341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 49
Текст из файла (страница 49)
10. Дифференциальные уравнения 9. Задачи физического характера. 10.391*. Материальная точка массы гя движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропорционапьности й > О). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности Л > О). В начальный момент расстояние от точки до центра равно а, а скорость направлена по прямой, соединяющей точку с центром, и равна ое. Найти закон движения точки при условии, что Л~ ( 4пй.
10.392*. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра, пропорциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропорциональности й > О). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности Л > О). В начальный момент точка находится на расстоянии а от центра, скорость равна оо и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки. 10.393". Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти закон движения шарика относительно трубки, если: а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения, начальная скорость шарика равна нулю; б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость не. 10.394. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней с трением, г(г величина которого Л = 2тры —, где р - — коэффициент трения 41' скольжения. Найти закон движения шарика, если в печальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и начальная скорость его равна нулю.
10.395'. Тяжелая однородная цепь переброшена через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает чзсть ее длиной Зм, а с другой стороны — часть длиной 10м. За какое время Т цепь соскользнет с гвоздя? 10.396*. Груз массой 4 кг подвешен на пружине и увеличивает ее длину на 1см. Найти закон движения груза, если верхний конец прунгины совершает вертикальное гармоническое колебание у = 2 зш 301 (см) и в начальный момент груз находился в состоянии покоя (сопротивлением среды пренебречь).
10.397*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника токз с э. д. с. е(1) =- Е эшы1, индуктивности У, з 3. Системы дифференциальных уравнений 331 сопротивления Л и емкости С, причем ЛгС вЂ” 4Ь с О, ш ~ дг ф — — —. Найти ток 1 в цепи как функцию времени 1, если ЬС 4П' г(1 1((-о = — = О. о1 (=о 10.398*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с э.д. с.
е(1) = Ез1поЛ, индуктивности Ь 1 и емкости С, причем (и = (случай резонанса). Найти ток 1 /Хс (11 в цепи как функцию времени 1, если 1((-о = — = О. гИ 10.399. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с э.д.с. е(1) = Есоа (~Л+ ~р), индуктив- 1 ности Ь и емкости С, причем ы = . Найти ток 1 в цепи как ьУХС' г(1 функцию времени 1, если 1(( о = — = О. "~ (=о 9 3. Системы дифференциальных уравнений 1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями и-го порядка.
Если система )г дифференциальных уравнений, связывающая независимую переменную х и к функций уг(х), ..., Уь(х), разрешена относительно старших производных этих функций у,~' (х), ... , У„" (х), т.е. имеет вид у| (х) = у,(х, у„,, у(ю-') у„(л,-н (Рд (и — 1) (ж~ -1) у, (х) =Л(х,уы ",у,,", угп".,у, ), Оа) (л -г) (и -г) у (х) = уя(х, уы ..., у,,..., Уы ..., Уь ), то она называется канонической, причем число и = р1 + рг +... + рь называется порядком системы. Каноническая система (1) при р| = рг = ... = рь = 1, т.е.
система дифференциальных уравнений 1-го порядка У((х) = Ь(х, Уы . Уч), уг(х) = уг(х, уы, уя), (2) у,',(х) = („(х, уы ..., У„), назгзваетсн нормальной системой порядка и. Гл. 10. Дифференциальные уравнения 332 1'стенаем системы (2) на интервале а < х < Ь называется совокупность функпнй У1 = ~р1(х), ..., Ун = ~р„(х), непрерывно дифференцируемых на (а, 6) и обрашакзших уравнения системы (2) в тоа|дества относительно х Е (а, 6). Интегралом нормальной системы (2) называется функция Ф(х, уы ..., У„), определенная и непрерывная вместе с частными про- дФ дФ дФ изводными —, —, ..., — в некоторой области 11 изменения передх' дуз' ' ду„ менных и принимающая при любых х Е (ач 6) постоянное значение при подстановвс в нее произвольного решения системы.
Равенство Ф(х, ум ..., У„) = С, где Ф(х, уы ..., У„) — интеграл нормальной системы, а С вЂ” произвольная постоянная, называется первым инглегралом системы (2). Дифференциальное уравнение и-го порядка можно свести к нормальной системе (2). Обратно, системы (1) или (2) в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению и-го порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы. П р и м е р 1. Привести каноническую систему дифференциальных уравнений у," = 2уз — Зугч ун = у1 — 2уг к нормальному виду ~~У1 з Положим — = уз Й,т в виде ауг и — = ул.
Тогда данную систему можно записать Нх У1 = / уг Уз = Уз = Уз, Ул 2У1 — Зуг у1 — 2уг, у г В г' = — А.гу. ~> которая и является нормальной системой 4-го порядка. > Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное уравнение ун(х) + Агу(х) = О. з Положим у' = г, тогда ул =- г', и уравнение приводится к нормальной системе уравнений 3 3. Системы дифференциальных уравнений 333 П р и м е р 3. Свести систему уравнений ! у = у— г' = — 4у+ г, (3) Отсюда, используп равенство = у — у', найдем г(х) = С~с ~ + Сзез'+ С1е ' — ЗСзез" = 2С1е * — 2Сзез'.
Таким образом, при любых постоянных С1 и Сз система функций у = С1е *+ Сьезх з = 2С1е * — 2Сзез* пвлнетсп решением исходной системы (3). с Задача Коши длп системы (2) ставитсн следующим образом; найти решение У1(х), ..., Ув(х) системы (2), удовлетворпющее начальным условиям У1(те) У1 Уз(хе) Уз ''' 1 Уч(хо) Уп (5) где у„..., у„— заданные числа. о о Теорема Коши. Пусть правые часпш Уы (з, ..., )п нормальной системы (2) определены в (и+ 1)-мерной области Р изменения переменных х, ум ..., Уо. Если в некоторой окрестпостап ьь точки Мо(хо, у1,, у„) б Р функиии 1 нспрерывньь и илюеют непрерывные д~„ частные производньие — ло переменным уы ..., у„, ало существует дуу инглервол хо — Ь < х < хо + Й изменения переменнои' х, в когпором сугаествует и притом единсглвенное решение спспьемы (2), удовлетворяющее начальным условиям (5).
Обиьим решением системы (2) называетсл совокупносп функций у,(х, Сы ..., С'„), ь = 1. 2, ..., и, (6) зависящих от и произвольных постопнных, которые при любых допуттимых значениях постоянных Сы ..., С„обращают уравнения системы (2) в тождества, и в области., в которой выполнены условии теоремы Коши, из совокупности функций (6) можно получить решение любой аадачи Коши. где у = у(х), з = г(х), к уравнению 2-го парилка и найти решение системы. з Найдем х(х) из первого уравненил: з = у — у'. Отсюда имеем г' = = у' — у". Подставив значени~ г и г' во второе уравнение системы, получим уравнение уо — 2у' — Зу = О, общим решением которого пвлпстс~ функция у(:с) = С| с ' + Сзез*.
Гл. 10. Дифференциальные уравнения 334 Пример 4. Показать, что определенная равенствами (4) система функций является общим решением системы (3) (см. пример 3). а В качестве области Р для (3) можно взять область — оо < х, у, г < < + оо; при этом для любых хо, уо н зо из этой области выполнены условия теоремы Коши. Подставив значения хо, уо, зо в систему (4), получим систему для определения С1 и Сэ: уо — С1е — оо 1- Сэеэоо го = 2С1е *о — 2Сгезоо. Определитель этой системы Ь=2е*о =-4е 2 1 1 2 1 — 1 10.407 2у 1 — —, х' гу у+ в+ — — 1; х у = х 1 + 2' х 1 з = е* — — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
