггйр, для !сг / о о 1 чего использовать следующее тогкдество: (1 — Й~ я!и р) ~гг = х !г х(1 — (гг яшг ~р)1!г — — — (яшусоягг(1 — уг яшг р) г/г) 1 — 1г бр 2 1 9.175. агстб-. 9.176. — 1п2. 9.178.
Г(у) сходится неравномерно на 9 2 [уы уг], если этот интеграл сходится при любом у Е [уы уг], но существует я > 0 такое, что для любого В > а найдется у = у(В) Е +оз Е [уы уг], для которого Дх, у) Йх > я. 9.179. Сходится равномерно. в 9.180. Сходится неравномерно. 9.181.
Сходится равномерно. 9.182. Сходится равномерно. 9.183. Сходится неравномерно. 9.184. Сходится равномерно. 9.185. Сходится неравномерно. 9.186. Сходится равномерно. 1 д д а о 9.188. — 1п —. 9.189. агс!8 — — агстб —. 9.190. агс!д —. 9.191. !и (1+ о). 2 а гя гп д — зг 4 9.192. — ~ — е ~! т!.
Указание. Продифференпировать интеграл по 2(/у д1г б з параметру 7 и решить уравнение — = — — г'. 9.193. — 1п (о + Я+ аг). дб 2-,' ' 9.194. я(Д вЂ” аг — 1). 9.195. х !и 2 Глава 10 10.4. у(!и [1 — хг] + 1) = 1. 10.5. у(1 + х) = 1. 10.6. у = 2 — 3 соя х. д7' дУ , д( дУ 10.7. 1(х, у) = О, — < О-шах, — > О-ппп.
10.8. — +Дх, у) — = О; ' дх 'дх ' ''дх ' ду а) у+ хз + Зхг = О; б) у = !п(х+ чтя~+ 4) — !п2. 10.9. х + у = = ху'. 10.10. ху'+ у = О. 10.11. у' = ус!гх, 10.12. 2хуу' = хг + уг. 1 10.13. уу' = х. 10.14. ху'+ 2у = О. 10.15. у' = —. 10.22. у — хг = 4йуг' = С. 10.23. уз + хз — Зх = С. 10.24.
уг + хг = С. 10.25. у = Схг. 10.26.у = С(х+1)е *. 10.27.агс!бу — агся!пх = С; х = х1. 10.28.е*+ + е " = С. 10.29. у я1п у + сову — х соя х + я!их = С. 10.30. агссбу + 418 Ответы и указания + — )п(1+хг) = С. 10.31. у .= Се'~' *; х = я1. 10.32. у = 1 2 ж г = СЯ+ег*. 1033.
(1+ е*)гГВу = С. 1034. е* — -ег" — 2!гг)1+ у!— 2 (у — Ц' С /Г+ *' = С, у = -1. 10.35. у = . 10.36.,/у+ 2 ' х+ Д+хг +х(1 — !пх) = С, у = О. 10.37. Г — х = С, х+ у = (2)г+ 1)я, х+у 1 1 х Е К. 10.38. 4х+2у+1 = Се'". 10.39. — агсг8-(4х+у+ 1) — х = С. 2 2 1 я 10.40. (х+ С) 18-(у — х — 1) — 1) = 2, у — х — 1 = — + 2!гт, х 6 К. 2 ) ' 2 1О 41 42-2*-7= Е '.
1О 42. 31 Г4 . — Р 4 1 4 2 = 3 474* — р 4 1 *4. — р 4 1 — 2 1 +х+С 4х — у+9= О, 4х — у — 7= 0, 10.43. хг — уг = 1. 10.44. — х 1 2 х (хг + у ) + 1 ~ — '~ = 1. 10 45. у = як х. 10 46. у = ях 772 !п ~~( + С. ~х 10.47. у = 2х(агсгВСх+ ггlс), у = Ьгх, Й 6 К. 10.48. т, — 2ху — уг = С. 10.49. агсяп — — — ~/х — у — !п(х! = С, у = ях. 10.50. хев'* = С, у х х х = О. 10.51. е"lг = Су, у = О.
10.52. е' = Сх. 10.53. 1п— = 2агсс!8(!п)х!+С), у = хег~", (г 6 К, 10.54. у = хагсяпСх, у = Ьгх, й 6 К ! (0). 10.55. у = хяп (1п )х! + С), у = ~х. 10.56. у =- = С(уг — хг) у = ~х. 10.5Т. уг = -4ха+ Сха(рз — 4хг) у = — с74х. 10.58. хг — ху + уг + х — у = С. 10.59. х + у — 1 = С(у + 2)г, у = — 2. л+'2 10 60. х+2у+3!п!х+ у — 2! = С, х+у = 2. 10 61. у+2 = Се "" ~а *-г. у — 2х у+х С 10.62. яп = С(х+ 1). 10.63. !п — — — 1 = . 10.64.
у = х+1 х+3 х+у г = хе' '. 10.65. !22!у)+2~/х/р = 2 1066 у = -(хг — 1) 1067 у = 2 тг2 = е * С+ — ). 10.68. у = Схг — х . 10.69. у = япх+ Ссовх. 2) -гя зж С 10.70. у = (х+С) (1+хг). 10 71. у = Се г*+ -ег*. 10.72. у = х !п х+ —.
5 х 10.73. у = (х+1)г(е*+С). 10.74. х = Су+-,у', у = О. Указание. За- 1 2' дх х+у дх писать уравнение в виде — =-; оно линейно относительно х и —. !у' 10.75. х = агсгВу — 1+ Се ""аг. 10.76. у = хяпх+ Сх. 10.77. у = = е*(С+)п)х!). 10,ТВ.д = х(Се * — 1). 10.79.х = Су+1п у. 10.80.х = Ответы и указания 419 , р = О, р = 1. 10.81. х = Ср+р р = О. 10.82. яп р = Се *+ 1+ Ср р — 1 +х — 1. Указание. Положить япр = з.
10.83. р = ашх. 10.84. р = 1 1 = ег' — е*+-х+ —, 10.85.х = р!пр+ —. 1086.р = е 2' С+ -хг 2 4 р (, 2 ) ' У=О. 1041.9=,У=О 100В.У=) * Во — 110*) У=О С вЂ” х япх 1О Ву у =, у = О. 10 90 Е = С "'" — 2)0 у-.'-1) У 2 *ОС' Нх х'совр+ яп2р н не. Записать уравнение в виде — = 10.91. рг = хг— 4(р 2х — 1+С /Гхг — Ц. 10.92.хр(С вЂ” !игр) = 1. 10.93.хг(С вЂ” сову) = р, р = О. СОВ 4 2 1 1094 рз . 10.95.
хг = 1096 хг+хр+рз С. 3 2е 4 ' р+Зр2' 10.97. 5хгр Вхр+ х+ Зр = С 1098 хз + Зхгр 2хрз рз 2 3 хв 10.99. хр — — + — = С. 10.100. — + — — 2р = С. 10.101.,/хг — рг + х р р рг 1 + хр — — = С. 10.102. хг + ре * = С. 10.103. хг + ре'/а = С. 10.104. хасовгр + рг = С. 10.105. хв1пр + рсовх + 1п(х/р! = С. 2п+ 1 10.106. Вся плоскость Охр. 10.107. р ~ х. 10.108. р ~ Вг. 10.109. х > рг. 10.110. р = О. 10.111. р = 1. 10.112.
р = -х. хг 10.113. р = — . 10.114. х = 2р + брг + С, р = рг + 4рз; р = О 4 (особое решение). 10115. х = 2~/р~+ 1 — )п(1+ з/р~+ 1) + 1пр+ Су р = рт/1 + рг; р = О (особое решение). 10.116. х = е" +С, р = (р — 1)еу. 1 10.117. р = Сх + -(Сг — хг), р = — хг (особое решение). 10.118. х = 3 — рз р+2 р — р4 — +С 10 119 х — рсовр р — р2 совр рв)В)р 4 2 — совр+ С. 10.120.
х = 2р — 1пр, р = рг — р+ С. 10.121. х = Ср+ Сг, г 2 х = — — рг (особое решение). 10.122. р = -Схг+ —, р = хх (особые ре- 4 2 2С' С 2 2С 3 1 С шения). 10.123. х = — — —, р = — — —. 10.124. х = — р — -+ рг рз' „, р2 ' ' 2 (1 р)2' С,г р = — р +; р = О, р = х + 1 (особые решения). 10.125. х = 2 (1 — р) ' 2 1 = Ср — 1пр — 2 р = -Срг — р. 10.126. р = Сх — — рг = — 4х (особое 2 С' 1 решение). 10.127. р = Сх + С + з/Су р =— 4(х + 1) (особое решение). Ответы и уиазанил 10.128.
у = Сх — ес, у = х(!пх — 1) (особое репкнне). 10.129. у = = Сх+ соя С, у = х атсяш т+ Д вЂ” хг (особое решение). 10.130, Линейное; у = иш 10.131. Однородное; у = их. 10.132. С разделяюшимисл переменными. 10.133. Уравнение Бернулли; д = ио. 10.134. Линейное относительно т; х = иш 10.135. Уравнение в полных дифференциалах. 10.136. Однородное; х = иу. 10.137.
Уравнение Бернулли относительно х; х = иш 10.138. Приводяшсеса к уравнению с разделиюшимися переменными; и = д — х. 10.139. Линейное; у = ио, -г2 г 10.140. Уравнение Бернулли; у = ио. 10.141. у = х — 2+ Се х г 10.142. 1п~у)+ — = С, у = О. 10.143. — хгсоя2у+ х = С. 10.144. у = у ' 2 1 1 7 = О. 10345 у = гс ": 3* З~* 10.146 * — 3 (х + С) соя х ' 2' + С уз, у = О. 10.147.
)и )х)+е*~" = С, х = О. 10.148. 1+у = С(1 — х ), 1 х = х1. 10.149. ха — хгуг + у" = С. 10.150. у 1+ )их+ Сг у = О (х > 0). 10.151. (Зх+ 2у — 1)(х — 1) = С. 10.152. атссб — =. :с =- )п ь/х + уг+ С. 10.153. 2усоях+ соя2х = С. 10.154. х + х!пу— — сояу = С. 10.155. у = Сх — !пС, у = 1+ !пх (особое решение). 10.156. х =,, 10.157. !п(х( — соя — =С.10.158. с" = х-х у Се 'У+2 — уг' х !пСх.
Указание. Положить г = е ". 10.159. х = Суг — уг(у+1)е у = О. 10.160. х~/1+ уг — ябп у = С. У к а за н и с. Записать уравнение в Лх ух соя у у виде — + = =-. 10.161.х+атссд — =- С, х = О. 10.162.у = Ф ! + у;/1+ уг х С+!и!яшх! ~ хг хг ;г — с!8 х), у = О. 10.163. д = Сг+ Сх — —, у = —— (особое решение). 10.164.
(х+уз) =. С(уг — х), х = уг. Указание. Поло~ьить у = ггдг. 10.165. у = ~!п(хг — 1). 10.166. уг = 4х и хуг = 4, 10.167. у = х . 10.168. (х+С)г+уг = аг. 10.169. уг = х2а(х+С). х — 1 г 10170 у =2сЬ вЂ” 10171 уг * 10172 у Ох+9 10173 у 2 ха+3 = 4(х — 1) и — + — ' = 1. 10.174. д' = — (х — и). 10.175. т == 2ет!". (х + 1) уг , 2 4 8 ' 3 10.176. хг + уг = 2у. 10.177. х = у(3 х (п у). 10.178. уг = 2х + 1 — ег*. 1 г г'! 10.179. у = — — хг.
10.180. х = х ( — — у). 10.181. у = хЯхг — 1. х у Ответы и укэзанял 421 10.182. г = |р + †. 10.183. 2хз + Зрз = Ст. 10.184. х + 2д~ = Ст. 2 С 10.185. у =- —,. 10.186. х + ут = С. 10.187. Т =- а + (То — и)е 10.188. Через 40мин. 10.189. ы = 5 (3/5)'!ьто (об/с); через бмин!Вс. йо Указание, Уравнение имеет вид — =.
— Йы. 10.190. Через 1575лет. й 10.191. За бмин 5с. Указание. Уравнение имеет вид гоо(5) й = — Я(8) г1л, где ю — плошадь отверстия, о(8) — скорость истечения воды, Ь вЂ” уровень гкидкости, 5(5) — площадь поперечного сечения сосуда, 1 -- время. 10.192. 0,0878. Укааание. Уравнение имеет вид йз = — кЯ йь 10.193. 50 с; — 15 м. 10.194. г — 0,0011 с. гЬ Указание. Уравнение имеет вид т — = — ро-'. 10.195. 0,5кг. й 10.196. а) 56,5г; б) 7,84ч.
10.197. 0,06%. У к а а анис. Уравнение имеет вид (0,01х — 0,0004)1500й = — 10800 0,01дх, где х — объемная доля (в %) углекислоты в воздухе в момент времени !. 10198. 1 = з,(Ла!п~А — Ьысоаыу + Ьые ~ '). Е ,-вг 10.199. у' < хт. 10.200. у' > О. 10.207. д" = О. 10.208. ', — = Ят.
„т 10.209. у" + д = О. 10.210. дгв = О. 10.211. у = (С1 + агсьВх).г ,3 — !п~/1+х + Сз. 10.212. у = — — еЗпх+ Сгх+ Гз. 10.213. у = — !и !х(+С1 ха+Саха+Сзх+С1. 10.214. у =- — хз 1и )х)+-хз+С1х~ + б ' 2 3 х' + Сз т. + Сз. 10.215. С1 у = Сг х — !и ~С> х + 1~ + Са, у = — + С, р = С. 2 10.216.
у = С~ ГВ (С1х + Сз), 2С1х + Сз = !и, ', у(С вЂ” х) = 1, д — С~ 1 д+С, ' у =- С. 10.217. у = С~ тбп х+ Ст — х — — аш 2х. 10.218. у = С1 хз + Ст + 2 + с'(х — 1). 10.219. 4С1у = 4+(С~х+Сз) . 10.220. у = х+С 1п !у!+С, 1 !х — С1! р = С. 10.221. р =. С1агсгВС1х + Сз, у = —, !и — + Ст, у = 2С~ !х+ С1 ~ 1 з С вЂ” —. 10.222. Сту = (С;ха + 1)агсСВСгх — С1х+ Гз, 2у = !слх, + С ех (5 6 К).
10.223. у = —, е"'~' х — —, +Са, д = — +С. 10.224. у = = — +С !и!х!+Съ 10.225. р = С (х~/х'" — 1 — !п)хь/хз — Ц) +х~+ С~, х у = С1(хД вЂ” хт + асса!пх) -!- х + Сз. 10.226. д =- С1(х — е ) + Сг. 422 Ответы и указания 10 22Т. 2У = Су сов 2х + (1+ 2С))хг + Сгх+ Сз. 10 228. 2У = Сзхг— — 2Сг (х+С) ) 1п !х + С) /+Сгх+Сз. 10 229.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
