341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 63
Текст из файла (страница 63)
— = х" ( — +!пхсов!). гх-з г сЬ су сй с!с сЬ 2,гс(х у) ди х(г -!- 2у!г) у„„,с д, 8.116. — = „. 8.117. — = — ' . 8.118. — = ' с!! хг Ь уг ' с(З Зхг дх ех с!г ех+е"(х +1) дз у сЬ 8.119. — = е'+ез' с!х в*+ ез дх уз+ (х+1)г' с!х у(1 — 2(х+ 1) ) дз /'их у!пй дг сс!по иу'з . 8.120. — = 2и~ — — — !, — = 2гс~ — + — ).
уз+(х+1)г дх 1о хг ) ду ( х о) 8.121. сlг = ((2ио — ог) вшу — (и — 2ио)ус4п х) с!х+ + ((2ио — ог)х сову+ (гсг — 2ио) совх) с!у. дз 2у, дз 2т, 8.122. — = 2з'Д(и, о)— , („(и, о), — —;7', (и, о) дт. " ' (х+у)г " ' ' ду (х+ у)г дг 2х г — ЗД(ии ). 8.123. — =-, с„'(и, о) + угЯ(и, о), дх .-у'"' "' ' ду = 2хуД(и, о) — — Д(и, о). уг 8.124.
Нз = (5х~Д(ои о) — у(„'(гс, о) всп (ху)) с!х— — (х вш (ху)~„'(и, о) + 7Д(и, о)) с!у. Ответы и указания 405 8.125. дз = — „~ сов — 7,(и, и) + — 1( ив Д(и, и) (удх — т,ду). у у 8.126. ди = (2в7,'(т, у, г) + 2в(„'(т, у, з) + 211"'(и, у, г)) да + + (211,'(х, у, г) — 2Ц„'(х, у, я) + 2в7"'(т, у, з)) д1. 8.127. — = тт (т|, тг, хз, хч) + 7 (т|, хг, т|, я|)д (ты тг)+ + те,(н|, хг, тз. зс|)(й~,(х|, яг, тз) + 5„(т|, тг, хз)д|ы(н|, тг)), ди (г|, хг хз тч) + ~',(хы тг, хз, тл)д',(ты хг)+ + 1„(г|ы хг тз хч)(!л,л(|е| Яг тз)+ а',„(хы хг, тз)д'„(та, т )). г и 1 да 8.132. —, = У~7'„"о(и, и) + 2Д,(гл, ю) + гДоу(и) и), дт г = ху)„"„(и, и) — — ~,",„(и, ю)+1„'(и, и) — — Д(и, и), — = нг 7„''„(и, и)— у 2т ди — — гУ,".о(л, и)+ —,,Д'.(гл, и)+ — з~!(и, и) 8133 = У."в+У.о Р'„+ дги + твл Р', +т'," Р',Р'„+~,'Вг,"в.
8134. д г = Л| ру таит+У з гааз+ 2УЛВг + ги + 2угу(з+ 2У зЛз = т угаг+ 2х гЛз+т з увоз ° = т У узз г г д' д тут'гг+ зуд 1зоз +нЛг + тгЛз+ 2хргйз + уз + гуз д д дя ду ' ' да да г — нуЛз + ЯУ 1гз + зу гУзз + УУз д д — т УЛз + * У" (зз + *1з ) ду дз В 137. |(г и = 4 (о (1) (т д|т + у ду + в |Ь) г + 2/ (1) (дхг + дуг + |Ьг).
8.138. дги = агЯ дтг+Ьгйг дуг+от (звз дзг+2аБЯ', д|в ду+2асГз ||Ь еЬ + + 25сД' дусЬ. 8139. дгз = (яп у 7о — 2ряптв1пу (е+уг в|и х х х 7',"„— усова Д) дтг+ (ияп2У До+2(ыпусовт — туяпхсову)Де— — уяп2т 1,"о+2(сову Д вЂ” япн Д)) дтду+(та савау 7'"„+2тсовт к ду у|ее' — нега х сову.у',",„+совах Д', — тяпу 7",,)дуг, 8.140. — =— дт:егегп — уег ду усов:| + яп(т — у) ду я+у — 1 д-'у дх в|и(т — у) — в1п.т ' ' ' |Ь х+ у+ 1' дтг 4(т + у) ду 1 + рг дгу 2(1 + у) . 8.143. — ' (а+у+ 1'ч' ' дт уг ' дтг у' ) В ответах и аадачал| 8.134 и 8.138 через 1,' н 1,", обозначены частные производные фвнипии Д(В||(и, у, г), Рг(н, р, т), л т(т, р, а)) по иерем<иным |о, иди ч я 406 Ответы и указания 11'у с(хз 1 дя 8.145.
— = 1, — 3 дх у=! дз хг(х+ г) ду зз + 2ху(х + 2) ~Г(и о) + 2у~Р(и, о) и у 1 с(хг у=1 3' у=1 дз уз(х+ г) — зз 8.146. — = . 46. У'„'(и, о) + 2х3'„'(и, о) дз =О, 1 1 8.144. дг 1 ду 2 дз 8.147.— дх Е„'(и, о) + 22Е„'(и, о) ду +2, о=х +У +2 хе*'1,',(и, о) дз яс„(и, о) Е'(и, о) + 22Е„'(и, о) ' гдеи=х+у дз 8.148. дх уу„'(и, о) + хе*')„'(и, о) ду у,(с(и, о) + хе*'Д(и, о) 2 4х — 2(1 + хгхг) с(у где и = уз о = е*'.
8.149. с(2 = . 8.150. Ня = у(1+ хггг) — х уг(я+ Зхг) с(х+ (Зус + хе'~У) Ну дг 2 — х дг 2у (,~„х . 8.151. — = — 8.152. дгг 2, ( 2) дг дг дг + + дхду (1-!-2)з дхг дхду дуг (х+у ! з цз' ВЛ53. ас з = г 2 з ((у — Ь ) ссх — 2ху йх йу+(хх — аг) с(у~), 8.157. — = г с г г 2 2 2 2 С"У 3 с12 5 с(гу 3 сР2 5 4х х = --, — = —, — = --, — = —. 8.158.11у = — — с1х, с12 = — Нх, 2' с(х 3' с1хг 8' с(хг 18' ' ' 5у ' 5з 4 г с(гу = — — (4хг+ Ьуг) с1хг с(22 = — (5зг — хг) с)хг.
25уз 25я 8.159. 11и = (у — и)с1х + (у — о) а!у с!о (х — и) с1х + (х — о) Иу х у у — х 2 с!~о = — с!~и = ((у — и) с)хг+ ( — о+ — х) ахну+ (о — х) Вуг). у)г дз 2 , дя дз с дз 8.161. — = иог+ иго, — = иог — иго. 8.162. — = — соя и с!)со, дх ' ду дх а ' ' ду с, = — я!пис!)со. 8.163. с(2 = е "((усово — ие4п о) с1х+(и сове+из!по) с(у). Ь 3 с)гу с(гу ВЛ64. 112 = — Зиос1х+-(и+о) ф.
8 165. — — у = О. 8 166. — +у = О. 2 ,уг ' Щ!2 с!йх с!гх,г 1 — еЗп 2!а 2 ди 8.167. — + = О. 8.168. т' = тг. 8.169. ю = г —. с(уз с(уг яод 2сг дт дз дг дг дгз дги 1 дги 1 ди 8.170. — = —. 8.171. — = и . 8.172. ю = — + — — + — —. 'до до' ' 'до дид.' ' ' д.г ггд~рг гдг дги 1 дги 1 дги 2 ди с!80 ди дю ВЛТЗ.ю — — + — — + — +- — + — . 8.174. — = О. дР2 Р2 д62 р2 п2 0 дфг Р дР Р2 дд до д2 дги! дги! 8.175. — = О. 8.176. — + = 2ю.
ВЛ7Т. с(х+ Ь, у+ й) = диг диг ди до Ответы н указания 407 = ху~+1сг/л+2ху6+2у66+х6~+66г, 8.178. Ь/(х, у) = — 6г+266+36г. 8.179. /(х, у) = 12+ 15(х — 2) + б(х — 2)г + 3(х — 2) (у — 1) — 6(у — 1)г + + (х — 2)з — 2(у — 1)з 8 180. /(х + 6, у + 6, х + 1) = /(х, у, з) + +6(2х+ у+ 3) + 6(х+ 4у — 2х — 1) +1(бз — 2у — 4) + 6г+ 26 с + 3(г + 66 — 266 В 181. /(х, у, х) =  — В(у+1)+4(з — 2) +(х — 1)'+(у+1)г+ (з — 2)г— — 2(х — 1)(у+1) — 2(х — 1)(з — 2) — 2(у+1)(з — 2).
ВЛ82. /(х, у) = 1+у -~- г 1 з + — (у' — хз) + — (у' — Зхгу) + о(рз), где р = Л/хг + уг. 8.183. /(х, у) = з з = ху+ — (хуз —.гзу) + о(рс), где р = л/схг+уз. 8.184. /(х, у) = 1— — (х — 1)+(у — 1)+(х — 1) +(х — 1)(у — 1) — (х — 1) +(х — 1)г(у — 1)+о(р ), ° ° 7 = сг* — — 1г+ (~ — 1)' сдлс сь, ю.*) = ь — 1) ~ ь — 1)— — -(х — 1)' — ~(у — 1)'+ '+ (р'), д р= ( — 1)'+(у — 1)г+ '. 2 2 2 1 2 г 1 8.186.
з = 1 + -(х — 1) — -(у — 1) — -(х — 1) — -(у — 1) + о(рг), 3 2 9 8 р = ~(-!) +Э-С . 83лт,.о„= -с,р * = с, у = 3 8.188. х „„= 1/64 при х = 1/4, у = 1/2. 8.189. змьч = -4/3 при х = О, у = — 2/3. В стационарной точке (2, — 2/3) экстремума нет. 8.190. з,„ы = 30 при х = 5, у = 2. 8.191. з ь, =- 10 — 18 1и 3 при х = 1, у = 3.
8.192. х,пь1 = -28 при х = 2, у =- 1; х„,„„ = 28 при х = -2, у = — 1. В стационарных точках (1, 2), ( — 1, — 2) экстремумов нет. 8.193. з ы = О при х = у = О. В стационарных точках ( — 5/3, 0), (1, 4), (1, — 4) экстремумов нет. 8.194. з„,;„= 0 при х = у = 0; з„,л„= 2е ' при х =- х1, у = О. В стационарных точках (О, х1) экстремумов нет. 8.195. х„, „= 2 при х = у = О.
8.196. и„о„= -14 при х = 2, у = -3, з = 1. 8.197. и „= 1/7т при х = у = з = 1/7. 8.198. и,„ы = 2эсс при х = 2'с', у = 2'!г, з = 2зус. 8 199. Уравнение определяет дзе функции, из которых одна имеет максимум (з,„,„= 6) при х = — 2, у = 1, другая — минимум (х„;м = — 2) при х = — 2, у = 1; з точках окружности (х+ 2)г + (у — 1)' = 16 каждая из этих функций имеет краевой экстремум х = 2. Указание. Указанные функции определяются явно равенством х = 2 х 16 — (х+ 2)г — (у — 1)г и определены только внутри и на окружности (х + 2)г + (у — 1)г = 16, в точках которой обе функции принимают значение з = 2. Это значение является наименьшим для одной функции и наибольшим для другой.
8.200. Уравнение определяет дзе функции, из которых одна имеет минимум (з„п„= 1) при х = О, Ответы и указания 409 ходит из одной среды в другую, должна находиться между Аг и Вм приа Ь чем АМ = —, ВМ = —, А|М = а сба, В1М = 61811. Продолсоя а соя/г а Ь жительность движения луча равна + . Задача сводится ог сова ог соз13 к отысканию минимума функции /(а„ф) = + при услои1 сова иг соя Д вин, что а18а+ 618~3 = с. 8.227. а = 17. 8.228.
1г . 1г..... 1„= 1 1 1 — — — У к а з а н и е. Найти минимум функции Лг Лг Л /(1ы1г, 1в) = 1г~Лг + 1ггЛг + . + 1~ьЛк при 1г + 1г +... + 1„= 1. х — х/4 у — х/4 г — 1/2 8.229. а) х — у — 2г + 1 = О, — —; б) т.+ег— 1 — 1 — 2 х — 1 у — я з — 1/е яа 1 -2 = О, = = . 8.230. —. 8.231. соза = —, 1 0 е 2Я ~/6 1 2 соя Д = — —, соя 7 = — —. 8.232. 4х+ у+ 2г — 78 = О. 8.233. а) 2х + /б' Я' х — 2 у — 1 г — 3 х — 2 + 7у — 5г + 4 = О, = — = —; б) х + у — 4г = О, 2 7 — 5 ' ' 1 у — 2 г — 1 х у — — в) э=О, — = — = — (вточке(0,0,0)); г= — 4, 1 — 4' '0 0 1 х у г+4 х — 2 у — 10/3 г+ 4 — = — = — (в точке (О, 0 — 4)).
8.234. 0 0 1 1 3 4 8.235. В точках (О, х2иг2, т2~/2) касательные плоскости параллельны плоскости Охг, в точках (х2, х4, х2) — плоскости Охг, в точках (х4, ~2, 0) — плоскости ОУЯ. 8.237. а) хсоззго+ Уз1п~Ро — гсба = О, х — то соя ьго у — го я1п иго г — го ссб а б) ах яка во — аусояоо + соз его з1п яго — ФВ а х — иосозоо у иоз1поо г — ооо + иог = аиооо, — — 8.238. созяг = а я1п оо — а соя оо ио 2Ьго Указание. Углом мелгду двумя поверхностями в точке аъ/а~ + Ь их пересечения называется угол между касательными плоскостями, проведенными к этим поверхностям в данной точке.
8.239. У к а з а н и е. По- верхности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их пересечения. 8.240. Изолированная точка (О, 0). 8.241. Узел (О, 0). 8.242. Изолированная точка (О, 0). 8.243. Точка возврата 1-го рода (1, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
