341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Элементы теории устойчивости 355 Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость точку покоя системы х= — х+у, у = — 2У вЂ” х. з л В качестве функции Ляпунова возьмем 1т = х + у . Тогда — = т 2 2 г11 = 2х( — х + у) + 2У( — 2уз — х) = — 2(хз + 2У"), и функция г' вместе с сй' — удовлетворяет условиям теорелгы 2. Значит, точка покоя системы аг асимптотически устойчива.
~> Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы х = х(2+ сов х), у= у. х = — х+ -у+ Зху, з 2 1 у= — х — -у — 2х у . ,2 2 3 З члункцию Ляпунова будем искать в виде И = ахз+ Ьу'-, а > О, Ь > О. Тогда имеем: ЛИ / 3 — = ми (-, -~ -р ~ з,~) ~ Ву (-, ж '(, г — 2ах + У 2 21 — — — 2х у ) = 3 Ьуз + (ху + 2хзуз)(3а 25) 3 3 Л' Полагая Ь = -а, получим, что— 2 ' ' г1г а > О. Из теоремы 2 вытекает, что точка устойчива.
С вЂ” а(2хз + уз) ( О при всяком покоя системы асимптотически дГ з Возьмем функцию Г(х, у) = хз — у'. Тогда — = 2хз(2+ созх) + Пс + 2уз = 2(2хз + уз + хз сов х) = 2 (хз + 2хз созе — + уз) > О всюду, кроме начала координат. Кроме того, сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых Ъ' > О (например, вдоль прямой у = О Г = хз > О). Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и точка покоя неустойчива.
~> Общего метода построения функций Ляпунова не существует. В простейших случаях ее следует искать в виде: И = ахз+Ьуз, $~ = ах" + ЬУ4, Г = ахз+ Ьу~, подбирая надлеьчащим образом постоянные а > О и Ь > О. Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы Гл. 10. Дифференциальные уравнения 356 Исследовать на устойчивость точки покоя следующих систем: 10.468.
х = — х — у — х — у, у = х — у+ ху. 3 г 10.469. х = у + хз, у = -х + уг. 10.470. х = ху", у = — хву. 10.471. х = — у + ха, у = х + у'. 2 2 б 3 3 10.472. х = у+ хгуг — —:г", у = — 2х — 2тгу — — уз. 4''2' 10.473. х = — 2х + 4хуг 0 = у+ 2хгу Яхы..., х„) = ~ ~аох + Е,(хы ..., х„), ду,(0, ..., О) где аб =, а Гг — - члены второго порлдка гвалости относидх, тельно хы ..., хо.
Тогда исходнал система (5) могкет быть записана в виде и х1 = ~~ а, х; + Г1(хы ..., хв), ~=-1 я х„= ~ ~олух, + Р„(хы ..., х„). ~=1 Рассмотрим систему х,=~ аох„ь'=1,2,...,п, (6) называемую системой уравнений первого приближения дцл системы (5). Справедливо следующее утверждение: если все корни характеристического уравнении системы (6) имеют отрицательньи; действительные части, то точка покол системы (6), а также исходной системы (5) асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического уравненил системы (6) имеет положительную действительную часть, то точка покол системы (6) (и системы (5)) неустойчива.
Говорит, что в этих случаях возможно исследование системы (5) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказыватьсл влияние членов 2-го порядка малости. 4. Устойчивость по первому приближению. Предположим, что правые части системы (5), т.е. функции г",(хы ..., х„), 1 = 1, 2, ..., и, дифференцируемы в начале координат достаточное число раз. Разложим их по формуле Тейлора в окрестности начала координат: З 4. Элементы теории устойчивости 357 Пример 6. Исследовать на устойчивость точку покоя системы х = 2х,+8япр, у = 2 — е' — Зу — совр. < Разлагая функпии яп у, сову., е* по формуле Тейлора и выделяя члены 1-го порядка малости, можем переписать исходную систему в виде х = 2х+ 8у+ Й(х р) 9 = — х — 39 + гэ(х р) — 1 х г~/7 Корни се характеристического уравнения Л1 э = 2 имеют отрицательные действительные части. Следовательно, точка покоя этой, а также исходной систем устойчива.
С Исследовать на устойчивость по первому приближению точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений: 1 1 10.474. х = — (е* — 1) — 9у, у = — х — яп у. 4 ' 5 10.475. х = 5х+ усову, у = Зх+ 29 — узе". 10.476. х = 7х+ 2а)пу, 1) = с* — Зу — 1. 3 1 10.477. х = — — х+ — аш20, 1) = — у — 2х. 2 2 10.478.
х = 1п(49+ е э*), у = 29 — 1+ ф1 — бх. 10.479. х = еж+~в — сов Зх, р = х/4+ 8х — 2еа. 10.480. Показать, что исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя системы х = — 4у — х, з 1)=Зх — 0 3 невозможно. Провести исследование методом функций Ляпунова. где гы Кэ -- члены 2-го порядка малости относительно х и у. Соответствующая система уравнений первого приближения вида (6) запишется следующим образом: х=2х+89, 9 = — т.
— Зр. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 5 5.1. Приближение с недостатком 0,1; 0,10; 0,101. Приблилгение с 11 901 2183 1 избыткам: 0,2;0,11;0,10 . 5.2.а) —; б) —;в) . 5.11Аобггт — > 5.19. (-1, О). 5.20. кг. 5.21. (О, 2). 5.22.(-оо, 2). 5.23.(-оо, Ц гг Г.Г[3, +ос). 5.24. (3, 4). 5.25. [1 — Л7,— 1+ тгг5[. 5 †/ГЗ 5 — Л 5+т/5 5.27.(-оо, -Ц. 5.28. а) (1, 2) С (1, 2, (1, 2, 3)); б) обе записи верны. 5.29. А = (О, 1, 2).
о 2 х 5.30. А = (Ц. 5.31. А = (1, 2, 3, 4). 5,32. А = =(-2, -1, О, 1, 2). 5.33. А = (1, 2, 3). 5.34. А = = (х/2, х, Зх/2, 2гг). 5.35. См. рис. 51. 5.36. См. рис. 52 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству). 5.37. См. рис, 53. 5.38. См. рис, 54 (штриховая линия не принадлежит Рис. 53 Рис. 52 множеству). 5.39. См. рис.
55 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству). 5.40. Точка (2, 2). 5.41. См. рис, 56. 5.42. См. рис. 57 (граница заштрихованной области не принадлелгит множеству). 359 Ответы и указания 5 43. А 1У В = ( — 5, 3, 4); А П В = (4); А1В = ( — 5); В'1А = (3). 5.44. (2, 4, 8). 5.45. (81[5 Е У). 5.46. (1, 2, 4). 5.47. (24/с//с б М). 5.49..4 0 В = ( — 1, 4); А П В = = [1, 2„'; А1В = (-1, Ц; В1А = = (1, 4).
5.50. (О, 1). 5.51. [О, 1/4[ 1у 1у [1/2, 1). 5.52. (О) 0 (1/2, 1). 5.53. [О, 1/4) 1У (1/4, 3/4) 0 (1). Рис. о4 Рис. 55 5.60. К; ( — 1, О, 1). 5.61. (и Е Я [ и ~ ЗЛ, 9 Е И); ~. 5.62. (ж б Щт = 1/н, и, Е И), (1). 5.63. а) Все точки данного круга; И; б) все точки кольца между данной окружностью и концентрической окружностью вдвое меньшего радиуса; И; в) все точки круга; центр круга. Рис. 55 Рис 57 5.73. а) пйп Х не существует; гвах Х = 1; б) [1, +ос); ( — со, О]; акр Х = = 1; вцГХ =- О. 5.74.
1/2; нс существует; 1/2; О. 5.75. 1; — 1; 1:, — 1. 5.76. Не существует; — 5; О; — 5. 5.77. Нс существует; не существует; О; не Ответы и указания 360 гЬ а — Ь (а — Ь) Ь Ьх+ 4 а + Ь (а — х) Ь вЂ” Ь— 2 а — Ь а — Ь 0<х< —, а — Ь а+Ь вЂ” <х<— 2 2 5.99. ЯАвнм = а+Ь вЂ” (х(а.
2 1 1г 5 100 1г Ы(4гст Ьз) Р [О 2В] 5.101. а) 5 = — ЛЛт — 1т, 4 ' ' 2В Р = [О, 2В]; б) Я = 4тйга1п — соаг —, Р = [О, л]; в) Я = 4яВ~ х 2 2' хсоафа1птД, Р = [О, а./2]. 5.102. О, — 6, 4. 5.103. — 1, О, 1, 2, 4. 5.104. О, а — 1, а +За +За, а — Заг+За — 2, 16а — 2. 5.105. 1, 1 — х х 2 х — 1 1+х 5.106. Р = (-3, +со), Е = (-оо, +со). 2+х' 1+х'х+1' 1 — х 510Т Р =( — оо,5/2) Е =[О +оо) 5108 Р = [] [4тгАг тг(21+1)т] вено(01 Е = [О, 1]. 5.109. Р = [-3/2, 5/2], Е = [О,т]. 5.110. Р /2я / 1'1 2т / 5'1Ь = Ц [ — [Зй + — ], — [Зй + — ~ ], Е = ( — оо, 1п 3].
5.111. Р = [ — 1, 1], вех 3 2 ' 3 2/1'' существует. 5.Т8. Не существует; не существует; 1; О. 5.Т9. апр Х = х/2 5.83. а) Истинно; б) ложно; в) истинно; г) ложно. 5.84. Ложно. 5.85. Истинно. 5.86. Ложно. 5.8Т. Истинно. 5.88. Истинно. 5.89. Лоасио. 5.90. а) Истинно; б) истинно. 5.91. а) Истинно; б) истинно; в) ложно. 5.92. а) /(хо) = 0; /(хо) ф О, б) /(хо) = О Л Чх(х ф хо ~ /(хо) ф 0); /(хо) ф 0 Ч [/(хо) = 0 Л 3 т(х ф хо Л /(х) = 0)).
в) 3 хо(/(хо) = 0) Л Л [Чх(х ф хо ~ /(х) ~ О)); Чх(/(х) ~ 0) 1 [3 хм хт(хг ф хз Л /(хг) = = /(хг) = 0)). 5.93. а) ЗМЧх Е Х (х < М); ЧМЗх Е Х (х > М). б) (т Е Х) Л [Чх Е Х (т < х)); (т ф Х) Ч (Зх Е Х (х < т)). в) (Зт Е Х) Л (Чх Е Х (т ( х)); Чх' Е ХЗх Е Х (х < х~). 5.94.а) ЗАЕЛ (и=1чи); АЛЕК (пфlст), б) (2]иЛЗ]п) ~6]и; (2]и Л 3]п) Л 6 ] п.
(Замечание. Так как исходное высказывание истинно, то его отрицание ложно.) в) хп Е уч' [и]р => (и = 1'1п = р)); 1 Зп Е г( [гг]р Л (п ф 1 Л и ф р)). 5.95. Л = )/ —. 5.96. И = )/ н Лт 16а т — Яг 3 а г а = —, где 1 > 1о. 2а' Ответы и указания 361 Е = [О, Ц. 5.112. Р = (2, 3), Е = — со, 18 -~ . 5.113.
Р = [ — 1, Ц, 11 Е = [О, — ~. 5.114. Р = [О, 2], Е = [1, 2']. 5.115. Р = ( — оо, +оо), Е = [1/ет, +со). 5.116. С = [О, 4]. 5.117. С = [1, 2]. 5.118. С = = ( — со, О)Г.г'(1, +оо). 5.119. С = (О, 1/2]. 5.120. 0 = (1, 3]. 5.121. С =- = [О, т/2/2). 5.122.
Ро = ( — 1), Рч. — — ( — 1, +оо), Р = ( — оо, — 1). 5.123. Рс — — ( — 1, 2), Р.г — — ( — 1, 2), Р = ( — оо, — 1) СГ (2, +со). 5124.п =[*ее = —,иегГ(0)],Р = д и' ' „ех~(о) 2п' 2гг+1/' 1 1 — [.], 5125 Ро = (Ц, Рт —— ( — оо, О) и „ех1(о1 1,2п+1' 2(я+ 1)/' 1+Я+ хт Гг (1, +со), Р =(О, 1). 5.131./(х) = хт — 2. 5.132./(х) = х 5.133.
/(х) = вшх. 5.134. Четная. 5.135. Ни четная, ни нечетная. 5.136. Ни четная, ни нечетная. 5.137. Нечетная. 5.138. Ни четная, ни нечетная. 5.139. Нечетная. 5.141. Т = 2л/7. 5.142. Т = л/2. 5.143. Непериодическая. 5.144. Непериодическая. 5.145. Непериодиче- скал. 5.146. Т = бя. 5.147. Если а = О, то обратная фунггцил не сушех — Ь ствует; если а ф О, то у = — обратная функция и Р = ( — со, +со).
а 5.148. Обратная у = бгх + 1, Р = (-со, +ос). 5.149. Обратная не су- 1 шествует. 5.150. Обратнал у = -е*, Р = ( — оо, +со). 5.151. Обрат- 1 — х нал У = 21о8тх, Р = (О, +со). 5.152. 06Ратнал У =, х ф 1+х' 3 ф — 1. 5.154. а) у = — ~/х+1, Р = — —, +со; б) у = чих+1, 3 Р = — —, +со . 5.155. а) у = агссбпх, Р = [ — 1, Ц; б) у = л — агсгбп х, ( х, х ( О, Р = [ — 1, Ц. 5.156.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
