341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 58
Текст из файла (страница 58)
6.469. (О, 0) — точка перегиба; х = х1 и у = 0— з~~ асимптоты. 6 470 у~пах = у(0) = О, уплп = у( ~т/2) с , 7+ и '/2(Т-';хтс 1 ~ р 45 '/2(7-Л5) ) 2 9+ ~/45 / [ 2 ' 9 — т/455 точки перегиба; х = 1 и у = 0 — асимптоты. 6.471. (О, 0) — точка перегиба; х = — 2, х = 2, у = 0 — асимптоты. 6.472. У,п,х = у( — 3) = — 4,5, упоп = у(3) = 4,5; (О, 0) — точка перегиба; х = — ~/3, х = ~/3, у = х— 380 Ответы и указания асимптоты. 6.473. у,„;„ = у( — 1) = — 1/3; (- К4, — Я/б) точка перегиба; х = т/2 и у = 0 — асимптоты. 6.474.
у„,;„ = у(0) = — 1, (~т/3/3, — 1/2) — точки перегиба; у = 1 — асимптота. 6.475. (О, 0) и (сУ4/2, 1/3) — точки перегиба; х = — 1 и у = 1 — асимптоты. 6.476. у„„„= у(0) = 2, (х1, Я) - — точки перегиба; у = 0 — асимптота. 6.477. у;„= у(1) = — 1; (О, 0) и (2, 0) — точки перегиба. 6.478. у„к„= у(0) = 2, у„„, = у(х1) = 1/4. 6.479.
(О, 0) — точка перегиба; х = — 1, т = 1, у = 0 — асимптоты. 6.480. (О, 1) и (1, 0)— точки перегиба; у = — х — асимптота. 6.481. (О, 0), (х1, ~Я) точки перегиба. 6.482. (О, 0), (х1, хК2) — точки перегиба; у = 2х-- асимптота. 6.483. (О, 0), (х1, хК2) — точки перегиба; у = х — асимптота. 6.484. (О, О) — точка перегиба; у = — 1 — левая агимптота, у = 1 — правая асимптота. 6.485.
у„о, = у( †9) = 1; (О, 0)— точка перегиба; х = — 7/2 асимптота. 6.486. у „„ = у(0) = О, укк„ = у(2) = тз/Гб; ( — Я, — К2) — точка перегиба; х = ~74 и у = х— асимптоты. 6.487. у „= у( — ~т/б) = — 3/тз 22; (О, О) и (КЗ, 3/~/25)— точки перегиба; х = — 1/2 и у = х — асимптоты. 6.488. у;„= у(0) = 0; (х~/2, 2/~/3) — точки перегиба; у = х — правая асимптота, у = — х— левая зсимптота. 6.489.
( — К2, 0) и (-1, — 1) — точки перегиба; х = 0 и у = 1 — асимптоты. 6.490. унк „= у(1) = 1/~У4; (~У4, ~ф0,16) точки перегиба; х = — 1, у = 0 — зсимптоты. 6.491. у,„„„= у( — т/3) = О, у„,;„= у(т/3) = 0; (~/2, 1/т/2), ( — ~/2, — 1/~/2) — точки перегиба; х = = 0 — асимптота, у = 1 правая асимптота, у = — 1 — леван асимптота. 6.492. у;„= у(0) = О, у „„= у(хт/2) = 2; х = х1 асимптоты, у = х — правая асимптота, у = — х — левая асимптота.
6.493. у „„= = у(0) = 1, у„,ы = у(х1) = О. 6.494. у,„„„= у(0) = 2т/2, у„„„= /5а. = у(хт/2) = 0; (х1, 1) — точки перегиба. 6.495.у„о„= у~ — + 2Ьг = — т/2, ув,„„= у ~ — + 2йт) = ~/2; (т — + йя, 0 — точки перегиба, д е е. В.496. 6;, = д ( — ~в ) = —, у = у ( — +2~ ) 4 2 ' ~, 4 ~/2 Зл — — х .= — + уя — асимптоты, 9 6 К. 6.497. у„,ы = у(0) = О, 2 ' 4 ях ях у = — — — 1 — левая асимптота, у = — — 1 — правая асимптота. 2 ' 2 Ответы и указания 381 1 т 1 Зл г лт 6.498. у,„в, = у(1) = — + †, у„,„„ = у( — 1) = — — + †; ~О, †) — точка 2 4' " 2 4'~'2) х х перегиба; у = — + л — левая асимптота, у = — — правая асимптота. 2 2 /2хъ2 6.499.
у,„,„= у(1) = е, (, е'~т) — - точки перегиба; у = 0-- 1 1 асимптота. 6.500 упвх = у(1) ~ увив у( 1) = ' (О О) с т/3 '1 ~~/3, ~ " ~ — точки перегиба; у = Π— асимптота. 6.501 у ах = е~/е,~ = у(1) = —, 1 х —, (2 ~ т/2)е ~тч "1( — точки перегиба; х = 0— е' ( 2' 1 левая асимптота, у = Π— асимптота. 6.502. у в„= у(х1) е ув,ы = у(О) = О; ~~ —, Зе а~ и ~~т/2, -е / — точки перегиба; у = Π— асимптота. 6.503. у,ыв = у(1) = с; у = х+ 1.— асимп- 1 тота, х = Π— правая асимптота. 6.504.
у,„= у(т/2) т/2е ув„= к- Г2) = —, ~, ~ — ~5 ~~7. ~~ 7 + ' >) 5+ 17 1 , х-Д вЂ” ~17е О/"~~в «/'т~) — точки перегиба; у = 2 ' 2 = Π— асимптота. 6.505. у„, „= у( — 2) = — 4~/е, у„,ы = у(1) = — 1/е; (0,4, — 1,бс в~~) — точка перегиба; х = 0 — - левая асимптота, у = х — 3— асимптота. 6.506. (1, ет) — точка перегиба, х = 0 — правая асимптота, у = 2х+ 3 — асимптота.
6.507. ув„„= у(х1) = 2/т/е, у;в = у(О) = 1; (х~/2 — т/3 (3 — т/3)е-(г-,гз1/г) и (~т/2+ т/3 (3+ т/3)с-< + а>~~) точки перегиба; у = Π— асимптота. 6.508. у„в, = у(1) = ет, х = Π—— правая асимптота. 6.509. у,„„„= у(~/3) = Зт/Зе ~~а, у,„;„= у( — ~/3) = = — Зт/Зе ~~~; (О, О), (х1, хе '/~), (~т/6, ~~/бе ~) — точки перегиба; у = Π— асимптота. 6.510. (О, 0) — — точка перегиба.
6.511. у,в„„= у(е) = 1 / 3 = —, ~е~/е, ) — точка перегиба; х = О и у = 0 — правые асимптоты. е (, ' 2е~/е) /1'1 6512. у~„„= у ( — ) = — е; х = 1 — асимптота, х = О и у = 0 — правые (,е) / 1'1 1 / 1 З'1 асимптоты. 6.513.у„п„= у ( — ) = — —; ( —, — — ) —.точка пере( т/е) 2е' (,ет/е' 2са) 382 Ответы и указании гиба. 6.514. у„,„„= у(з/е) = —; ( ъ'еэ,, — точка перегиба, х = 0 /1'1 и у = 0 — правые асимптоты.
6.515 утм, = у =, у гк = у(1) = [ е/ еэ' /, .;75 7+ Зъ 5 з,гь1 /, вз тг1 ээ 7 — 3~5 эт,гв'1 2 2 точки перегиба. 6.516. у„„„= у(0) = О, у цв = у(~т/е) = 2е' х 1 — асимптоты. 6.517. у,„, = у(1/е') = 4/е', умах — у( 1) = О, у ;„ = у(-1/е ) = -4/е; (О, 0), х †, х — - — то гки перегиба. 6.518. у„,„„= у(0) = 0; х = *1 — асимптоты. 6.519. ум„„= 5:.д13 /5 — Я3 1 5 Лз '1 =у(хе) =1/е, у;„=у(х1)=0; хе е, [ ) е э б с эт~гыэ /5 + ъ/ГЗ'~ атэйы '1 хе е ) е г ) — точкиперегиба;х=Оиу=О— б асимптоты. 6.520. уво„= у [т-) = ~ — ) - 0,69, выпукла вниз, у — > 1 ~,е) 1,е [ при х -+ +О, т.е.
М(0, 1) — точка прекращения. 6.521. у„,ах — — у(е) = = е'~' 1,44; (0,58, 0,12) и (4,35, 1,4) — точки перегиба; у -+ 0 при х — ~ +О, т.е. М(0, 0) — точка прекращении; у = 1 — асимптота. 2 х х Указание. Точки перегиба удовлетворнют уравнению 1п — +2х!п —— е е — х = О, их можно не находить. 6,522. х = 0 — точка устранимого разрыва (у (0) = уе(0) = е), Функция убывающая, выпукла вниз, х = — 1— вертикальная асимптота, у = 1 — асимптота. 6.523. х = 0 — точка устранимого разрыва, у = 0 — - асимптота. Точки экстремумов удовлетворяют уравнению 18 х = х.
Точки перегиба удовлетворяют уравнению 18 х = 2х . У к а з а н и е. Точки экстремумов и перегиба можно не находить. 2 — хэ 6.525. х„„„= — 1 при 1 = 1 (у(1) = 3), у,„= — 1 при 1 = — 1 (х( — 1) = 3); парабола с вершиной в начале координат, ось которой — прямая у = х (х > О, у > 0). 6.526. х ьл = у,„ы = 1 при 1 = 0 (точка возврата); у = 2х — асимптота при 1 — ~ +со. 6.527. Астроида (см.
т, 1, гл. 1, З 3, За 1 / Зк1 рис. 18). 6.528. — 1 — За, — 1+ — ) — максимум, [1 — Зк, 1 — — )— минимум, ( — Зх, 0) — точка перегиба, у = х и у = х+ ба — асимптоты. 6.529. Трехлепестковая роза; .0 = [О, л/3] СЗ [2а/3, а['сз [4а/3, ба/3[; экстремумы при у = а/б, д = 5х/6, д = Зв/2. 6.530. Кардиоида, полюс— точка возврата, г „= г(0) = 2а, г гв = г(к) = О. 6.531. В = (О, +со); Ответы и указания 383 линия спирально завивается вокрдт полюса, асимптотически и нему приблигкаясеб (ъг2х, 1/2) — точка перегиба; полярная ось (гг = О) — горизонтальная асимптота. 6.532. Лелгниската Вернулли (см.
т. 1, гл. 1, х+1 р — 2 73, рис. 12). 6.533. Прямая = — = —. 6.534. В плоско- 2 — 3 4 сти Охрг луга окружности хг + 92 = 2 межпу точками (1, 1) и (О, чг2), пробегаемая против часовой стрелки. 6.535. Правая ветвь гиперболы 2 2 — — — = 1, 9 = — 1, пробегаемая снизу вверх, если смотреть от начала 16 9 1 координат.
6.536. В плоскости Охр парабола р = -(бх — хг) пробегае) мая слева направо. 6.537. Винтовая линия х = сояС, 9 = я1пС, 2 = С. 6.538. Астроила тяга+ 922' = 22г)г, 2 = О. 6.539. Линия пересечения пнлинлров у = хг, 2 = хг, пробегаемая снизу вверх. 6.540. Ьривал Виеаани — линия пересечения сферы и кругового пилинлра: х'+92+22 = 1, хт 92 хг + рг = х. 6.541. Вллипс — + — = 1, 2 = 2. 6.542. Дважды про- 25 16 бегаемая парабола 9 = хг + х, 2 = 3. 6.544. Прямая 4х+ Зр = О, 1 2 = О, ч = 35 — 4д.
6.545. Парабола (в плоскости Охгр) 9 = — (12х — хт); 9 ч = 35+ (4 — 2С)д, ч(г=о — — 31+ 41, ч)г=г — — 31+ 2д, ч(6=2 = 35, ч~(г 2 = 36 — 2д. 6.546. Пиклоила (в плоскости Охрг) х = 2(С вЂ” я1пС), 9 = 2(1 — соя С); ч = 2(1 — соя С)1+ 2 я1п С 'д, ч/1 — 12 = 2(2+д), ч/6 — = 42, 1 6.547. 0,61 — 0,8д. 6.548. — (25 — д). 6.549. а) сояС 1 — с4п2С.д+соя2С 16; б) (соя С вЂ” Ся1п С)1+(ят С+С соя С)д+)г; в) (1 — сПп С)г+д+соя С 1г. 6.550. а) г; б) 121 2д 1с 6 551 1+ ЗС2+ 5С5 6552 (ЗСг 2С)1-Ь (ЗС вЂ” 2С)д— ч)5 — 2ССс.
6553. сояС(6+ Зид+ Зи 1с). 6554. а) — =. — сояг 5+е д+ 216, 412 г СС2 412 г ~ .. 4Стг —, ) =- — 6 + д + 2)г; б) —, = — (2 я155 С + С соя С)д + (2 соя С вЂ” С я|п С)1с, СС2! =- 402 г(тг 4СС2 4=-о =. 21с. 6.555, гч = 2сбпг 1+2сояС д; тч(1- 12 = 21; тч(г — = — 2д.
4П вЂ” 44 6 6.556. = — 21,, = .=, „= —; 6 641 — 161 25 4)г — 16) -) 25 С = О го, = — 1,6) ш„= 1,2. Указание. ю, = —, ю„= Ч)64)2 — юг. 1 . 1 6.557. тч = 1+ —.= — д, ю- = 1, ю„=- .—; гри С = О тч = 1+д, .„42С + 1 чг2С + 1 ю„=- 1. 6.558. х+ 22 — — 1, а .= 2 (касательная); 2х — 2 =. 3 (нормальная 384 Ответы и указания х — 2 у — 8/3 2 — 4 плоскость). 6.559. 1 2 4 (касательная); Зх + бу + + 122 — 70 = 0 (нормальная плоскость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
