341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 66
Текст из файла (страница 66)
У = Сз — (х+ С) ) 1п 1х + Су ! + + Сгх, у = С)х+ Сг. 10.230. х = 2С)р — (иу)р! + Сг, у = С)р р; 2 — С *; у = С. 10231. = 3 — )00 — 3С )С733 С 1- С . С,у' у ! 10232. = С 3 . 10233. С,у.,'. 1 = 3 3)С, .,'.С,), С, С)гу — 1 = яп (С)х+ Сг), 2у = (х + С)г, у = О. 10.234. 1п у 1п у — С) = Сг 18 (С) х + Сг), 1п = 2С) х + Сг, (С вЂ” х)!п у = 1, у = С. 1пу+ С) 1 10.235. сс8у = Сг + С)х, у = С. 10.236. у = 1+ , у=С. С)х+ С, з г х 10 23Т. у = — (хз ) бхг) ЬС)х1п)х)+Сгх.) Сз. 10 238. уг = — -) С)х .) + Сг. 10.239.
у = С)х+ —. 10.240. у = Сгхес'* — (Сг/С))е 3*+ Сз. Сг 10.241. у = Сгхе с'*. Указание. Уравнение однородно относительно 1 2 ьс с з3м/2у У, Уу, У'! 10 242 У =Сге з, У = О 10.243. Уг=Сгхз+Сг, У = О. 10.244. у =, у = О. 10.245. у = (х — 2)е*+х+3. 10.246. у = Сг созг (х+ С)) ' х г 3 . 1 2г 16 — — 1п х+ — хг — 2х+ —. 10.247. у = -хгзс'2х ив —. 10.248.
у = 2 2 2 5 5 /у вт = 21п)х+ Ц вЂ” х+ 1. 10 249. у = — 1п)х — 1!. 10250. (и(с8 ~-+ — )( = ~г 6) = 2(х+ 1). 10.251. у = 18х, — — < х < —. 10.252. у = е* Тг. 2 2 10.253. (3 — х)уз = 8(х+ 2). 10.254. у = 1+ япх. 10.255. у = 1 — еС, у = -1 + е *. 10.256. у = 1 — х. 10.257. х = С е)' — 2р — 2, )з) )3) 3 3 3 у = С)(р — 1)ев — р +Сг. 10.258. х = — + — + С), у = — + — + Сг.
2 4гг ' 4 4гз 10.259. х = (Р+ 1)ев + С), У = Рте)'+ Сг. 10.260. х = ЗС)Рг + +1п)р( + Сг, у = 2Сгр~ + р; у = С. 10.261. у = х!з)совх. 1 10.262. а) у = — с1)(С)х+Сг) при ус ) О; 6) (х+ Сг) + у = Сг С! при у" < О. 10.263. а) 4(С)у — 1) = Сз~(х+Сг) при ус ) О; б) х = — х С С) Г у х(3 — а)из)+Сг, у = — (1 — соаФ) при у" < О. Указание. ) 1 — ф 2 ',) )/С,-у вычислить с помощью подстановки у = С) яп —. 10.264.
у = а сЬ ~ — ). 2 уа) Ответы и указания 423 /Р /ДГ 1 10.266. и = 1/ — й ~ — !), Й 1, т ) 1 Н 10.265. ел/", где а = созх/а' Чд т //кг '1 х = — !псЬ ~ — !). 10.267. 1,89с, 16,6м/с. Указание. Использо) вать ответы к задаче 10.266, положив Р = тд. 10.268. Время подъема /гп ГГ т / йеог З1 Т„= / — агсь8оо)~ —; высота подъема Ь „„= — 1п ~1+ — ~; "= 159 Ч:д' 2й (, тд)' тд 1 /т скорость спуска Ъ;„ = ио г; время спуска Т,„= — 1 — х ту+био' '" 2~/19 з/т19 9+ 1/ ~сп х !и . 10.269.
1,75с; 16,3м/с. Указание. Использо/тд — ч%Ъ;„ вать ответы к задаче 10.268. 10.270. х = т' + — !г. 10.271. т = г о ! хог — — 1г Т = хог~/ —. 10.272. х = — — + ио) !и — г!1; тхаг '1! й ' 2 ),р(1) о дг ио х = — — + — ((1 — аа) !п(1 — ай)+а!), х(10) = 0,54 им, х(30) = 5,65 им, х(50) = 18,44 ам. ) Н / Н, / 2ЛЛ лН'1 10.273. ~ — %(Я вЂ” а + — „; 1- — ' <.— ~/29Л ~ 2 (, Н) 4) 10.274. -116ч. Указание. Использовать ответ к задаче 10.273.
а / 1 гх11ть 1 гхз1-ьз 10.275. 11,18 им/с. 10.276. у = — ~ — ~ — ) — ~ — ) ) + 211+1 а 1 — й а) Йа , !г л 4 5!4 з + —, гле Й = — ( 1. 10.277. ЕХу = — '( — — — — ), 1 — !сг' и 4~, 4 6 96)' 5ИЧ „Ч /!г Е!у,„=- — —. Указание. Е!у" = — — — хг, где Š— мо- 384 2 1, 4 дуль Юнга, ! — момент инерции поперечного сечения балки относи- /Р!г !з; Р з з Р!з,!4 тельно оси Ох.
10.278. Еуу = ~ — + — ) х — — — —, ~,2 6) 6 24 3 8' Р!з, Р4 Чхг Е19 „=- — — — —. Указание. Е!уа = — Гх — — где Š— модуль 3 8 2 ' Юнга, ! — момент инерции поперечного сечения балки относительно 3 Ч(! — х)г оси Ох. 10.279. Г = — Ч!. Указание. Е1ук =- Р(! — х)— Р(! — х)з ч(! х)4 /Р!г Ч!3 '~ Р!3 Ч!а Е!у = — — + ( — — — ) х — —, + —, где Š—— 6 24 (, 2 6) 6 24' Ответы и указания модуль Юнга, 1 — момент инерции поперечного сечения балки относи-' тельно оси Ох. 10.281. у = Сгеви+ Сге*.
10.282. у = Сгег*+ Сге соа х абп х /1 1+х 10.283. у = С1 — +Сг —. 10.284. у = С1 ~ — х)п — — 1 +Сгх. х х (2 1 — х С С 10.285. у = Сгх+ — + —. 10.286. Линейно независима. 10.287. Лих хг нейно зависима. 10.288. Линейно независима. 10.289. Линейно за- висима. 10.290. Линейно независима.
10.291. Линейно независима. 10.292. Линейно независима. 10.293. Линейно зависима. 10.294. Линейно зависима. 10.295. Линейно независима. 10.296. Уи + у' = О. 10.297. Уи — 4У'+бу = О. 10.298. Уи — — у'+ — у = О. 10.299. Уи' — уи = О. х хг 10.300. Уи' + у' = О. 10.301. Уи' — уи = О. 10.302. Уи — 8У' + 15У = О. 10.303. у'и — 2уи+ у' — 2У = О. 10.304. г Из равенства И'(хо) = О следует, что однородная система линейных алгебраических уравнений с неизвестными а1, аг, ..., аи агу1 (хо) + агуг(хо) + ..
+ аиуи(хо) = О, а191(хо) + 122У2(хо) +. +аиу„(хо) = О, а1У1 (хо) + а2уг (хо) + ° ° + 1гиуи (хо) — О 1и-1) 1и — 1) (и-!) у1(х) уг(х) У1(х) Уг(х) уи(х) у.'(х) у у = О. Указание. Всякое 10.305. у Р1 (х) уг (х) . Рй (х) имеет такое решение а',, аг, ..., а„*, что не все а,' равны нулю. Функцня у(Х) = а',У1(Х) + агуг(Х) + ... + а„'уи(Х) яВЛяЕтСя РЕШЕНИЕМ даиного линейного однородного уравнения и, как зто следует из равенств (*), удовлетворяет начальным условиям у(хо) = О, у'(хо) = О, ..., Уи 1(хо) = О.
Но таким же начальным условиям удовлетворяет и функция у: — О, тоже являющаяся решением данного уравнения (функция у = О есть решение любого линейного однородного дифференциального уравнения). Отсюда на основании теоремы Коши о существовании и единственности решения заключаем, что а*,у1(х) +... + а'„уи(х) = О на (о, 5), т,е. система функций у1(х), ..., Уи(х) линейно зависима на (о, Ь). Но тогда вронскиан И'(х) втой системы равен нулю всюду на (а, Ь), что и требовалось доказать. )> Ответы и указания 425 решение искомого уравнения вместе с функциями у»(х), уз(х), ..., у„(х) образует линейно зависимую систему.
10.306. р = е*+2соях+Зяпх. 10.30Т. р = с*+ 2ез*+Зев*. 10.308. у = 1 = С»хз + Сзх + -х. 10.309. у = С»ез* + Сз япх + Сз соях + ез'. 2 10.310. У = С»е*+ Сзх — хз — 1. 10.311. У = С» совх+ Сзхсовх— — япхсоях. 10.312. у = С»ез* + Сзе*+ 5х+ б — е~«. 10.313. »/ = х = С» + Сз якх + Сз соя х + -е* — яш 2х. 10.314. р = е"*(1 + (1 — й)х). 2 10.315. рн — у' — бу .= О, у = С«ез*+Сзе з'.
10.316. у" — 2у'+у = О, у = = (С» + Сз х) е*. 10 317. у" — бу + 13р = О, у = (С1 соя 2х+ Сз яп 2х) ез'. 10 318. у"' — бу" + 12р' — 8р = О, у = (С1 + Сзх + Сзхз)ез* 10.319. угн — 8у" + 1бу' = О, у = С1 + (Сз + Сзх)е«*. 10.321. у = С»е<«ез>* + Сзе<»» ез~«. 10.322. У = е з*(С» сов2х + Сзвш2х). 10.323. у = ез*(С» + Сзх). 10.324. у = С1ез'+ Сзе «'уз.
10.325. у = х, хк = е* (С» соа — + СзЯп — ). 10.326. У = е *У~(С«+ Сзх). 10.327. У = 2 2 = С«е* + ез*(Сз сов Зх+ Сз вшЗх). 10.328. у = С» соя х+ Сз яшх+ Сз соя «/Зх+ С» я1п «/еЗх. 10.329. у = С»+Сзх+(Сз+С»х)е *. 10.330. у = С«+Сзх+Сзе*+С»е 10.331. у = С1 соя х + Сз яп х + х(Сз соя х + С» яш х). 10.332. у = = (С»+Сзх)ез*+(Сз+С«х)е з*.
10.333. у = С«+Сз соя 2х+Сз яш 2х + + х(С«соя 2х+ Сз яш2х). 10.334. у = С» + Сзх+ Сзх + ез*(С» + Сзх). 10 335. у = (С» + Сзх) е* + (Сз + С»х) соя х + (Ся + Свх) яп х. 10.336. у = С«+ Сзх+ Сзх + С«хз + е *(Сз + Свх). 10.33Т. у = е*. 10.338. у = (7 — Зх)е* з. 10.339. р = 2+ е *. 10.340. у = яЬх. У к а- 5, 1зж ванне. Начальные условия: у(О) = О, у'(0) = 1. 10.341.у = -е' — -ез*. 2 2 10.342. у = С,е *+ Сзе з'+ (е * + е з*) )п(е*+ 1). 1 10.343.
у = (С» — Н«)я»пх)) соя2х+ Сз — х — — сгбх яп2х. 2 10.344. у = (С» + Сзх + ьу4 — хз + х агсяп — 1 е*. 2/ Зз 10.345. у = С» + Сзх+ -х (пх — -х е з*. 2 4 10.346. (Ахз + Вхз)е»*. 10.347. х(Асоя4х+ Вяп4х). 10.348. Ах + + Всов8х+ Сяш8х. 10.349. (Ах+ В)яп2х+ (Сх + В)соя2х. 10.350. (Ахз + Вх)е«*. 10.351. Ахз + Вхз + Сх. 426 Ответы и указанил 10.352. е*((Ах+ В) сов 2х+ (Сх+ П) сАп 2х). 10 353. хег* ((Ах + Вх + С) сов Зх + (Вхг + Ех + Р ) вАп Зх) . Х1 хвЬХ 10.354. у = Сге' + (Сг — — ) е ". 10.355. у = Сг сЬ х+ Сг вЬ х+ 2 2 10.356.
у = С4е'+ Сге 4* — — е 4* ~ — + — ) е *. 5 зб 36) 1 10 357. у = Сзе™ + Сгез* + -(5 сов Зх — сйп Зт). 6 (пгг — иг) с4п и,х + 2ти сов их 10.358. у = (Сг+Сгх)е'"*+ 2 2 2 ( 2+ пг)2 10.359. у = (Сг + Сгх)е™М + — совтх. 10.360. у = Сг сов х + 2т2 + Сгв|п2х+ х(ха!их+ совх). 10361. у = Сгсоз2х+ СгеЗп2х+ 1 +-(1+хвш2х). 10.362.у = Сге*гг+Сге *12 — хз. 10.363.
у = Сге 2* + 8 1 х + С е-з* ! е-г+хе-2* 10.364. у = С -!-Сгез*+ — 'ез*+2Х+Зхг 10.365. у = Сг + Сгх + (Сз + х)е * + хз — Зхг. з; 10.366. у = Сг+Сгх+Сзх + — ) е*. 10.367. у = Сг + Сгх + 6) х +Сз совх+ С4 в!их+ — (хг+ 2х — 12). 10.368. у = Сгег + Сге + 12 х х + Сзсозх+ С4сАпх+ — (х — З)е* — — в!пх. 10369. у = С4 + Сгх + 8 4 4 / 2 + Сзхг+Сзхз+ — + ~ — — 4х+ Сз е'.
10.3ТО. у = ег* ' — 2е +е — 1. 24 з,2 х 7 10.371.у = е* — е *+х . 10.372. у = — +сов2х+ — тв!и2х. 10.373.у = 4 16 = 2 сов х — 5 сйих + 2е*. 10 374. у = 2хе*. 10.375. у = сов х + 2 сАи х + + е * + Зе* + 2хе*. 10.376. у = е*((2х — и — 1)в!пх — тсовх). 10.3ТТ. у = С4 сов!п)х)+ Сгв!п!п)х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
