341_2- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с (987778), страница 47
Текст из файла (страница 47)
!1аждому действительному корню Л уравнения (13) кратности г соответствуют г линейно независимых решений уравнения (12): Лс Лс ,3 — 1 лх а каждой паре комплексных корней Л = слхЦ кратности я соответствуюл я пар линейно независмых решений: еос соя рх, хео*соядх, ..., х' леи*соядх, е "яш13х, хе"сяшлух, ..., х' 'е *я(п))х, Таким образом, если характеристическое уравнение имеет )с действигслызых корней Лы ..., Ль кратностей гм ..., гл и 1 пар комплексно сопряженных корней аг+Цм ол — Цм..., еа+ Цн еа — Щ кратностей ям..., лл (г1+...+гь+2я1+...+2я~ = и), то общее решение уравнения (12) запишется в виде ~(т) = — Р~(х)ехм + .. + Рь(х)ел" + Я1(х) саянах+ + Д,(х) яьц Дх)е~" +...
+ Я~(х) сояДх + Ри(х) я1п Дх)ею', (14) глс!'„(х) — произвольный многочлен степени г — 1, и = 1,..., Е а 12е(х) и Ле(:с) -. - произвольные многочлены степени я„— 1, р = 1, ..., й Пример 1л1. Найти общее решение уравнения ул + Зу' + 2у = О. .л Характеристическое уравнение Лэ + ЗЛ + 2 = О имеет корни Лг = -1, Л .= -2. Запцшел1 фундаментальную систему решений ул —— е *, уз —— =. е -'"'. Олсдовательно, общее решение имеет вид у = Сге *+Сев э"'. с Пример 15.
Найти общее решение уравнения у" + 2у'+ 5у = О. з Характеристическое уравнение Лэ + 2Л + 5 = О имеет корни Лц э = — — — 1 3- 2~:. Следовательно, функции ул — — е * соя 2х, уэ — — е * яш 2х согтавлшот фундаментальную систему решений, а общее решение имеет глш у = е (Сг соя 2х+ Сэ яш 2х). 1> 3 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 321 Пример 16. Найти частное решение уравнения уи' — Зул + Зу' — у = О, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, у'(О) = 2, ул(О) = 3.
э Характеристическое уравнение Л вЂ” ЗЛг+ ЗЛ вЂ” 1 = 0 имеет единственный корень Л .= 1 кратности г = 3. Поэтому фундаментальная система Решений имеет вид Уг — — е', Уг — — хе*, Уз — — хге*. Следовательно, у = (С~ + Сгх + Сзх )е* — общее решение уравнения. Для определения произвольных постоянных найдем производные у = (С~ + Сгх + Сзх')е* + (Сг + 2Сзх)е', Уи = (С~ + Сгх + Сзх )е* + 2(Сг + 2Сзт)е* + 2Сзе' и используем начальные условия. Получаем; С~ —— 1, С~ + Сг = 2, С~ + 2Сг + 2Сз = 3, откуда Сг = 1, Сз = О.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = (1 + х)е*. с> П р и и с р 17. Найти общее решение уравнения 4у'~ + 4ул + у = О. з Характеристическое уравнение 4Л" + 4Л + 1 = О, или (2Лг + 1) = О, 1 имест два комплексно сопрягзенных корня х — 1 кратности 2. Следова- ~!2 тельно, фундаментальная система решений имеет вид соз —, х соз —, ~/2 ьг2 зш —, х вш —. Отсюда получаем общее решение: ~Г2 з/2 х х у = (С~ + Сгх) еоз — + (Сз + Слх) гбп —. (> чу ~(2 10.314. Известно частное решение у( = е"* линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Соответствующее характеристическое урапнегщс имеет дискриминант, равный нулю. Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: у(О) = у'(О) = 1. По данным корням характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами составить дифференциальное уравнение и написать сто общее рсшецие.
10.313. Л( = 3, Лг = -2. 10.316. Л( = Лг = 1 10.317. Л( г = 3 ~ 2г. 10.318. Лд = Лг = Лз = 2. 10.319. Л( = О, Лг = Лз = 4. 322 Гл. 10. Дифференциальные уравнення 10.320. Показать, что общее решение уравнения ~г — +и х=О ,(1г может быть представлено в виде х = Аз1п(его+ ~о) или х =. = А соз (а(+ ~р), где А и ог — произвольные постоянные. Найти общие решения дифференциальных уравнений: 10.321. УЯ вЂ” 2у' — 2у = О.
10.322. Ун + бу'+ 13у = О. 10.323. УЯ вЂ” бу'+ 9у = О. 10.324. Зун — 2У' — 8р = О. 10.325. 4уо — 8у'+ бу =- О. 10.326. 4ун+ 4у'+ у = О, 10.327. УЯ' — 5ун + 17у' — 13у = О. 10.328. у'~ + 4ун+ Зу = О. 10.329, у'~+ 2у'о+ун = О. 10.330. у" — рн = О.
10 331 у'т+ 2ун+ у = О 10 332 у~ч 8уя -(-16р = О 10 333 ро +8рн'-+ 1бу' = 0 10.334. Ут — бу'~ + 9ул' = О. 10 335 ут' — 2у~ -1- Зусс — 4ун'+- Зун — 2у' + у = О 10 336 уо~ ь 2у + уьо О Найти частные решения уравнений по данным начальным условиям: 10.337. у" — 5у'+ 4у = О; у(О) = у'(О) = 1. 10.338.
Ун — 2у'+ у = О; у(2) = 1, у'(2) = — 2. 10.339. Ун' — у' = О; у(О) = 3, у'(О) = — 1, ун(О) = 1. 10.340". Найти интегральную кривую дифференциального уравнения ун — у = О, касаюц~уюся в точке 0(О, О) прямой у = х. 10.341. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения ун — 4у' + Зу = О, касающуюся в точке Мо(О, 2) прямой х †у+2. 6.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными козффнцнентамн, т. е, уравнение вида у~"~ + а|у~" ' + азу~" ~~ + . + а — 1у' + аву = У(х), (15) где а; (~ = 1, 2,..., и) — действительные постоянные, а у(х) р! О. Согласно формуле (9) общее решение уравнения (15) записывается в виде у(х) = уо(х) + у(х), где уо(х) — общее решение соответствующего однородного уравнения, а у(х) — любое частное решение уравнения (15). Общее решение уо(х) дается формулой (14). Для отыскания у(х) в общем случас можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных (см.
и. 4). 3 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 323 Пример 18. Найти общее решение уравнения у" + у = гбх. а Общее решение соответствующего однородного уравнения уо — — Сз + + Сзсовх+Сзяпх, так как уз = 1, уз — — совх, уз = япх. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации постоянных. Системз (10) в этом случае принимает вид С,'+ Сзсовт+ Сзяпх = О, — С,'япх+ Сзсовх = О, — Сзсовх — Сзжпх = тбх. Умножив обе части второго уравнения на япх, третьего нз совх и сложив, получим С' = — япх. Тогда из второго уравнения следует Сз —— яп х — Сложив обе части первого и третьего уравнений, найдем сов х С~ = сбх. Интегрирование дает: Сз — — — 1п(совх), Сз — — совх, Сз =Япх — 1пзб~ — + — ~.
4 2 Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения име- ет вид у = Сз + Сз совх+ Сз япх 1п)совх( япх ' 1псб ~ + ~. е' 4 2 Методом вариации произвольных постоянных решить следующие уравнения: 1 л 10.342. ул+ Зу'+ 2у = . 10.343. ун+ 4у = е*+1 яп х 10.344. ун — 2у'+ у = ,Г4 —, з' 10.345.
ун+ 4у'+ 4у = е эх1пх. В частных случаях, когда функция у(х) в уравнении (15) имеет вид з'з (х) = (4ох~ +... + 4~)е~~ или Л(х) = ((бах~' +... + бгн) сов,Зх + + (сох~' + ... + с,) япфх)е"*, частное решение у(х) можно найти методом неопределенных коэффициентов. Именно, если Л или сг х з)3 не совпадают ни с одним из действительных или соответственно комплексных корней характеристического уравнения (13), то у(х) ищется в виде у(х) = (0ох + 11гх ' +... + В„,)ез* (10) 324 Гл.
10. Дифферсипиааьньге уравнения длл Х(х) = Х»(х) илп в виде у(х) = ((Вох' +... + Вж) соэ(ух+ (Сохгл +... -ь Сж) э!п р9х)е * (17) длл Дх) = Хэ(х). Здесь Р„В, и С, — неопределенныс коэффициснп|, гп = гпах (ты тэ). Если же Л или г» х Ц совпадают с некоторым корнем уравнения (13) кратности т (глучай резонанса), то выражения в правой части (16) или (17) следует домноа ить на х", т.е. искать решение соответственно в виде у(х) = х (Роэ: +. + Р )е (18) длл Х(х) = Х~ (х) или у(х) = х" ((Вохж+...
+ В-) гоэрх+ (Сох"'+... + Сж) э1пВт)евв (19) длл Х(х) = Хэ(х). П ример 19. Найти обшее решение уравненил ув — Зу' + 2у = (хэ + х)е~». а Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнении Лэ — ЗЛ+ 2 = О имеет корни Л~ — — 1, Лэ = 2. Следовательно, фундаментальнан система решений имеет вид у~ — — е', ут = еэ*, а обшее решение однородного уравпенил есть уо(т) = С~ е' + Сэеэ*.
Пля нахов~ленин частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как Л = 3 не явллется корнем характеристического уравненил, то частное решение будем искать в виде у = (Рохэ+ Р~х+ Рэ)еэ'. Найдл производные у', у ' и подставив у, у'и уи в исходное уравнение, получим (после сокрашенил на еэ*) 2Ретэ + (6Рв + 2Р~)х + (2Ро + ЗР~ + 2Рэ): — х~ -ь х. Сравниван коэффициенты обеих частей этого тождества, получим си- стему уравнений для определении неизвестных Ро, Ры Рэ..
2Ро =1, 6Ро+ 2Р~ = 1 2Ро + ЗР1 + 2Рэ = О, откуда Ро —— 1/2, Р~ — — — 1, Рэ — — 1, Итак, у =- ( -хэ — х + 1) еэ* = — (хэ — 2х+ 2)еэ», и, следовательно, общее решение уравнения имеет вид у = уо+ у = С~е*+ Сэеэ'+ — (хэ — 2х+ 2)еэ*, с 2 Э 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 325 П р и ллер 20. Найти частное решение уравнения у" + 40 = 4(ебп 2х + соя 2х), удовлетворякгщее начальным условиям у(л) = р'(и) = 2л. г ХаРактеРистическое УРавнение Лг + 4 = О нмсст коРнп Лл г = 0 х х 2г.
Общее решение соответствующего однородного уравнения есть уо — — Сл соя 2х + Сг я1п 2х. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде у = = х(Всоя2г + Ся!п2х), так как О х 2л — корни характеристического уравненпя кратности 1. Найдя г7, 17' н подставив у, у', р" в исходное уравнение, получим — 4Всйп2х+ 4Ссоя2х с— е 4ягп2х+ 4соя2т., откуда В = -1, С = 1 и, следовательно, у = х(я1п 2х — соя 2х). Общее решение будет у = ро+р = С1 соя 2х+Сг ьбп 2х+х(яш 2х — соя 2х). Для нахождения Сл и Сг воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав общее решение; у' = — 2Сл я1п 2х + 2Сг соя 2х + х(2 соя 2х + 2 яш 2х) + (яш 2х — соя 2т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
